P และความซับซ้อนเชิงพรรณนา

ในสวนสัตว์ที่ซับซ้อนมันบอกว่า [ 1 ] ว่าในความซับซ้อนเชิงพรรณนา $P$ สามารถกำหนดโดยสามสูตรที่แตกต่างกันคือ $FO(LFP)$ ซึ่งเป็น $FO(n^{O(1)})$ และเช่นเดียวกับ $SO(HORN)$ )

แต่มีข้อยกเว้นบางอย่างเช่น $Evenness$ ไม่สามารถแสดงออกโดย FP (FP มีอำนาจที่แสดงออกเช่นเดียวกันกับ LFP) $Connectivity$ และ $2-colourability$ ไม่ได้ที่กำหนดโดยตรรกะลำดับแรก ปัญหาบางอย่างไม่สามารถแม้กระทั่ง axiomatized ด้วยตัวแปรจำนวน จำกัด เช่น $Evenness$ , $Perfect~Matching$ , $Hamiltonicity$ Y

Immerman เสนอว่า Fixed Point Logic + Counting (FPC) อาจเป็นตรรกะที่เป็นไปได้สำหรับการจับภาพ P

อย่างไรก็ตาม Cai Furer, Immerman พบว่ามีคุณสมบัติกราฟพหุนามเวลาที่ไม่สามารถแสดงได้ใน FPC [ 2 ] ปัญหาของการแก้สมการเชิงเส้นเหนือสนามองค์ประกอบทั้งสองนั้นไม่สามารถระบุได้อย่างชัดเจนในตรรกะอินฟินิตี้ที่มีการนับ [ 3 ] คุณอาจอ้างถึง [ 4 ] สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม

ดังนั้นโครงสร้างตรรกะใดที่สามารถจับภาพ P โดยทั่วไปได้ คำตอบในเชิงบวกคือคลาสของโครงสร้าง จำกัด ที่สั่งนั้นสามารถนิยามได้ในตรรกะจุดคงที่อย่างน้อยถ้าและถ้าหากมันสามารถ decidable ใน P โดย Immerman [ 5 ] และ Vardi [ 6 ] ในกรณีที่ไม่ได้สั่ง? คุณสามารถแสดงตัวอย่างคำสั่งเพิ่มเติมในสวนสัตว์ที่ซับซ้อนได้หรือไม่

lo.logic polynomial-time descriptive-complexity

— Rupei Xu
แหล่งที่มา

นี่คือการสอนที่ให้ภาพรวมของผลลัพธ์ของคำถามนี้โดยเฉพาะ: cl.cam.ac.uk/~ad260/talks/wollic-tutorial.pdf

— เดนิส

@ Denis ขอบคุณ Denis! บทช่วยสอนนี้มีโครงสร้างตรรกะเพิ่มเติมสำหรับ P. ตามเนื้อผ้าเมื่อเราพูดถึงปัญหาคือเวลาพหุนามสามารถแก้ไขได้เราคิดว่ามันเป็น "ง่าย" อย่างไรก็ตามโครงสร้างตรรกะของ P ดูเหมือนซับซ้อนมากและยังมีกรณีที่ไม่ทราบจำนวนมากและปัญหาที่เปิดอยู่

— Rupei Xu

ใช่ดูเหมือนว่าชุดของปัญหา "ง่าย" (เช่น P) ไม่ได้มีโครงสร้างที่ดีและยากที่จะอธิบายลักษณะคล้ายกับ "ปัญหาที่ง่ายคือปัญหาที่สามารถได้รับจากปัญหาพื้นฐาน A, B C รวมกันในรูปแบบ X, Y " มีปัญหาง่าย ๆ ที่จะเป็นประเภทอื่นเสมอและต้องการอัลกอริทึมพหุนามที่ฉลาดด้วยแนวคิดใหม่ ๆ

— เดนิส

มาร์ติน Grohe ทำให้ความคืบหน้าอย่างมากสำหรับคำถามนี้เมื่อเร็ว ๆ นี้ เขาให้ตรรกะการจับเวลาพหุนามในชั้นเรียนของกราฟที่ฝังอยู่ในพื้นผิวคงที่: https://dl.acm.org/citation.cfm?doid=2371656.2371662 แก้ไข:กรณีทั่วไปดูเหมือนจะไม่ได้รับการแก้ไข (แต่ฉันไม่ได้หมายถึง ผู้เชี่ยวชาญเรื่องนี้)

— Hermann Gruber
แหล่งที่มา

ใช่. มีผลลัพธ์เมตา - ทฤษฎีบทอัลกอริทึมจำนวนมาก (เช่นทฤษฎีบทของ Courcelle ที่มีชื่อเสียง) สามารถจับภาพกรณีง่ายลิงค์ต่อไปนี้เป็นบทความสำรวจที่ดี people.cs.umass.edu/~immerman/pub/… อย่างไรก็ตามผลลัพธ์เหล่านั้นยังมีข้อ จำกัด สำหรับโครงสร้างกราฟที่ปัญหาทำงานเช่นต้นไม้ขอบเขตการรีเรดแบบกราฟระนาบกราฟกราฟที่ปิดเล็กน้อยเป็นต้น ไม่มีโครงสร้างตรรกะที่สมบูรณ์สามารถจับ P ในกราฟทั่วไปโดยไม่ต้องสั่งซื้อเพื่อให้ห่างไกล

— Rupei Xu

ฉันเดาว่างานของ Grohe นั้นค่อนข้างพิเศษเพราะในกรณีนี้ตรรกะหมด P ทั้งหมดในกราฟที่มีขนาดใหญ่อย่างน่าทึ่งนั่นคือไม่มีการตอบโต้ ถ้าฉันเข้าใจถูกต้องความละเอียดถี่ถ้วนเป็นส่วนที่ยาก ผลลัพธ์ MSO ที่คุณพูดถึงดูเหมือนจะไม่มีคุณสมบัตินี้ แต่ฉันมีความเชี่ยวชาญในเรื่องนี้ จำกัด มากฉันอาจผิดที่นี่

— Hermann Gruber