การประยุกต์เรขาคณิตเชิงพีชคณิตในทฤษฎีประเภท / ทฤษฎีภาษาโปรแกรม

เมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันสนใจเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและเริ่มอ่านมัน ฉันยังรู้น้อยมากเกี่ยวกับสาขานี้ แต่ฉันต้องการทราบว่ามีการเชื่อมต่อกับสาขาหลักของฉันทฤษฎีประเภทและภาษาโปรแกรม

ฉันรู้ว่าโทโพโลยีพีชคณิตมีแอปพลิเคชั่นจำนวนมากในทฤษฎีประเภท (ทฤษฎีแบบโฮโมโทรสและอื่น ๆ อีกมากมาย) แต่สิ่งที่เกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงพีชคณิตนอกจากนี้ทั้งทฤษฎีประเภท / ทฤษฎี PL และ AG เป็นแรงจูงใจที่ดีของทฤษฎีหมวดหมู่?

สำหรับความรู้ของฉัน (ซึ่งไม่สมบูรณ์อย่างแน่นอน) มีงานค่อนข้างน้อยในเรื่องนี้อย่างน่าจะเป็นเพราะมันต้องมีการหลอมรวมสององค์ความรู้ที่ค่อนข้างซับซ้อน อย่างไรก็ตามเล็กน้อยไม่ได้หมายความว่าไม่มีอยู่ Thierry Coquand และผู้ทำงานร่วมกันของเขาได้เขียนบทความเกี่ยวกับการเชื่อมโยงระหว่างพีชคณิต commutative และตรรกะเชิงสร้างสรรค์

• Thierry Coquand, Henri Lombardi วิธีการมีเหตุผลที่จะพีชคณิตนามธรรม

  กระดาษนี้สร้างความประทับใจอย่างมากให้กับฉันในฐานะนักเรียนที่จบการศึกษา - วิธีที่มั่นใจและฟรีที่ใช้ความคิดจากทฤษฎีพิสูจน์และทฤษฎีแบบจำลองเพื่อทำคณิตศาสตร์ที่ไม่น่าสนใจคณิตศาสตร์ที่เหมาะสมคือสิ่งหนึ่งที่ฉันชื่นชมอย่างมาก

• Henri Lombardi และ Claude Quittéมีหนังสือเรียนพีชคณิตคอมมิวนิเคชั่น (วิธีใช้ที่สร้างสรรค์ )

  ตามที่ชื่อแนะนำนี่คือพีชคณิต commutative มากกว่าเรขาคณิตเชิงพีชคณิต แต่เนื่องจากพีชคณิต commutative แสดงโครงสร้างพื้นฐานมากมายสำหรับเรขาคณิตเชิงพีชคณิตนี่จะยังคงเป็นที่สนใจ

นอกจากนี้ยังมีวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกที่น่าสนใจจำนวนมากในพื้นที่:

• วิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกของ Andres Mörtbergทำให้เกิดการปรับแต่งอย่างเป็นทางการและพีชคณิตเชิงสร้างสรรค์ในทฤษฎีประเภท

  เมื่อคุณมีหลักฐานที่สร้างสรรค์คุณจะมีอัลกอริทึม วิทยานิพนธ์ฉบับนี้พิจารณาที่จะทำให้อัลกอริธึมเหล่านั้นมีประสิทธิภาพ

• วิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของ Bassel Mannaa, Sheaf Semantics ในพีชคณิตเชิงสร้างสรรค์และทฤษฎีประเภท

  ในวิทยานิพนธ์นี้เขาพิสูจน์ความถูกต้องของทฤษฎีบทของ Newton-Puiseux เชิงสร้างสรรค์เช่นเดียวกับความเป็นอิสระของหลักการของ Markov มันเป็นตัวอย่างที่ดีของวิธีการที่ sheaf-semantic ใช้งานทั้งในรูปทรงเรขาคณิตและตรรกะ

• วิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกของ Ingo Blechschmidt โดยใช้ภาษาภายในของ toposes ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต

  วิทยานิพนธ์นี้มีลักษณะที่การทำซ้ำการพิสูจน์ทั่วไปของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตหลายภาษาในภาษาภายในของ Zariski topos ตัวเล็ก ๆ ที่เกี่ยวข้องกับรูปแบบการยอมทำ "เรขาคณิตพีชคณิตสังเคราะห์" (เขายังทำ "ทฤษฎีโครงร่างสังเคราะห์" โดยใช้โทริสซาซิสก์ตัวใหญ่) อย่างที่คุณคาดหวังเนื่องจาก topoi ไม่ได้เป็นบูลีนโดยทั่วไปการพิสูจน์จะต้องทำในรูปแบบของสัญชาตญาณ

นอกจากนี้ยังควรค่าแก่การอ้างอิงต่อไปนี้:

• Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk มัดในเรขาคณิตและ Logic มัดในเรขาคณิตและ Logic: แนะนำครั้งแรกกับทฤษฎี

  เทคโนโลยีจำนวนมากที่ใช้ในงานนี้มาจากการเชื่อมต่อระหว่างทฤษฎี topos, ตรรกะและเรขาคณิต นี่คือการอ้างอิงมาตรฐานแม้ว่าฉันจะได้เรียนรู้ผ่านทางเอกสารของ Steve Vickers แทน

นี่อาจไม่ใช่สิ่งที่คุณกำลังมองหา แต่การประยุกต์ใช้พีชคณิตเรขาคณิตในภาษาการเขียนโปรแกรมก็คือการวิเคราะห์ลูปเชิงเส้น:

Linear loop เป็นโปรแกรมที่ง่ายมากของรูปแบบ:

$x=s$

ในขณะที่ $x\notin F$

$x\leftarrow Ax$

ที่ไหน $s,x\in \mathbb Q^d$ และ $A\in \mathbb Q^{d\times d}$เป็นเมทริกซ์ การตั้งค่า$F$ เป็นเงื่อนไขการสิ้นสุดซึ่งสามารถเป็นชุดที่อธิบายได้ง่าย ๆ (เช่นชุด polytope หรือชุด semialgebraic)

การวิเคราะห์ลูปเหล่านี้มักจะเป็นการวิเคราะห์วงโคจรของเมทริกซ์$A$คือ $\{A^ns: n\in \mathbb N\}$. ในทางกลับกันนี้เกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์พลังของค่าลักษณะเฉพาะของ$A$ซึ่งพฤติกรรมมีการเชื่อมต่ออย่างใกล้ชิดกับแนวคิดในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต (เช่นทฤษฎีบทพื้นฐานของ Masser)

คุณสามารถดูกระดาษบนความซับซ้อนของปัญหาวงโคจรเป็นจุดเริ่มต้นที่ดี