เป็นส่วนประกอบของ {www | …} ไม่มีบริบทใช่ไหม

เป็นที่ทราบกันดีว่าการเติมเต็มของนั้นไม่มีบริบท แต่สิ่งที่เกี่ยวกับส่วนประกอบของ ?$\{ ww \mid w\in \Sigma^*\}$$\{ www \mid w\in \Sigma^*\}$

ยังคงเป็น CFL ฉันเชื่อว่าด้วยการปรับตัวของหลักฐานแบบดั้งเดิม นี่คือภาพร่าง

พิจารณาซึ่งเป็นส่วนประกอบของด้วยคำพูดที่ไม่ได้ลบความยาว mod$L = \{xyz : |x|=|y|=|z| \land (x \neq y \lor y \neq z)\}$$\{www\}$$0$$3$

ให้\} เห็นได้ชัดว่าเป็น CFL เนื่องจากคุณสามารถคาดเดาตำแหน่งและพิจารณาว่าสิ้นสุดหลังจากนั้น เราแสดงให้เห็นว่าL'$L' = \{uv : |u| \equiv_3 |v| \equiv_3 0 \land u_{2|u|/3} \neq v_{|v|/3}\}$$L'$$p$$u$$p/2$$L = L'$

• $L \subseteq L'$ : LetL สมมติมีดังกล่าวว่าy_p จากนั้นเขียนสำหรับอักขระแรกของของและสำหรับส่วนที่เหลือ ธรรมชาติx_p ตอนนี้คืออะไร? ครั้งแรก: $w = xyz \in L$$p$$x_p \neq y_p$$u$$3p/2$$w$$v$$u_{2|u|/3} = x_p$$v_{|v|/3}$

ดังนั้นในนี่คือตำแหน่ง: หรือในคำอื่น ๆ ตำแหน่งในYนี้แสดงให้เห็นว่า 3}$w$

หากดังนั้นให้เป็นตัวอักษรของดังนั้นคือ ; เป็นส่วนที่เหลือของWจากนั้น: เหตุทำนองเดียวกันz_p$y_p \neq z_p$$u$${3\over2}(|w|/3 + p)$$w$$u_{2|u|/3}$$y_p$$v$$w$

• $L' \subseteq L$ : เรากลับกระบวนการก่อนหน้านี้ LetL' เขียน 3 จากนั้น: ดังนั้น , และ (เนื่องจากถ้าเป็นรูปแบบ , มัน ต้องถือสำหรับทั้งหมด)$w = uv \in L'$$p = 2|u|/3$ $$p+|w|/3 = 2|u|/3+|uv|/3 = |u| + |v|/3.$$ $w_p = u_{2|u|/3} \neq v_{|v|/3} = w_{p + |w|/3}$$w \in L$$w$$xxx$$w_p = w_{p+|w|/3}$$p$

นี่คือวิธีที่ฉันคิดเกี่ยวกับการแก้ปัญหานี้ด้วย PDA ในความคิดของฉันมันชัดเจนยิ่งขึ้น

คำไม่อยู่ในรูปแบบ iff (i) (mod 3) ซึ่งง่ายต่อการตรวจสอบหรือ (ii) มีสัญลักษณ์อินพุตบางที่แตกต่างจากสัญลักษณ์ที่เกี่ยวข้องที่เกิดขึ้นตำแหน่งในภายหลัง $x$$www$$|x| \not\equiv 0$$a$$b$$|w|$

เราใช้เคล็ดลับปกติของการใช้สแต็คเพื่อรักษาจำนวนเต็มโดยมีสัญลักษณ์ "bottom-of-stack" ใหม่โดยเก็บค่าสัมบูรณ์เป็นจำนวนตัวนับบนสแต็กและ sgn ( ) โดยสถานะของ PDA ดังนั้นเราสามารถเพิ่มหรือลดลงโดยการดำเนินการที่เหมาะสม$t$$Z$$|t|$$t$$t$

เป้าหมายคือการใช้ nondeterminism เพื่อเดาตำแหน่งของสัญลักษณ์สองตัวที่คุณกำลังเปรียบเทียบและใช้สแต็กเพื่อบันทึกโดยที่คือระยะห่างระหว่างสัญลักษณ์ทั้งสองนี้ $t := |x|-3d$$d$

เราบรรลุนี้ดังนี้เพิ่มขึ้นสำหรับแต่ละสัญลักษณ์เห็นจนกว่าสัญลักษณ์แรกเดาที่ถูกเลือกและบันทึกในรัฐ สำหรับการป้อนสัญลักษณ์แต่ละที่ตามมาจนกว่าคุณจะตัดสินใจที่คุณเคยเห็นพร่องโดย (สำหรับความยาวป้อนข้อมูลและสำหรับระยะทาง) เดาตำแหน่งของสองสัญลักษณ์และบันทึกว่า b ดำเนินการเพิ่มค่าสำหรับสัญลักษณ์อินพุตที่ตามมา ยอมรับถ้า (ตรวจพบโดยที่ด้านบน) และb$t$$a$$a$$b$$t$$2$$1$$-3$$b$$a \not= b$$t$$t = 0$$Z$$a \not= b$

สิ่งที่ดีเกี่ยวกับเรื่องนี้ก็คือมันควรจะชัดเจนอย่างสมบูรณ์ว่าจะขยายไปสู่อำนาจโดยพลการ

เพียงแค่มุมมองที่แตกต่าง ("เชิงไวยากรณ์") เพื่อพิสูจน์ว่าส่วนเติมเต็มของเป็น CF สำหรับคงที่โดยใช้คุณสมบัติการปิด$\{ w^k \}$$k$

โน้ตตัวแรกว่าในส่วนเติมเต็มของมีเสมอเช่นว่า1} เรามุ่งเน้นและเริ่มด้วยไวยากรณ์ CF แบบง่ายที่สร้าง:$\{ w^k \}$$i$$w_i \neq w_{i+1}$$w_1 \neq w_2$

$L = \{\underbrace{a00...0}_{w_1} \; \underbrace{b00...0}_{w_2} ... \underbrace{000...0}_{w_k} \mid |w_i|=n \} = \{ a 0^{n-1} \, b 0^{n(k-1)-1} \}$

เช่นเรามี ,$k = 3$$L = \{ a\,b\,0, a0\,b0\,00, a00\,b00\,000, ...\}$$G_L = \{ S \to ab0 | aX00, X \to 0X00 | 0b0 \}$

จากนั้นให้ปิดการใช้งานภายใต้homomorphism ผกผันและสหภาพ :

โฮโมมอร์ฟิซึมแรก:$\varphi(1) \to a, \varphi(0) \to b, \varphi(1)\to 0, \varphi(0) \to 0$

โฮโมมอร์ฟิซึมที่สอง:$\varphi'(0) \to a, \varphi'(1) \to b, \varphi'(1)\to 0, \varphi'(0) \to 0$

$L' = \varphi^{-1}(L) \cup \varphi'^{-1}(L)$ ยังไม่มีบริบท

สมัครปิดภายใต้การเปลี่ยนแปลงวงจรเพื่อที่จะได้รับชุดของสตริงของความยาวไม่ได้อยู่ในรูปแบบ :$L'$$kn$$w^k$

$L'' = Shift(L') = \{ u \mid u \neq w^k \land |u| = kn \}$\}

ในที่สุดเพิ่มชุดของสตริงปกติที่ความยาวไม่สามารถหารด้วยเพื่อให้ได้ส่วนประกอบทั้งหมดของ :$k$$\{w^k\}$

$L'' \cup \{\{0,1\}^n\mid n \bmod k \neq 0\} = \{ u \mid u \neq w^k\}$