ชั้นเรียนภาษาพิเศษ: ภาษา "วงกลม" มันเป็นที่รู้จักกัน?

กำหนดคลาสของภาษา "แบบวงกลม" ต่อไปนี้บนซิกม่าตัวอักษรที่ จำกัด จริงๆแล้วชื่อมีอยู่แล้วเพื่อแสดงถึงสิ่งที่แตกต่างที่ดูเหมือนว่าใช้ในด้านการคำนวณดีเอ็นเอ AFAICT นั่นเป็นคลาสภาษาอื่น

ภาษา L นั้น IFF วงกลมสำหรับทุกคำ$w$ใน$\Sigma^*$เรามี:

$w$เป็น L และถ้าหากสำหรับทุกจำนวนเต็ม$k > 0$ ,$w^k$เป็นลิตร

ภาษานี้เป็นที่รู้จักกันในระดับ? ฉันสนใจภาษาวงกลมซึ่งปกติและโดยเฉพาะอย่างยิ่งใน:

• ชื่อสำหรับพวกเขาหากพวกเขาเป็นที่รู้จักกันแล้ว

• decidability ของปัญหาให้อัตโนมัติ (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง: DFA) ไม่ว่าจะเป็นภาษาที่ยอมรับได้ปฏิบัติตามคำนิยามข้างต้น

ในส่วนแรกเราจะแสดงอัลกอริธึมชี้แจงสำหรับการตัดสินใจแบบวงกลม ในส่วนที่สองเราแสดงให้เห็นว่านี่เป็นปัญหาที่เกิดจาก coNP-hard ในส่วนที่สามเราแสดงให้เห็นว่าทุกภาษาวงกลมเป็นสหภาพของภาษาของรูปแบบr + (ที่นี่rอาจเป็น regexp ที่ว่างเปล่า); สหภาพไม่จำเป็นต้องแยกจากกัน ในส่วนที่สี่เราแสดงภาษาวงกลมซึ่งไม่สามารถเขียนเป็นผลรวม∑ r + $r^+$$r$$\sum r_i^+$ฉัน

แก้ไข: รวมการแก้ไขบางอย่างตามความเห็นของ Mark โดยเฉพาะอย่างยิ่งการกล่าวอ้างก่อนหน้านี้ของฉันว่าการแก้ไขแบบวงกลมคือ coNP-complete หรือ NP-hard ได้รับการแก้ไข

แก้ไข: แก้ไขรูปแบบปกติจากΣ R * ฉันจะΣ R +ฉัน จัดแสดงภาษา "ไม่ชัดเจนโดยเนื้อแท้"$\sum r_i^*$$\sum r_i^+$

ต่อความคิดเห็นของ Peter Taylor ต่อไปนี้เป็นวิธีการตัดสินใจ (ไร้ประสิทธิภาพอย่างยิ่ง) ว่าภาษาใดบ้าง สร้าง DFA ใหม่ที่รัฐเป็นn- tuples ของรัฐเก่า DFA ใหม่นี้ใช้งานNสำเนาของ DFA เก่าแบบขนาน$n$$n$

หากภาษาไม่ได้เป็นวงกลมแล้วมีคำWเช่นว่าถ้าเราทำงานมันผ่าน DFA ซ้ำ ๆ เริ่มต้นด้วยสถานะเริ่มต้นที่0แล้วเราได้รับรัฐs 1 , ... , s nดังกล่าวว่าs 1จะรับ แต่อย่างหนึ่ง ของคนอื่น ๆ ไม่ได้รับการยอมรับ (ถ้าทั้งหมดของพวกเขาได้รับการยอมรับแล้วจากนั้นลำดับs 0 , ... , s nวงจรต้องเพื่อให้W *อยู่เสมอในภาษา) กล่าวอีกนัยหนึ่งเรามีเส้นทางจากs 0 , … $w$$s_0$$s_1,\ldots,s_n$$s_1$$s_0,\ldots,s_n$$w^*$ s n- 1ถึง s 1 ,…, s nเมื่อ s 1ยอมรับ แต่คนอื่นไม่ยอมรับ ในทางกลับกันถ้าภาษานั้นเป็นวงกลมแล้วนั่นจะไม่เกิดขึ้น$s_0,\ldots,s_{n-1}$$s_1,\ldots,s_n$$s_1$

ดังนั้นเราจึงลดปัญหาดังกล่าวเป็นการทดสอบการเข้าถึงโดยตรงแบบง่าย ๆ (แค่ตรวจสอบ " n " tuples ที่เป็นไปได้ทั้งหมด)$n$

ปัญหาของการเวียนคือ coNP-hard สมมติว่าเรากำลังได้รับเช่น 3SAT กับnตัวแปร→ xและเมตรข้อC 1 , ... , Cเมตร เราสามารถสันนิษฐานได้ว่าn = m (เพิ่มตัวแปรดัมมี่) และnนั้นเป็นไพร์ม (มิฉะนั้นจะหาไพร์มระหว่างnและ2 $n$$\vec{x}$$m$$C_1,\ldots,C_m$$n = m$$n$$n$$2n$โดยใช้การทดสอบแบบดั้งเดิมของ AKS และเพิ่มตัวแปรและประโยคจำลอง)

พิจารณาภาษาต่อไปนี้: "อินพุตไม่ได้อยู่ในรูปแบบ→ x 1 ⋯ → x nโดยที่→ x iเป็นการมอบหมายที่น่าพอใจสำหรับC i " มันง่ายที่จะสร้างO ( n 2 ) DFA สำหรับภาษานี้ หากภาษาไม่ได้เป็นวงกลมแล้วมีคำWในภาษาที่อำนาจของซึ่งบางคนไม่ได้อยู่ในภาษา ตั้งแต่คำพูดเพียงไม่ได้อยู่ในภาษาที่มีความยาวn 2 , Wจะต้องมีความยาว1หรือ$\vec{x}_1 \cdots \vec{x}_n$$\vec{x}_i$$C_i$$O(n^2)$$w$$n^2$$w$$1$$n$ nถ้ามันมีความยาว1พิจารณา w nแทน (ยังอยู่ในภาษา) เพื่อให้ wอยู่ในภาษาและ w nไม่ได้อยู่ในภาษา ความจริงที่ว่า w nไม่ได้อยู่ในภาษาหมายความว่า wคือการมอบหมายที่น่าพอใจ$1$$w^n$$w$$w^n$$w^n$$w$

ในทางกลับกันการมอบหมายที่น่าพอใจใด ๆ แปลเป็นคำที่พิสูจน์ความไม่เป็นวงกลมของภาษา: การมอบหมายที่น่าพอใจwเป็นของภาษา แต่w nไม่ได้ ดังนั้นภาษาจึงเป็นแบบวงกลมถ้าอินสแตนซ์ 3SAT ไม่น่าพอใจ$w$$w^n$

ในส่วนนี้เราจะหารือเกี่ยวกับรูปแบบปกติสำหรับภาษาวงกลม พิจารณา DFA บางอย่างสำหรับภาษาวงกลมL ลำดับC = C 0 , …เป็นจริงถ้าC 0 = s (สถานะเริ่มต้น) รัฐอื่น ๆ ทั้งหมดกำลังยอมรับและC i = C jหมายถึงC i + 1 = $L$$C = C_0,\ldots$$C_0 = s$$C_i = C_j$$C_{i+1} = C_{j+1}$ 1ดังนั้นลำดับที่แท้จริงทุกครั้งจะเป็นระยะและในที่สุดก็มีเพียงลำดับที่แท้จริงจำนวนมากเท่านั้น (เนื่องจาก DFA นั้นมีหลายรัฐที่มีขอบเขต)

เราบอกว่าเป็นคำที่จะทำงานตาม$C$ถ้าคำเตะ DFA จากรัฐคฉันไปยังรัฐคฉัน+ 1สำหรับทุกฉัน ชุดของคำดังกล่าวทั้งหมดE ( C )เป็นปกติ (อาร์กิวเมนต์คล้ายกับส่วนแรกของคำตอบนี้) โปรดทราบว่าE ( C )เป็นส่วนหนึ่งของL$c_i$$c_{i+1}$$i$$E(C)$$E(C)$$L$

ได้รับจริงลำดับCกำหนดC kจะเป็นลำดับC k ( T ) = C ( k T ) ลำดับC kก็เป็นจริงเช่นกัน เนื่องจากมีเพียงขอบเขตหลายลำดับที่แตกต่างกันC kภาษาD ( C )ซึ่งเป็นสหภาพของทั้งหมดE $C$$C^k$$C^k(t) = C(kt)$$C^k$$C^k$$D(C)$ C k )ยังเป็นปกติ$E(C^k)$

เราอ้างว่าD ( C )มีคุณสมบัติที่ว่าถ้าx , y ที่∈ D ( C )แล้วx Y ∈ D ( C ) อันที่จริงสมมติว่าx ∈ C kและY ∈ Cลิตร จากนั้นx Y ∈ C k + L ดังนั้นD ( C ) = D ( C ) +สามารถเขียนในรูปแบบ$D(C)$$x,y \in D(C)$$xy \in D(C)$$x \in C^k$$y \in C^l$$xy \in C^{k+l}$$D(C) = D(C)^+$$r^+$สำหรับการแสดงออกปกติบางอย่าง$r$ R

ทุกคำที่Wในสอดคล้องกับภาษาที่บางลำดับที่แท้จริงCคือมีอยู่ลำดับที่แท้จริงCที่Wพฤติกรรมตาม ดังนั้นLเป็นสหภาพของD ( C )มากกว่าทุกจริงลำดับC ดังนั้นทุกภาษาวงกลมมีตัวแทนของรูปแบบΣ R +ฉัน ในทางกลับกันทุกภาษาดังกล่าวเป็นวงกลม (เล็กน้อย)$w$$C$$C$$w$$L$$D(C)$$C$$\sum r_i^+$

พิจารณาภาษาวงกลมLของคำทั่ว, Bที่มีทั้งจำนวนหรือแม้กระทั่ง's หรือเลขคู่ของข ' s (หรือทั้งสอง) เราแสดงให้เห็นว่ามันไม่สามารถเขียนเป็นผลรวมdis r + i ; โดย "disjoint" เราหมายถึงr + i ∩ r + j = $L$$a,b$$a$$b$$\sum r_i^+$$r_i^+ \cap r_j^+ = \varnothing$ ∅

ให้N ฉันเป็นขนาดของ DFA บางค่าสำหรับr + iและN > max N iเป็นจำนวนเต็มคี่ พิจารณาx = a N b N ! . ตั้งแต่x ∈ L , x ∈ R + ผมบางผม โดยแทรกสูบน้ำที่เราสามารถปั๊มคำนำหน้าของxความยาวที่มากที่สุดN ดังนั้นr + i จึงสร้างz = a N $N_i$$r_i^+$$N > \max N_i$$x = a^N b^{N!}$$x \in L$$x \in r_i^+$$i$$x$$N$$r_i^+$$z = a^{N!} b^{N!}$. ในทำนองเดียวกันy = a N ! ขNถูกสร้างขึ้นโดยบางR + Jซึ่งยังสร้างZ โปรดทราบว่าฉัน≠ เจตั้งแต่x Y ∉ L ดังนั้นการเป็นตัวแทนจึงไม่สามารถแยกออกจากกันได้$y = a^{N!} b^N$$r_j^+$$z$$i \neq j$$xy \notin L$

นี่คือเอกสารบางส่วนที่พูดถึงภาษาเหล่านี้:

Thierry Cachat พลังของภาษาหนึ่งตัวอักษร DLT 2001, Springer LNCS # 2295 (2002), 145-154

S. Hovath, P. Leupold และ G. Lischke, รากและพลังของภาษาปกติ DLT 2002, Springer LNCS # 2450 (2003), 220-230

H. Bordihn, บริบท - freeness ของพลังของภาษาปลอดบริบทไม่สามารถตัดสินใจได้, TCS 314 (2004), 445-449

@Dave Clarke, L = a*|b* would be circular, but L* would be (a|b)*.

In terms of decidability, a language $L$ is circular if there is an $L'$ such that $L$ is the closure under + of $L'$ or if it is a finite union of circular languages.

(I'm dying to redefine "circular" replacing your $>$ with $\ge$. It simplifies things a lot. We can then characterise the circular languages as those for which there exists a NDFA whose starting state has only epsilon-transitions to accepting states and has an epsilon-transition to each accepting state).

Edit: A complete (simplified) PSPACE-completeness proof appears below.

Two updates. First, the normal form described in my other answer appears already in a paper by Calbrix and Nivat titled Prefix and period languages of rational $\omega$-langauges, unfortunately not available online.

Second, deciding whether a language is circular given its DFA is PSPACE-complete.

Circularity in PSPACE. Since NPSPACE=PSPACE by Savitch's theorem, it is enough to give an NPSPACE algorithm for non-circularity. Let $A = (Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$ be a DFA with $|Q|=n$ states. The fact that the syntactic monoid of $L(A)$ has size at most $n^n$ implies that if $L(A)$ is not circular then there is a word $w$ of length at most $n^n$ such that $w \in L(A)$ but $w^k \notin L(A)$ for some $k \leq n$. The algorithm guesses $w$ and computes $\delta_w(q) = \delta(q,w)$ for all $q \in Q$, using $O(n\log n)$ space (used to count up to $n^n$). It then verifies that $\delta_w(q_0) \in F$ but $\delta_w^{(k)} \notin F$ for some $k \leq n$.

Circularity is PSPACE-hard. Kozen showed in his classic 1977 paper Lower bounds for natural proof systems that it is PSPACE-hard to decide, given a list of DFAs, whether the intersection of the languages accepted by them is empty. We reduce this problem to circularity. Given binary DFAs $A_1,\ldots,A_n$, we find a prime $p \in [n,2n]$ and construct a ternary DFA $A$ accepting the language

Every $s \in L$ of length $p>0$ can be written as $xy^{i}z$ where $x = z = \epsilon$ , $y = w \neq \epsilon$ . It's obvious that $|xy| \leq p$ and $|y| = |w| > 0$. It follows that the language is regular for non-empty inputs, by the pumping lemma.

For $w= \epsilon$ , the definition holds, since a NDFA that accepts the empty string will also accept any number of empty strings.

The union of the above languages is the language L and since regular languages are closed under union, it follows that every circular language is regular.

By Rice's theorem, $CIRCULARITY/TM$ is undecidable. The proof is similar to regularity.