ปัญหาทางเทคนิคพร้อมบทพิสูจน์ทฤษฎีบท PCP

ฉันกำลังอ่านหลักฐานจากที่นี่และฉันพบปัญหา (ยังสำคัญ) ทางเทคนิค ฉันรู้ว่านี่ค่อนข้างเฉพาะและบริบทเป็นปัญหา แต่ฉันไม่สามารถเข้าใจได้

ในหน้า 51 และ 55 หลังจากนำเสนอตัวตรวจสอบ "มาตรฐาน" พวกเขาหันไปแก้ไขตัวตรวจสอบเพื่อตรวจสอบการมอบหมายแยก

ในกรณีแรก (หน้า 51) พวกเขาตรวจสอบว่า$f_1,\dots,f_k$คือ$0.01$ - ใกล้กับรหัสพหุนามแล้วพวกเขาใช้ Algebraization (+ ศูนย์ - ผู้ทดสอบ) เพื่อสร้างครอบครัวของชื่อพหุนาม (ที่มีผลรวม - ตรวจสอบคุณสมบัติที่เกี่ยวข้องกับสูตรการป้อนข้อมูล) ที่แต่ละค่าสามารถถูกประเมินที่จุดที่กำหนด 3 ค่าของแต่ละค่าของ$\widetilde{f}_1,\dots,\widetilde{f}_k$ (โค้ดของตู้รหัสพหุนามถึง$f_1,\dots,f_k$ )

ในกรณีที่สอง (หน้า 55) พวกเขาตรวจสอบว่า$f_1,\dots,f_k$คือ$0.01$ - ใกล้จะเป็นเส้นตรงจากนั้นพวกเขากำหนดฟังก์ชัน$f$ให้เป็นผลรวมพิเศษของ$\widetilde{f}_1,\dots,\widetilde{f}_k$เช่นนั้น ที่$f$สามารถประเมินได้ ณ จุดที่กำหนดค่าของแต่ละ$\widetilde{f}_1,\dots,\widetilde{f}_k$ (ฟังก์ชั่นเชิงเส้นตู้$f_1,\dots,f_k$ )

จากนั้นทั้งในกรณีที่พวกเขาดำเนินการทดสอบ (Sum-Check หรือ Tensor + Hadamard) กับค่าของพหุนามสุ่มในครอบครัว / $\widetilde{f}$ฉ

ปัญหาของฉันคือว่าขั้นตอนการฟื้นฟูของค่าที่ต้องการของแต่ละ$\widetilde{f}_i$สามารถให้ค่าที่ไม่ถูกต้องกับบางส่วนน่าจะเป็นอย่างต่อเนื่องไม่น้อย นอกจากนี้น่าจะเป็นที่ค่าทั้งหมดที่มีการสร้างขึ้นใหม่ได้อย่างถูกต้องอยู่ในระดับต่ำมากเพียง$c^k$สำหรับบางคนคงค$c$และนี่เป็นความจริงสำหรับทั้งสองกรณี

สิ่งนี้อาจไม่ดีเนื่องจากบางขั้นตอนของตัวตรวจสอบจำเป็นต้องได้รับค่าของฟังก์ชันเป้าหมาย$f$ / a พหุนามจากครอบครัว whp

$O(\log k)$$\widetilde{f}_i$

$k$$O(k\log k)$$O(k)$

นี่เป็นปัญหาหรือฉันพลาดบางสิ่งบางอย่าง (ซึ่งฉันอาจเป็น)

$O(1)$$O(poly(logn))$

$O(1)$

$O(poly(f(n)))$

$O(1)$