การลดข้อผิดพลาดที่กำหนดได้สถานะของศิลปะ?

สมมติว่ามีอัลกอริทึมแบบสุ่ม (BPP) $A$โดยใช้บิต$r$ของการสุ่ม วิธีธรรมชาติในการขยายความน่าจะเป็นของความสำเร็จให้เป็น$1-\delta$สำหรับตัวเลือกใด ๆ$\delta>0$คือ

• วิ่งอิสระ + คะแนนเสียงข้างมาก: ทำงานอิสระT = Θ ( เข้าสู่ระบบ( 1 / δ ) . ครั้งและใช้คะแนนเสียงข้างมากของผลผลิตนี้ต้องใช้R T = Θ ( R ล็อก( 1 / δ ) )บิตสุ่มและ พัดขึ้นเวลาทำงานโดยT = Θ ( เข้าสู่ระบบ( 1 / δ ) )ปัจจัย$A$$T=\Theta(\log(1/\delta)$$rT =\Theta(r\log(1/\delta))$$T=\Theta(\log(1/\delta))$
• คู่วิ่งอิสระ + เซฟ: ทำงาน"คู่-อิสระ" T = Θ ( 1 / δ )ครั้งและเปรียบเทียบกับเกณฑ์นี้ต้องใช้R T = Θ ( R / δ )บิตแบบแผนและพัดขึ้นเวลาทำงานโดยT = Θ ( 1 / δ )ปัจจัย$A$$T=\Theta(1/\delta)$$rT =\Theta(r/\delta)$$T=\Theta(1/\delta)$

คาร์พ Pippenger และ Sipser [1] (เห็นได้ชัด; ฉันไม่สามารถได้รับในมือของฉันบนกระดาษที่ตัวเองก็เป็นบัญชีมือสอง)ทางเลือกที่มีให้วิธีการขึ้นอยู่กับการขยายปกติเข้มแข็งเป็นหลักให้ดู$2^r$โหนของตัวขยาย เป็นเมล็ดสุ่ม เลือกโหนดแบบสุ่มของตัวขยายโดยใช้บิตสุ่ม$r$แล้ว

• เดินเล่นแบบสั้น ๆ ที่มีความยาว$T=\Theta(\log(1/\delta))$จากนั้นและวิ่ง$A$บนเมล็ด$T$สอดคล้องกับโหนดบนเส้นทางก่อนที่จะลงคะแนนเสียงข้างมาก นี้ต้องใช้$r+T = r+\Theta(\log(1/\delta))$บิตแบบแผนและพัดขึ้นเวลาทำงานโดย$T=\Theta(\log(1/\delta))$ปัจจัย

• รัน$A$บนเพื่อนบ้านทั้งหมดของโหนดปัจจุบัน (หรือโดยทั่วไปโหนดทั้งหมดที่อยู่ภายในระยะทาง$c$ของโหนดปัจจุบัน) ก่อนที่จะทำการลงคะแนนเสียงข้างมาก สิ่งนี้ต้องใช้การสุ่มบิต$r$และเพิ่มเวลาในการทำงานโดยปัจจัย$T=d$โดยที่$d$คือระดับ (หรือ$d^c$สำหรับพื้นที่ใกล้เคียงระยะทาง - $c$ ) การตั้งค่าพารามิเตอร์ได้ดีทำให้สิ้นสุดการคิดต้นทุน$T=\operatorname{poly}(1/\delta)$ที่นี่

ฉันสนใจกระสุนนัดสุดท้ายซึ่งสอดคล้องกับการลดข้อผิดพลาดที่กำหนดขึ้น มีการปรับปรุงใด ๆ หลังจาก [1] ลดการพึ่งพา$T$ใน$\delta$หรือไม่? คือสิ่งที่ดีที่สุดในปัจจุบันทำได้ - $1/\delta^\gamma$ที่$\gamma > 1$ ? $\gamma > 0$หรือไม่ (สำหรับ$\textsf{BPP}$สำหรับ$\textsf{RP}$ ?)

หมายเหตุ:ฉันก็สนใจ$\textsf{RP}$แทน$\textsf{BPP}$เช่นกัน ดังที่แนะนำใน [2] สิ่งก่อสร้างที่เกี่ยวข้องนั้นไม่ใช่ตัวขยายอีกต่อไป แต่ตัวกระจาย (ดูตัวอย่างเช่นบันทึกการบรรยายเหล่านี้โดย Ta-Shma, esp. ตารางที่ 3) ฉันไม่สามารถหาขอบเขตที่สอดคล้องกันสำหรับการขยาย (ไม่สุ่มบิตมากกว่าการขยาย$r$อนุญาต) แต่ไม่ (ที่สำคัญกว่า) สิ่งที่การกระจายตัวที่ชัดเจนของสถานะของสมัยศิลปะสำหรับพารามิเตอร์ที่เกี่ยวข้องคือ .

[1] คาร์พหม่อมราชวงศ์ Pippenger เอ็นและ Sipser เอ็ม 1985 เวลา-สุ่มถ่วงดุลอำนาจ ในการประชุม AMS เรื่องความซับซ้อนในการคำนวณเชิงความน่าจะเป็น (ตอนที่ 111)

[2] Cohen, A. และ Wigderson, A. , 1989, ตุลาคม ผู้กระจายการขยายที่กำหนดขึ้นและแหล่งที่มาแบบสุ่มที่อ่อนแอ ในการประชุมวิชาการประจำปีครั้งที่ 30 เรื่องรากฐานของวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ (หน้า 14-19) IEEE

$O(1/\delta)$$\lambda$$O(\sqrt{\delta})$$\lambda = O(1/\sqrt{d})$

$C/\delta$$C$$O(1/\delta)$

$\Omega(1/\delta)$