ช่องว่างการเชื่อมโยงกันมี pullbacks และ pushouts?

$\newcommand{\symp}{\Bumpeq}$

$\symp_X$ $X$ $(X, \symp_X)$ $f : X \to Y$ $f \subseteq X \times Y$ $(x,y) \in f$ $(x',y') \in f$

ถ้าดังนั้นและ $x \symp_X x'$ $y \symp_Y y'$
ถ้าและแล้วx' $x \symp_X x'$ $y = y'$ $x = x'$

หมวดหมู่ของช่องว่างการเชื่อมโยงกันเป็นทั้งคาร์ทีเซียนและ monoidal ปิด ฉันต้องการที่จะรู้ว่าเมื่อ pullbacks หรือ pushouts มีอยู่สำหรับหมวดหมู่นี้และเมื่อมีอนาล็อกแบบ monoidal บางส่วนของ pullbacks หรือ pushout อยู่ (และวิธีการกำหนดในกรณีที่แนวคิดนี้เหมาะสม)

— Neel Krishnaswami
แหล่งที่มา

คำนิยามนี้มาจากไหน? Lafont & Taylor ดูแตกต่างกันมาก

— Charles Stewart

คำจำกัดความทั้งสองนั้นเทียบเท่ากัน ฉันแค่เอาเว็บเป็นดึกดำบรรพ์ซึ่งชุดของ cliques สามารถรับได้

— Neel Krishnaswami

ฉันพบว่าการเลือกคำจำกัดความของ Neel สามารถเข้าใจได้ง่ายกว่าต้นฉบับ

— Dave Clarke

ฉันจะระบุคำถามที่ชัดเจน: คุณรู้ไหมว่ามันไม่ได้มีอยู่ตลอดไป? กล่าวอีกนัยหนึ่งคุณคุ้นเคยกับตัวอย่างของนักแสดงตลกเกี่ยวกับความสัมพันธ์ที่เชื่อมโยงกันที่ไม่มีขีด จำกัด / colimit หรือไม่?

— Ohad Kammar

คำจำกัดความทั้งสองนั้นเทียบเท่ากัน - ใช่ แต่คุณคิดคำนิยามนี้หรือคุณได้มาจากคนอื่น? คำถามที่ยอดเยี่ยม btw ฉันแปลกใจที่ไม่มีใครรู้ว่าอีควอไลเซอร์อยู่เสมอ

— Charles Stewart

ตอนนี้ฉันจะดูวิธีการกำหนดอีควอไลเซอร์สำหรับช่องว่างที่เชื่อมโยงกันซึ่งหมายถึง pullbacks อยู่เสมอ (ตั้งแต่ผลิตภัณฑ์มี) ฉันไม่รู้วิธีการทำเช่นนี้จริง ๆ แล้ว ....

จงระลึกไว้ว่าองค์ประกอบนั้นเป็นองค์ประกอบเชิงสัมพันธ์ตามปกติดังนั้นหากและดังนั้น: $f : A \to B$ $g : B \to C$

$f ; g = \{(a,c) \in A \times C \;|\; \exists b \in B.\; (a,b) \in f \land (b,c) \in g\}$

(ในคำจำกัดความนี้อัตถิภาวนิยมหมายถึงการดำรงอยู่ที่เป็นเอกลักษณ์สมมติว่าเรามีเช่นนั้นและเนื่องจากเรารู้ว่านี่หมายความว่าจากนั้นนี่หมายความว่าเรามีและและดังนั้น ) $b' \in B$ $(a,b') \in f$ $(b', c) \in g$ $a \Bumpeq_A a$ $b \Bumpeq_B b'$ $b \Bumpeq_B b'$ $(b,c) \in g$ $(b',c) \in g$ $b = b'$

ตอนนี้เราสร้างอีควอไลเซอร์ สมมติว่าเรามีพื้นที่เชื่อมโยงกันและและ morphismsB ตอนนี้กำหนดอีควอไลเซอร์ดังนี้ $A$ $B$ $f, g : A \to B$ $(E, e : E \to A)$

สำหรับเว็บใช้ สิ่งนี้เลือกชุดย่อยของโทเค็นของที่และเห็นด้วย (ขึ้นอยู่กับการเชื่อมโยงกัน - ฉันผิดในรุ่นแรกของฉัน ) หรือทั้งคู่ไม่ได้กำหนด
$E = {\begin{array}{lc} \forall b . (a, b) \in f ⟹ \exists a^{'} ≎_{A} a . (a^{'}, b) \in g \\ a \in A & \land \\ \forall b . (a, b) \in g ⟹ \exists a^{'} ≎_{A} a . (a^{'}, b) \in f \end{array}}$ $E = \left\{ \begin{array}{l|c} & \forall b.\; (a,b) \in f \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in g \\ a \in A & \land \\ & \forall b.\; (a,b) \in g \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in f \\ \end{array} \right\}$ $A$ $f$ $g$
กำหนดความสัมพันธ์ที่สอดคล้องกันใน\} นี่เป็นเพียงข้อ จำกัด ของความสัมพันธ์เชื่อมโยงกันในกับเซตEสิ่งนี้จะสะท้อนกลับและสมมาตรเนื่องจากคือ $\Bumpeq_E = \{ (a,a') \in \Bumpeq_A \;|\; a \in E \land a' \in E\}$ $A$ $E$ $\Bumpeq_A$
แผนที่ของควอไลเซอร์เป็นเพียงเส้นทแยงมุม\} $e$ $e : E \to A = \{(a, a)\;|\;a \in E\}$

ตั้งแต่ฉันทำข้อพิสูจน์รุ่นแรกของฉันฉันจะให้คุณสมบัติความเป็นสากลอย่างชัดเจน สมมติว่าเรามีวัตถุอื่น ๆและซึ่มส์เช่นที่กรัม $X$ $m : X \to A$ $m;f = m;g$

ตอนนี้กำหนดเป็น\} เห็นได้ชัดว่าแต่เพื่อแสดงความเสมอภาคที่เราต้องการที่จะแสดงการสนทนาฉัน $h : X \to E$ $\{(x,a) \;|\; a \in E\}$ $h;i \subseteq m$ $m \subseteq h;i$

ดังนั้นสมมติm ตอนนี้เราต้องแสดงให้เห็นว่าและF $(x,a) \in m$ $\forall b.\; (a,b) \in f \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in g$ $\forall b.\; (a,b) \in g \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in f$

แรกสมมติและF ดังนั้นเรารู้ว่าและดังนั้นฉ ดังนั้นและเพื่อให้มีเป็นดังกล่าวว่าและกรัม ตั้งแต่เรารู้ว่าและเพื่อให้มีเป็นดังกล่าวว่ากรัม $b \in B$ $(a,b) \in f$ $(x,a) \in m$ $(a,b) \in f$ $(x,b) \in m;f$ $(x,b) \in m;g$ $a' \in A$ $(x,a') \in m$ $(a',b) \in g$ $x \Bumpeq x$ $a \Bumpeq a'$ $a' \Bumpeq a$ $(a',b) \in g$

แฟ่สมมติและกรัม ดังนั้นเรารู้ว่าและดังนั้นกรัม ดังนั้นและเพื่อให้มีเป็นดังกล่าวว่าและF ตั้งแต่เรารู้ว่าและเพื่อให้มีเป็นดังกล่าวว่าF $b \in B$ $(a,b) \in g$ $(x,a) \in m$ $(a,b) \in g$ $(x,b) \in m;g$ $(x,b) \in m;f$ $a' \in A$ $(x,a') \in m$ $(a',b) \in f$ $x \Bumpeq x$ $a \Bumpeq a'$ $a' \Bumpeq a$ $(a',b) \in f$

— Neel Krishnaswami
แหล่งที่มา

ฉันไม่เห็นวิธีการที่คุณสามารถพิสูจน์ได้ว่าสากล มีทางเดียวที่จะแยกปัจจัยและนั่นคือโดยการตั้งค่าเป็น\} เห็นได้ชัดว่าแต่ผมไม่เห็นว่าทำไมการสนทนาถือ: ใช้เวลาบางส่วนและบางกับAFBแล้วเรามีเพราะฉะนั้นจาก 's ทางเลือกที่เรามีข จากนิยามขององค์ประกอบที่มีอยู่บางส่วนดังกล่าวว่าและa'gbเราสามารถอนุมานได้ว่า

e

$e$

m : X \to A

$m : X \rightarrow A$

h : X \to E

$h : X \rightarrow E$

h := {(x, a) : (x, a) \in m, a \in E}

$h := \{(x, a) : (x,a) \in m, a \in E\}$

h; e \subset m

$h;e \subset m$

x m a

$xma$

b \in B

$b \in B$

a f b

$afb$

x (m; f) b

$x(m;f)b$

m

$m$

x (m; g) b

$x(m;g)b$

a^{'}

$a'$

x m a^{'}

$xma'$

a^{'} g b

$a'gb$

a \symp a^{'}

$a \symp a'$ แต่เรารู้เพียงว่าและดังนั้นเราจึงไม่สามารถอนุมานได้ว่าและเสร็จสิ้น

a f b

$afb$

a^{'} g b

$a'gb$

a = a^{'}

$a=a'$

— Ohad Kammar

ใช่คุณพูดถูก - เซตย่อยที่อีควอไลเซอร์เลือกนั้นต้องขึ้นอยู่กับความสอดคล้องไม่ใช่ความเท่าเทียมกัน ฉันได้เปลี่ยนคำจำกัดความเพื่อสะท้อนถึงสิ่งนี้และให้การพิสูจน์แผนภาพที่ชัดเจน

— Neel Krishnaswami

อ่า ... แต่ตอนนี้ไม่เท่ากันแผนภาพ อันที่จริงถือว่าข แล้วโดย 's นิยามเรามีจึงมีอยู่บางดังกล่าวว่าa'gbแต่เราไม่ได้ว่าดังนั้นเราจึงไม่สามารถแสดงให้เห็นว่าข ดูเหมือนว่าคุณจะพบปัญหาเดียวกันกับที่ฉันพบเมื่อคืนดังนั้นคำถามที่ชัดเจนของฉันด้านบน แต่บางทีคุณอาจจะประสบความสำเร็จในสิ่งที่ฉันล้มเหลว! ขั้นตอนต่อไปของฉันคือการใช้ซับซ้อนมากขึ้นพูดอะไรบางอย่างเช่นแต่นั้นไม่ใช่มอร์ฟิซึ่มส์ที่ถูกต้องดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีทางเลือกที่ระมัดระวังมากกว่า

e

$e$

a (e; f) b

$a(e;f)b$

e

$e$

a f b

$afb$

a^{'} \symp a

$a'\symp a$

a^{'} g b

$a'gb$

a e a^{'}

$aea'$

a (e; g) b

$a(e;g)b$

e

$e$

a e a^{'} ⟺ a \symp a^{'}

$aea' \iff a\symp a'$

e

$e$

— Ohad Kammar

ตอนนี้ฉันจำได้ว่าทำไมฉันจึงหวังว่าคำตอบนั้นจะอยู่ในวิทยานิพนธ์ของใครบางคนอยู่แล้ว :) อย่างไรก็ตามฉันจะคิดถึงมันมากกว่านี้ - อาจมีกลอุบายที่เป็นไปได้ผ่านความจริงที่ว่าภาพผกผันนั้นไม่สัมพันธ์กัน

— Neel Krishnaswami