หมายเลขพาร์ติชันโปรโตคอลและความซับซ้อนของการสื่อสารที่กำหนดขึ้น

นอกจากนี้(กำหนด) การสื่อสารความซับซ้อน ของความสัมพันธ์อีกมาตรการพื้นฐานสำหรับจำนวนของการสื่อสารที่จำเป็นเป็นจำนวนพาร์ทิชันโปรโตคอล(R) ความสัมพันธ์ระหว่างสองมาตรการนี้เป็นที่ทราบกันดีถึงปัจจัยคงที่ เอกสารโดย Kushilevitz และ Nisan (1997) ให้R p p ( R $cc(R)$$R$ $pp(R)$

เกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกันที่สองมันเป็นเรื่องง่ายที่จะให้ (ครอบครัวไม่มีที่สิ้นสุดของ) ความสัมพันธ์กับ(R)log 2 ( p p ( R ) ) = c c ( R $R$$\log_2(pp(R)) = cc(R)$

เกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกันครั้งแรก Doerr (1999) แสดงให้เห็นว่าเราสามารถเปลี่ยนปัจจัยในผูกไว้เป็นครั้งแรกโดยcขอบเขตแรกสามารถปรับปรุงได้มากแค่ไหนถ้าทำได้? c = $c=3$$c=2.223$

แรงจูงใจเพิ่มเติมจากความซับซ้อนเชิงอธิบาย: การปรับปรุงค่าคงที่จะส่งผลให้ขอบเขตล่างที่ดีขึ้นในขนาดต่ำสุดของการแสดงออกปกติเทียบเท่ากับ DFA ที่ระบุอธิบายภาษาที่แน่นอนบางอย่างดู Gruber และ Johannsen (2008) $2.223$

แม้ว่าจะไม่เกี่ยวข้องโดยตรงกับคำถามนี้ Kushilevitz, Linial และ Ostrovsky (1999) ให้ความสัมพันธ์กับโดยที่คือจำนวนพาร์ทิชันสี่เหลี่ยมผืนผ้าc c ( R ) / ( 2 - o ( 1 ) ) ≥ บันทึก2 ( r p ( R ) ) r p ( R $R$$cc(R)/(2-o(1)) \ge \log_2(rp(R))$$rp(R)$

แก้ไข:ขอให้สังเกตว่าคำถามข้างต้นจะเทียบเท่ากับคำถามต่อไปนี้ในความซับซ้อนของวงจรแบบบูล: คือค่าคงที่ที่เหมาะสมในสิ่งที่ดังที่ทุกสูตร DeMorgan บูลของ leafsize L สามารถเปลี่ยนเป็นสูตรเทียบเท่าของความลึกที่มากที่สุด ?c log 2$c$$c \log_2L$

การอ้างอิง :

• Kushilevitz, Eyal; Nisan, Noam: ความซับซ้อนของการสื่อสาร สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 1997
• Kushilevitz, Eyal; ลีเนียลนาธาน; Ostrovsky, Rafail: การคาดคะเนเชิงเส้น - อาร์เรย์ในความซับซ้อนของการสื่อสารเป็นเท็จ, Combinatorica 19 (2): 241-254, 1999
• Doerr, Benjamin: ความซับซ้อนของการสื่อสารและหมายเลขพาร์ติชันของโปรโตคอล, รายงานทางเทคนิค 99-28, Berichtsreihe des Mathematischen Seminars der Universität Kiel, 1999
• กรูเบอร์แฮร์มันน์; Johannsen, Jan: ขอบเขตต่ำสุดที่เหมาะสมกับขนาดนิพจน์ปกติโดยใช้การสื่อสารที่ซับซ้อน ใน: รากฐานของวิทยาศาสตร์ซอฟต์แวร์และโครงสร้างการคำนวณ 2008 (FoSSaCS 2008), LNCS 4962, 273-286 สปริงเกอร์

$cc(R)\le 2\log_2(pp(R))$$\le$

ทางอ้อมสมมติว่ามีค่า R ซึ่งไม่เป็นความจริงและให้เรารับค่า R ด้วยค่า pp (R) ที่เล็กที่สุดที่เป็นไปได้ซึ่งละเมิดความไม่เท่าเทียมกัน โดยพื้นฐานแล้วเราต้องแสดงให้เห็นว่าการใช้สองบิตเราสามารถลดจำนวนของใบไม้ในผลลัพธ์ทั้งสี่ของแผนผังโปรโตคอลจากนั้นเราจะทำการเหนี่ยวนำ

$\times$$\times$$\times$$\times$

ตอนนี้เรารู้ว่า L + R> 1/2, L, R <1/2 และโดยไม่สูญเสียความสามารถทั่วไปเราสามารถสมมติได้ว่า L เป็น R มากที่สุดเรายังรู้ D = A + B + C <1/2 มันตามมาว่า 2L + A + B <1 ซึ่งเรารู้ว่า L + A <1/2 หรือ L + B <1/2 นี่เป็นสองกรณีของเรา

กรณี L + A <1/2: บ็อบแรกบอกว่าอินพุตของเขาเป็นของ Y0 หรือไม่ ถ้าไม่เรามีเหลือไม่เกิน D <1/2 ถ้าเป็นเช่นนั้นอลิซจะบอกว่าอินพุตของเธอเป็นของ XR หรือไม่ หากไม่มีเราเหลือ L + A <เหลืออีก 1/2 ใบ ถ้าเป็นเช่นนั้นเราเหลือ R <1/2

กรณี L + B <1/2: อลิซคนแรกบอกว่าอินพุตของเธอเป็นของ XR หรือไม่ ถ้าเป็นเช่นนั้นบ๊อบบอกว่าเขาเป็นของ Y0 หรือไม่ขึ้นอยู่กับสิ่งนี้ว่าเรามี R หรือ B เหลืออยู่ ถ้าอินพุตของอลิซไม่ได้อยู่ใน XR แล้วอลิซก็จะบอกว่าอินพุตของเธอเป็น XL หรือไม่ ถ้าเป็นเช่นนั้นเรามี L + B เหลืออีก 1/2 ใบ ถ้าไม่มีเรามีไม่เกิน D <1/2 ใบ

ในทุกกรณีเราจะทำ แจ้งให้เราทราบสิ่งที่คุณคิด.

$c\le 2$$c \le 1.73$

อ้างอิง

Stasys Jukna ความซับซ้อนของฟังก์ชันบูลีน: ความก้าวหน้าและขอบเขต Springer, 2012

VM Khrapchenko เกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างความซับซ้อนและความลึก Metody Diskretnogo Analiza ใน Synthezis ของระบบควบคุม 32: 76–94, 1978