ปัญหา SAT ใดที่ง่าย?

27

"ภูมิภาคที่ง่าย" สำหรับความพึงพอใจคืออะไร? กล่าวอีกนัยหนึ่งเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับนักแก้ปัญหา SAT บางคนสามารถค้นหาการมอบหมายที่น่าพอใจโดยสมมติว่ามีอยู่

ตัวอย่างหนึ่งคือเมื่อแต่ละประโยคแบ่งใช้ตัวแปรที่มีส่วนคำสั่งอื่น ๆ ไม่กี่อันเนื่องมาจากการพิสูจน์เชิงสร้างสรรค์ของ LLL ผลลัพธ์อื่น ๆ ตามสายเหล่านั้น?

มีวรรณกรรมมากมายในภูมิภาคง่าย ๆ สำหรับการขยายความเชื่อมีอะไรบ้างในสายเหล่านั้นสำหรับความพึงพอใจ?

cc.complexity-theory sat

— Yaroslav Bulatov
แหล่งที่มา

2

คุณสนใจการเปลี่ยนเฟสแบบสุ่มด้วยหรือไม่

— Suresh Venkat

สภาพที่เพียงพอมีลักษณะอย่างไร Peter Shor พูดถึงในโพสต์อื่นว่าอินสแตนซ์ SAT ต้องมี "โครงสร้างแบบสุ่ม" เพื่อกำหนดอัตราส่วนของส่วนคำสั่งต่อตัวแปรที่เกี่ยวข้อง ฉันสงสัยว่านี่เป็นสิ่งที่สามารถเข้ารหัสให้อยู่ในสภาพที่เพียงพอได้ไหม

— Yaroslav Bulatov

33

ฉันเดาว่าคุณคงทราบผลแบบคลาสสิกของ Schaefer จาก STOC'78 แต่ในกรณีนี้

10.1145 / 800,133.804350

Schaefer พิสูจน์ว่าถ้า SAT ถูกเปรียบเทียบโดยชุดของความสัมพันธ์ที่ได้รับอนุญาตในกรณีใด ๆ ก็มีเพียง 6 กรณีที่สามารถจัดการได้: 2-SAT (เช่นทุกประโยคเป็นเลขฐานสอง) Horn-SAT, Horn-sat คู่, affine-SAT ( โซลูชันสำหรับสมการเชิงเส้นใน GF (2)), 0-valid (ความสัมพันธ์ที่พอใจโดยการมอบหมายทั้งหมด -0) และ 1-valid (ความสัมพันธ์พอใจโดยการมอบหมายทั้งหมด -1)

— Standa Zivny
แหล่งที่มา

3

มีกระดาษอีกฉบับที่ปรับปรุงผลลัพธ์นี้: ความซับซ้อนของปัญหาความพึงพอใจ: "ทฤษฎีบทการกลั่น Schaefer" Eric Allender, Michael Bauland, Neil Immerman, Henning Schnoor และ Heribert Vollmer

— Vinicius dos Santos

1

ขอบคุณนี่คือ doi: dx.doi.org/10.1016/j.jcss.2008.11.001

— Standa Zivny

โปรดทราบว่าสิ่งเหล่านี้เป็นปัญหาความพึงพอใจที่ จำกัด และไม่ใช่ SAT (แม้ว่าจะสามารถเขียนใหม่เป็นกรณีของ SAT ได้ แต่โดยทางเทคนิคแล้ว SAT หมายถึง CSP ที่มีหรือเพรดิเคต)

— MCH

14

ฉันไม่แน่ใจว่านี่คือสิ่งที่คุณกำลังมองหาหรือไม่ แต่มีวรรณกรรมมากมายเกี่ยวกับการเปลี่ยนเฟส 3-SAT

Monasson, Zecchina, Kirkpatrcik, Selman และ Troyanskyมีกระดาษในธรรมชาติที่พูดถึงการเปลี่ยนเฟสของการสุ่ม k-SAT พวกเขาใช้การกำหนดพารามิเตอร์ของอัตราส่วนของส่วนคำสั่งต่อตัวแปร สำหรับสุ่ม 3-SAT พวกเขาพบตัวเลขว่าจุดเปลี่ยนอยู่ที่ประมาณ 4.3 เหนือจุดนี้อินสแตนซ์ 3-SAT แบบสุ่มมีข้อ จำกัด และเกือบจะไม่สามารถระบุได้แน่นอนและปัญหาด้านล่างนี้อยู่ภายใต้ข้อ จำกัด และน่าพอใจ (มีความน่าจะเป็นสูง) Mertens, Mezard และ Zecchinaใช้ขั้นตอนวิธีโพรงเพื่อประเมินจุดเปลี่ยนเฟสให้แม่นยำยิ่งขึ้น

อยู่ห่างจากจุดวิกฤติอัลกอริทึม "dumb" ทำงานได้ดีสำหรับอินสแตนซ์ที่น่าพอใจ (walk sat ฯลฯ ) จากสิ่งที่ฉันเข้าใจเวลาตัวแก้ปัญหาที่กำหนดขึ้นจะเพิ่มขึ้นเป็นทวีคูณที่หรือใกล้กับช่วงเปลี่ยนผ่าน (ดูที่นี่สำหรับการอภิปรายเพิ่มเติม)

ลูกพี่ลูกน้องใกล้ชิดของการเผยแผ่ความเชื่อ, Braunstein, Mezard และ Zecchina ได้แนะนำการเผยแผ่แบบสำรวจที่มีการรายงานเพื่อแก้ปัญหาอินสแตนซ์ 3-SAT ที่น่าพอใจในตัวแปรหลายล้านตัว Mezard มีการบรรยายที่นี่เกี่ยวกับแว่นตาสปิน (ทฤษฎีที่เขาใช้ในการวิเคราะห์การเปลี่ยนเฟสแบบสุ่ม NP-Complete) และ Maneva มีการบรรยายที่นี่เกี่ยวกับการขยายพันธุ์สำรวจ

จากอีกทางหนึ่งดูเหมือนว่านักแก้ปัญหาที่ดีที่สุดของเราใช้เวลาเป็นจำนวนมากในการพิสูจน์ว่าไม่น่าพอใจ ดูที่นี่ , ที่นี่และที่นี่สำหรับปรู๊ฟ / การอภิปรายของธรรมชาติชี้แจงของวิธีการบางอย่างร่วมกันในการพิสูจน์ unsatisfiability (ขั้นตอนเดวิสพัทและวิธีการแก้ปัญหา)

เราต้องระมัดระวังอย่างมากเกี่ยวกับการเรียกร้อง 'ความง่าย' หรือ 'ความแข็ง' สำหรับปัญหา NP-Complete แบบสุ่ม การมีปัญหา NP-Complete แสดงการเปลี่ยนเฟสไม่รับประกันว่าจะเกิดปัญหาที่ยากหรือไม่หรือแม้กระทั่งมี ตัวอย่างเช่นปัญหาวงจร Hamiltoniain ในกราฟสุ่มของ Erdos-Renyi นั้นพิสูจน์ได้ง่ายแม้ในหรือใกล้กับจุดเปลี่ยนสำคัญ ปัญหาพาร์ติชั่นตัวเลขดูเหมือนจะไม่มีอัลกอริธึมใด ๆ ที่สามารถแก้ปัญหานี้ได้ดีในความน่าจะเป็น 1 หรือ 0 โดยที่อยู่ใกล้กับจุดวิกฤติ จากสิ่งที่ฉันเข้าใจปัญหาสุ่ม 3-SAT มีอัลกอริธึมที่ทำงานได้ดีสำหรับกรณีที่น่าพอใจเกือบหรือต่ำกว่าระดับวิกฤต (การขยายการสำรวจเดินวอล์ดและอื่น ๆ ) แต่ไม่มีอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพเหนือขีด จำกัด วิกฤติ

— user834
แหล่งที่มา

ฉันสงสัยว่าผลการสุ่ม "k-SAT" เหล่านั้นใด ๆ ถ่ายโอนไปยังอินสแตนซ์ SAT ในชีวิตจริงหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งว่าอัตราส่วนของส่วนคำสั่งต่อตัวแปรยังคงเป็นตัวบ่งชี้ความแข็งที่มีประโยชน์

— Yaroslav Bulatov

1

@Yaroslav จากประสบการณ์ของฉันไม่ ปัญหาในโลกแห่งความเป็นจริงจำนวนมาก (แม้แต่การลดลง) มีโครงสร้าง (หรือแนะนำ) มากมายเพื่อทำลายการสุ่มที่นักแก้ปัญหาจำนวนมากได้รับการปรับให้เหมาะสม ดูเหมือนว่าในบางครั้งเราอาจจะสามารถอธิบายโครงสร้างนั้นและสามารถมุ่งเน้นเฉพาะในส่วนของการสุ่ม (หรือ 'แก่นแท้' ของปัญหาสุ่ม) แต่ฉันไม่เห็นวิธีการทำแบบนั้น ฉันรู้ตัวอย่างจริง ๆ ที่ใช้กลยุทธ์นั้นหรือไม่

— user834

R (F)

$R(F)$

F

$F$

r \in [0, 1]

$r \in [0,1]$

F

$F$

5

มีเงื่อนไขเพียงพอจำนวนมาก ในแง่หนึ่ง CS เชิงทฤษฎีส่วนใหญ่ได้ทุ่มเทให้กับการรวบรวมเงื่อนไขเหล่านี้ - ความสามารถในการจัดการพารามิเตอร์คงที่, 2-SAT, 3-SAT แบบสุ่มที่มีความหนาแน่นต่างกัน ฯลฯ

— ปีเตอร์ Boothe
แหล่งที่มา

2

นั่นเป็นความจริงใคร ๆ ก็สามารถแก้ปัญหา X ที่แก้ได้ง่ายและพูดว่า "สูตรใด ๆ ที่สอดคล้องกับปัญหา X นั้นง่าย" ฉันเดาว่าฉันกำลังมองหาเงื่อนไขที่เพียงพอที่มีประสิทธิภาพมากกว่าในการสรุปภูมิภาคที่ง่ายกว่า "ปัญหาทั้งหมดที่รู้จักกันใน P" เช่นเดียวกับที่ Lovasz Local Lemma สร้างสรรค์ทำได้

— Yaroslav Bulatov

3

ยังไม่มีการรับรู้อย่างกว้างขวางเกี่ยวกับแนวคิดนี้ในวรรณคดี แต่กราฟประโยคของปัญหา SAT (กราฟที่มีโหนดหนึ่งโหนดต่อประโยคและโหนดนั้นเชื่อมต่อกันหากส่วนคำสั่งแบ่งใช้ตัวแปร) เช่นเดียวกับกราฟอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้อง ของการเป็นตัวแทน SAT ดูเหมือนจะมีเงื่อนงำพื้นฐานมากมายว่าค่าเฉลี่ยนั้นยากเพียงใด

ส่วนคำสั่งกราฟสามารถวิเคราะห์ได้ผ่านอัลกอริธึมเชิงทฤษฎีกราฟทุกชนิดซึ่งเป็นการวัดตามธรรมชาติของ "โครงสร้าง" และมีการเชื่อมต่อที่แข็งแกร่งกับการวัด / ประเมินความแข็งและปรากฏว่าการวิจัยเกี่ยวกับโครงสร้างนี้และผลกระทบของมันยังเร็วมาก ขั้นตอน เป็นไปไม่ได้เลยที่การวิจัยจุดเปลี่ยนผ่านซึ่งเป็นวิธีการแบบดั้งเดิมและได้รับการศึกษาอย่างดีในการเข้าถึงคำถามนี้อาจถูกนำไปเชื่อมโยงกับโครงสร้างกราฟข้อนี้ (ในระดับหนึ่งแล้วมี) กล่าวอีกนัยหนึ่งจุดเปลี่ยนใน SAT อาจมีอยู่ "เพราะ" โครงสร้างของกราฟส่วน

นี่คือหนึ่งการอ้างอิงที่ยอดเยี่ยมตามแนวเหล่านี้วิทยานิพนธ์ปริญญาเอกโดย Herwig มีอีกหลายคน

[1] การย่อยสลายปัญหาความพึงพอใจหรือใช้กราฟเพื่อให้เข้าใจปัญหาความพึงพอใจได้ดีขึ้น Herwig 2006 (83pp)

— vzn
แหล่งที่มา

นี่คือกราฟการพึ่งพาเมื่อใช้บทแทรกโลคัสท้องถิ่นและตัวแปรเพื่อความพึงพอใจ ในแง่ที่ว่ากราฟประโยคที่ได้รับการมองที่มาก เชียเรอร์แสดงลักษณะกราฟที่บทแทรกท้องถิ่นเก็บไว้และ Kolipaka และ Szegedy ทำให้ Schaefer มีผลลัพธ์ที่สร้างสรรค์ เมื่อคุณไม่รู้อะไรมากโปรดอย่าอนุมานว่าไม่มีใครรู้!

— Sasho Nikolov

shaefers แยกย่อยเป็นคลาสเวไนยได้กล่าวถึงในคำตอบโดย Zivny แต่การวิเคราะห์กราฟข้อนี้ค่อนข้างใหม่ลึกและเหมาะสมยิ่งขึ้นและมากขึ้นด้วยรสชาติเชิงประจักษ์ สำหรับการอ้างอิงที่คุณพูดถึงดูเหมือนจะไม่ถูกกล่าวถึงบ่อยครั้งในเอกสารความแข็งของ SAT / การวิจัย ... มีการสอบถามหลายพันรายการ / คู่ขนานที่เกี่ยวข้องกัน ...

— vzn

Schaefer เป็นตัวพิมพ์ผิดฉันหมายถึงเชียเรอร์ LLL และตัวแปรเป็นเครื่องมือหลักในการกำหนดอินสแตนซ์ที่ยากของ k-SAT การค้นหาของ Google จะแสดงการอ้างอิงจำนวนมาก ทฤษฎีของเชียเรอร์แสดงให้เห็นว่าข้อใดในกราฟแสดงให้เห็นว่ามีอินสแตนซ์ SAT ที่มีกราฟนั้นเป็นที่น่าพอใจ ดูแบบสำรวจนี้สำหรับการเชื่อมต่อโดยละเอียดเกี่ยวกับค่าความแข็งความยากของการสร้างอินสแตนซ์อัลกอริทึม ฯลฯdisco.ethz.ch/lectures/fs11/seminar/paper/barbara-3.pdf

— Sasho Nikolov

1

ความคิดโดยทั่วไป: ทุกครั้งที่คุณพูดอะไรบางอย่างเป็นดินแดนที่มีความเป็นไปได้ที่แข็งแกร่งมันเป็นดินแดนที่อยู่กับคุณ ไม่ว่าในกรณีใดความคิดเห็นประเภทนี้ไร้ประโยชน์เว้นแต่คุณจะเป็นผู้เชี่ยวชาญที่จัดตั้งและเผยแพร่ในพื้นที่ มันจะดีกว่าถ้าคุณ จำกัด คำตอบของคุณในสิ่งที่คุณรู้และแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับสิ่งที่คุณคิดว่าไม่มีใครรู้

— Sasho Nikolov

1

LLLเป็นเครื่องมือหนึ่งในการวิเคราะห์ SAT ที่คิดค้นในปี 1975 โดยอาจมีการปรับแต่งบางส่วนตั้งแต่นั้น สูตรสำหรับเพียงพอกรณีง่ายหรือยาก แต่ไม่จำเป็น วิธีการอื่นตั้งแต่นั้นมามีอยู่ที่เติมช่องว่างในรูปแบบใหม่เช่นขยายและบายพาส คุณต้องสับสนกับคำตอบนี้อย่างอื่นไม่มีการใช้คำว่า"terra incognita"ในคำถามข้างต้น & แนะนำให้คุณจำกัด ตัวเองกับคำตอบที่เป็นจริงและไม่คาดเดาเกี่ยวกับสิ่งที่คนอื่นรู้หรือไม่รู้ =)

— vzn

1

มันง่ายที่จะย้ายอินสแตนซ์ทั้งหมดใกล้กับจุด "การเปลี่ยนแปลง" ไปยังจุดที่ห่างไกลจากจุด "การเปลี่ยนแปลง" ตามที่ปรารถนา การเคลื่อนที่เกี่ยวข้องกับเวลา / พหุนามความพยายาม

หากอินสแตนซ์ที่อยู่ห่างจากจุด "การเปลี่ยนแปลง" นั้นง่ายต่อการแก้ปัญหาผู้ที่อยู่ใกล้กับจุดเปลี่ยนนั้นจะต้องแก้ปัญหาได้อย่างเท่าเทียมกัน (การแปลงพหุนามและทั้งหมด)

— GHR
แหล่งที่มา

คุณสามารถทำอย่างละเอียดหรือคุณมีการอ้างอิงสำหรับเรื่องนี้?

— vzn

1

$\kappa$

พบว่ามีโครงสร้างความคล้ายคลึงกันของเศษส่วนที่ ชัดเจนของ wrt พารามิเตอร์ที่ถูก จำกัด เช่นตัวแก้DP (LL)ในระหว่างการค้นหามีแนวโน้มที่จะค้นหาปัญหาย่อยด้วยข้อ จำกัด ที่สำคัญเดียวกันไม่ว่าตัวแปรใดจะถูกเลือกถัดจากสาขา มีการวิเคราะห์เพิ่มเติมบางส่วนของโครงสร้างเศษส่วนในกรณี SAT (เช่นมิติ Hausdorffของสูตร SAT และการเชื่อมต่อกับความแข็ง) ในเช่น [2,3]

อีกข้อสอบหนึ่งที่ค่อนข้างมีความสัมพันธ์กันที่นี่คือความสัมพันธ์ของกราฟโลกเล็ก ๆกับ (ยาก) โครงสร้าง SAT เช่น [4,5]

$\stackrel{?}{=}$

[1] ขอบมีดแบบมีข้อ จำกัดโดย Toby Walsh 1998

[2] ความเหมือนตนเองของการแสดงออกอันน่าพึงพอใจของบูลีนที่ถูกประกาศในข้อกำหนดของกราฟที่ทำหน้าที่ระบบการทำงานซ้ำซ้อนโดย Ni และ Wen

[3] การแสดงโครงสร้างภายในของอินสแตนซ์ SAT (รายงานเบื้องต้น) Sinz

[4] ค้นหาในโลกเล็ก ๆโดย Walsh 1999

[5] การจำลองปัญหา SAT ที่สมจริงยิ่งขึ้นโดย Slater 2002

— vzn
แหล่งที่มา

3

มันเป็น DPLL ไม่ใช่ DP (LL) นอกจากนี้ยังมีงานล่าสุดอย่างมีนัยสำคัญเกี่ยวกับการเปลี่ยนเฟสใน SAT (ดูการทำงานของ Achlioptas เป็นต้น)

— วีเจย์ D

มีอัลกอริทึม DP ที่นำหน้า DPLL ที่มีพฤติกรรมคล้ายกัน คำตอบอื่น ๆ โดยส่วนใหญ่กล่าวถึง user834 SAT วิจัยประเด็นการเปลี่ยนแปลงกับ refs จำนวนมาก แต่คำตอบนี้เน้นที่แตกต่างกัน ( แต่ความสัมพันธ์) มุม

— vzn

1

ฉันตระหนักถึงอัลกอริทึมเหล่านี้ ฉันแค่ชี้ให้เห็นถึงรูปแบบการพิมพ์มาตรฐานซึ่งก็คือการเขียน DP หรือ DPLL หรือ DPLL (T) หรือ DPLL (เข้าร่วม) สำหรับกรณีการสั่งซื้อครั้งแรกที่ไม่มีปริมาณ ไม่มีใครเขียน DP (LL) และเพิ่มความสับสนด้วย DPLL (T) และ DPLL (เข้าร่วม)

— Vijay D

DP (LL) คือความหมายตามที่ DP + DPLL

— vzn