ทำไมลำไส้ใหญ่ถึงแสดงว่าค่าเป็นของประเภท?

Pierce (2002) แนะนำความสัมพันธ์การพิมพ์ในหน้า 92 ด้วยการเขียน:

ความสัมพันธ์การพิมพ์สำหรับนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่เขียน "t: T" ถูกกำหนดโดยชุดของกฎการอนุมานที่กำหนดประเภทให้กับคำศัพท์

และเชิงอรรถระบุว่าสัญลักษณ์มักใช้แทน:. คำถามของฉันคือเหตุผลที่นักทฤษฎีประเภทต้องการใช้: มากกว่า ? ถ้า typeเป็นชุดของค่าดังนั้นจึงเหมาะสมอย่างยิ่งที่จะเขียนไม่ต้องมีสัญลักษณ์ใหม่ $\in$ $\in$ $T$ $t \in T$

มันคล้ายกับที่นักเขียน cs บางคนชอบถึงแม้จะคิดว่ามันเป็นการละเมิดสัญกรณ์และควรเขียน ? $3n^2 = O(n^2)$ $3n^2 \in O(n^2)$

type-theory notation

— Björn Lindqvist
แหล่งที่มา

สมาชิกกริยา สามารถเป็นได้ทั้งจริงหรือเท็จขณะที่พิมพ์ประกาศเป็น interepreted โดยทั่วไปว่าเป็นคำสั่งที่เป็นข้อเท็จจริงที่มีการประกาศที่จะเป็นจริงหรือเป็นของจริงที่จะได้รับโดยหมดจดหมายถึงประโยค เปรียบเทียบสิ่งนี้กับการเป็นจำนวนเฉพาะซึ่งไม่มีวิธีการทางไวยากรณ์ของการเป็นสมาชิกที่เพียงพอ

x \in X

$x \in X$

x : X

$x : X$

— Musa Al-hassy

@ MusaAl-hassy: นั่นคือการบิดเบือนความจริงของสิ่งที่เกิดขึ้น มันไม่ได้ถูกประกาศว่าเป็นความจริงเพราะนั่นหมายความว่าฉันสามารถ "ประกาศ" ว่า " false: int" ตัวอย่างเช่น ไม่ว่าในกรณีใดก็ตามการตัดสินต้องได้มาจาก "วิธีการทางวากยสัมพันธ์อย่างแท้จริง" เช่นในกรณีของทฤษฎีประเภทภายในของหมวดหมู่ที่มีครอบครัว

— Andrej Bauer

คำถามที่เกี่ยวข้องกับ cs.se: อะไรคือความแตกต่างทางความหมายระหว่างชุดและประเภท

— จิ้งจกไม่ต่อเนื่อง

เพื่อเพิ่มความคิดเห็น @ MusaAl-hassy ของในประเภททฤษฎี computatioalของบ็อบตำรวจจวร์ตอัลเลน, บ๊อบฮาร์เปอร์, et al.,ใช้เป็นประจำสำหรับการตัดสินการพิมพ์เพราะมันเป็นมากขึ้นคล้ายกับคำกริยาสมาชิก (ดูนี้พูดคุยสไลด์ 25 ตัวอย่างเช่น)

\in

$\in$

— xrq

แน่นอนก็เป็นการใช้สัญลักษณ์ที่ผิดและควรเขียนหรือไม่ (นักคณิตศาสตร์อาจต้องการ .)

3 n^{2} \in O (n^{2})

$3n^2\in O(n^2)$

λ n .3 n^{2} \in O (λ n . n^{2})

$\lambda n.3n^2\in O(\lambda n.n^2)$

n \mapsto 3 n^{2} \in O (n \mapsto n^{2})

$n\mapsto 3n^2\in O(n\mapsto n^2)$

— Oscar Cunningham

คำตอบ:

เพราะสิ่งที่อยู่ทางขวาของโคลอนไม่จำเป็นต้องเป็นเซตและสิ่งที่อยู่ทางซ้ายของโคลอนไม่จำเป็นต้องเป็นสมาชิกของเซตนั้น

ทฤษฎีประเภทเริ่มต้นขึ้นในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 เพื่อเป็นพื้นฐานของคณิตศาสตร์ เบอร์ทรานด์รัสเซิลค้นพบความขัดแย้งในทฤษฎีเซตไร้เดียงสาและเขาทำงานเกี่ยวกับทฤษฎีประเภทเพื่อ จำกัด อำนาจการแสดงออกของทฤษฎีเซตเพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้ง (และอื่น ๆ ) ในช่วงหลายปีที่ผ่านมารัสเซลและคนอื่น ๆ ได้กำหนดทฤษฎีหลายประเภท ในทฤษฎีบางประเภทประเภทจะถูกกำหนดด้วยคุณสมบัติบางอย่าง แต่ในบางประเภทมันเป็นสัตว์ร้ายชนิดอื่น

โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีหลายประเภทมีประโยคสูตร มีกฎที่ทำให้สิ่งของมีประเภท เมื่อกฎการพิมพ์ใช้เป็นรากฐานสำหรับทฤษฎีสิ่งสำคัญคือต้องแยกความแตกต่างที่กฎการพิมพ์พูดจากสิ่งที่อาจสรุปโดยใช้ความรู้ภายนอกเพิ่มเติม สิ่งนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งหากกฎการพิมพ์เป็นรากฐานสำหรับทฤษฎีการพิสูจน์: ทฤษฎีบทที่ยึดตามทฤษฎีเซตด้วยตรรกะคลาสสิกและสัจพจน์ที่เลือกอาจหรือไม่อาจอยู่ในตรรกะเชิงสร้างสรรค์ตัวอย่างเช่น หนึ่งในเอกสารน้ำเชื้อในโดเมนนี้เป็นคริสตจักร 's สูตรของทฤษฎีที่เรียบง่ายของรูปแบบ (1940)

บางทีวิธีที่ความแตกต่างระหว่างประเภทและเซตนั้นชัดเจนที่สุดคือกฎพื้นฐานที่สุดของเซตกล่าวคือชุดที่สองมีค่าเท่ากันหากมีองค์ประกอบเดียวกันโดยทั่วไปจะไม่ใช้กับประเภท ดูคำตอบของ Andrej Bauer ที่นี่และคำตอบของเขาสำหรับคำถามที่เกี่ยวข้องสำหรับตัวอย่าง หัวข้อที่สองนั้นมีคำตอบอื่นที่ควรอ่าน

ในแคลคูลัสที่พิมพ์ให้บอกว่าประเภทเป็นเซตจริง ๆ แล้วให้ความหมายกับประเภท การให้แคลคูลัสความหมายประเภททฤษฎีไม่ได้เป็นเรื่องเล็กน้อย ตัวอย่างเช่นสมมติว่าคุณกำหนดภาษาด้วยฟังก์ชัน ชุดฟังก์ชั่นประเภทใด ฟังก์ชั่นทั้งหมดถูกกำหนดโดยกราฟขณะที่เราสอนในทฤษฎีเซต 101 แต่ฟังก์ชั่นบางส่วนนั้นเป็นอย่างไร คุณต้องการให้ฟังก์ชั่นที่ไม่สิ้นสุดทั้งหมดมีความหมายเหมือนกันหรือไม่? คุณไม่สามารถตีความประเภทเป็นชุดสำหรับแคลคูลัสที่อนุญาตให้ฟังก์ชันแบบเรียกซ้ำจนกว่าคุณจะตอบคำถามนั้น การให้โปรแกรมภาษาหรือแคลคูลัสเป็นความหมายเชิง Denotationalเป็นปัญหาที่ยากในต้นปี 1970 เอกสารน้ำเชื้อที่นี่มีต่อความหมายทางคณิตศาสตร์สำหรับภาษาคอมพิวเตอร์ (1971)โดยดาน่าสกอตต์และคริสโต Strachey Haskell Wikibookมีการนำเสนอที่ดีของหัวข้อ

ดังที่ฉันได้เขียนไว้ด้านบนส่วนที่สองของคำตอบคือแม้ว่าคุณจะสามารถให้ความหมายของทฤษฎีเซตได้ แต่สิ่งที่อยู่ทางซ้ายของลำไส้ใหญ่นั้นไม่ใช่องค์ประกอบของเซตเสมอไป ค่ามีชนิด แต่เพื่อทำสิ่งอื่น ๆ เช่นการแสดงออกและตัวแปร ตัวอย่างเช่นการแสดงออกในภาษาการเขียนโปรแกรมที่พิมพ์มีประเภทแม้ว่ามันจะไม่ยุติ คุณอาจจะยินดีที่จะ conflate integerและแต่ไม่ได้เป็นองค์ประกอบของ{Z} $\mathbb{Z}$ (x := 0; while true; do x := x + 1; x) $\mathbb{Z}$

ฉันไม่รู้ว่าเครื่องหมายโคลอนเกิดขึ้นเมื่อใด ตอนนี้มันเป็นมาตรฐานในความหมายและทั่วไปในภาษาการเขียนโปรแกรม แต่ทั้ง Russel และโบสถ์ก็ไม่ได้ใช้มัน Algol ไม่ได้ใช้มัน แต่ภาษาที่ได้รับแรงบันดาลใจจาก Algol อย่างมากPascalทำในปี 1971 ฉันสงสัยว่ามันไม่ใช่ครั้งแรกเนื่องจากเอกสารทางทฤษฎีมากมายตั้งแต่ต้นปี 1970 ใช้สัญกรณ์ แต่ฉันไม่รู้ ใช้ก่อนหน้านี้ ที่น่าสนใจนี่คือหลังจากแนวคิดประเภทจากการเขียนโปรแกรมและจากตรรกะได้รวมเป็นหนึ่ง - ตามที่ Simon Martini แสดงในหลายประเภทประเภทในการเขียนโปรแกรมภาษาสิ่งที่เรียกว่า "ประเภท" ในภาษาโปรแกรมจนถึงปี 1960 มาจากภาษาพื้นเมือง การใช้คำและไม่ใช่จากทฤษฎีประเภท

— Gilles 'หยุดความชั่วร้าย'
แหล่งที่มา

เหตุผลหลักที่ต้องการใช้เครื่องหมายโคลอนกับความสัมพันธ์ของสมาชิก $t : T$ $t \in T$ คือความสัมพันธ์ที่เป็นสมาชิกที่สามารถทำให้เข้าใจผิดเพราะประเภทไม่ได้ (แค่) คอลเลกชัน

$\in$ $\epsilon$ $:$ $\in$

ประเภทอธิบายการก่อสร้างบางประเภทเช่นวิธีสร้างวัตถุที่มีโครงสร้างบางอย่างวิธีใช้พวกเขาและสมการที่เกี่ยวกับพวกเขา

$A \times B$ $A \times B$ $A \times B$ $A \times B$ $A \times B$ $X \times Y$

$t : T$ $t$ $T$

$T$ $T$

$\Sigma (n : \mathbb{N}) . \mathtt{isprime}(n) \times \mathtt{iseven}(n) \times (n > 2)$
$\Sigma (n : \mathbb{N}) . \mathtt{isprime}(n) \times \mathtt{isodd}(n) \times (n < 2)$

ส่วนขยายของทั้งสองว่างเปล่า แต่ไม่ได้เป็นประเภทเดียวกัน

$:$ $\in$ $a$ $t : T$ $t : U$ $T \equiv U$ $t$ $T$ $t$

$a \in A$ $\lnot (a \in A)$ $a \not\in A$ $t : T$

— Andrej Bauer
แหล่งที่มา

Andrej คำตอบที่ดี คุณรู้จักแหล่งกำเนิดทางประวัติศาสตร์ของสัญลักษณ์ลำไส้ใหญ่หรือไม่?

— Andreas Rossberg

x_{α}

$x_\alpha$

α

$\alpha$

ϵ

$\epsilon$

\in

$\in$

g \in G

$g \in G$

f : S \to T

$f : S→T$

f

$f$

S

$S$

T

$T$

f \in (S \to T)

$f ∈ (S→T)$

\in

$∈$ มีการใช้กันอย่างแพร่หลายมานานก่อนที่ทฤษฎีประเภทจะเป็นที่นิยม

— user21820

f \in (S \to T)

$f\in (S\to T)$

S \to T

$S\to T$

f : S \to T

$f\colon S\to T$

\in

$\in$

Björn,

อาจมีการอ้างอิงก่อนหน้านี้ แต่อย่างหนึ่งมีการใช้โคลอนในภาษาการเขียนโปรแกรมภาษา Pascal:

— Bjørn Kjos-Hanssen
แหล่งที่มา

ไม่มีภาษาการเขียนโปรแกรมก่อนหน้านี้ที่ใช้:หรือไม่

— Andrej Bauer

@ AndrejBauer แน่นอนฉันเขียนว่า "อาจมีการอ้างอิงก่อนหน้านี้ แต่ ... " เพื่อป้องกันความจริงที่เป็นไปได้

— Bjørn Kjos-Hanssen

@AndrejBauer Algol ไม่ได้ ถูก:ใช้ในเอกสารทางทฤษฎีก่อนปี 1970 หรือไม่?

— Gilles 'หยุดความชั่วร้าย' ใน

Fortran มีREAL :: xแต่ฉันไม่รู้ว่าสิ่งนี้มาก่อนปาสกาล

— ไมเคิล

@Michael Fortran มาเร็วกว่า Pascal (1955 เทียบกับ ca. 1970) แต่ฉันคิดว่าไวยากรณ์เฉพาะนี้ถูกนำมาใช้เฉพาะใน Fortran 90 ดังนั้นจึงช้ากว่า Pascal ดูตัวอย่างได้ที่นี่fortranwiki.org/fortran/show/Modernizing+Old+Fortran

— Federico Poloni