การพิสูจน์ขอบเขตบนของผลรวมของปัญหารากสี่เหลี่ยม

ใน [1], Garey et al. ระบุสิ่งที่จะเป็นที่รู้จักกันในภายหลังว่าเป็นผลรวมของปัญหารากของรากในหลักสูตรของการแก้ปัญหาความสมบูรณ์แบบของ Euclidean TSP

รับจำนวนเต็ม $a_1, a_2, \ldots, a_n$ และ $L$ตรวจสอบว่า $\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} + \cdots + \sqrt{a_n} < L$

พวกเขาสังเกตเห็นว่ามันไม่ชัดเจนแม้แต่ว่าปัญหานี้อยู่ใน NP เพราะมันไม่ชัดเจนว่าตัวเลขความแม่นยำขั้นต่ำสุดนั้นถูกต้องในการคำนวณรากที่สองเพื่อเปรียบเทียบผลรวมกับ $L$. อย่างไรก็ตามพวกเขาอ้างขอบเขตที่รู้จักกันดีที่สุดของ$O(m2^n)$ ที่ไหน $m$คือ "จำนวนตัวเลขในนิพจน์สัญลักษณ์ต้นฉบับ" น่าเสียดายที่ขอบเขตบนนี้เกิดจากการสื่อสารส่วนบุคคลจาก AM Odlyzko เท่านั้น

ใครบ้างมีการอ้างอิงที่เหมาะสมกับขอบเขตบนนี้ หรือในกรณีที่ไม่มีการอ้างอิงที่ตีพิมพ์หลักฐานหรือภาพร่างหลักฐานก็จะเป็นประโยชน์เช่นกัน

หมายเหตุ: ฉันเชื่อว่าขอบเขตนี้อาจอนุมานได้ว่าเป็นผลมาจากผลลัพธ์ทั่วไปโดย Bernikel และ อัล [2] จากประมาณ 2,000 บนขอบเขตการแยกสำหรับนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่มีขนาดใหญ่กว่า ฉันส่วนใหญ่สนใจในการอ้างอิงที่เกิดขึ้นพร้อมกันมากขึ้น (เช่น: สิ่งที่เป็นที่รู้จักประมาณปี 1976) และ / หรือการพิสูจน์เฉพาะสำหรับกรณีของผลรวมของรากที่สอง

1. Garey, Michael R. , Ronald L. Graham และ David S. Johnson " ปัญหาเรขาคณิตปัญหา NP-complete " รายงานการประชุมวิชาการ ACM ครั้งที่ 8 ประจำปีในหัวข้อทฤษฎีการคำนวณ พลอากาศตรี, 1976

2. Burnikel, Christoph, และคณะ " การแยกที่แข็งแกร่งและคำนวณได้ง่ายสำหรับการแสดงออกทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับอนุมูล " อัลกอริทึม 27.1 (2000): 87-99

นี่คือภาพร่างหลักฐานที่ค่อนข้างเลอะเทอะ ปล่อย$S = \sum_{i=1}^n \delta_i \sqrt{a_i}$ ที่ไหน $\delta_i \in \{\pm 1\}$. นี่เป็นจำนวนมากที่สุดของพีชคณิต$2^n$ และความสูงไม่เกิน $H = (max(a_i))^{n}$. ตอนนี้มันง่ายที่จะตรวจสอบว่า$S = 0$ สามารถทำได้แม้ใน $TC^0$- ดูสิ่งนี้ ) ถ้า$S \neq 0$ จากนั้นจะถูกล้อมรอบจาก $0$ โดยปริมาณ (เพราะเป็นตัวเลขเกี่ยวกับพีชคณิตและด้วยเหตุนี้จึงไม่เป็นศูนย์ของพหุนาม univariate) ซึ่งเป็นฟังก์ชันของระดับและความสูงของพหุนามน้อยที่สุดของ $S$. น่าเสียดายที่การขึ้นอยู่กับระดับนั้นเป็นเลขชี้กำลังในจำนวนรากที่สอง (และถ้า$a_i$ความแตกต่างในระดับนี้ยังแน่นแม้กรณีของการประเมินสัญญาณนั้นง่ายต่อการจัดการ) ความแม่นยำที่ต้องการจึงเป็นเลขชี้กำลังในจำนวนรากที่สองซึ่งก็คือ$2^n$บิตสำหรับ $S$. ตอนนี้ก็เพียงพอที่จะตัดทอนแต่ละส่วนของ$\sqrt{a_i}$ เพื่อพูด $2^{10n}$บิตเพื่อให้แน่ใจว่าเครื่องหมายถูกรับประกันว่าถูกต้อง สามารถทำได้อย่างง่ายดายผ่านหลายขั้นตอนของการวนซ้ำของนิวตัน) ตอนนี้มันลงเพื่อตรวจสอบว่าผลรวมเป็นบวกซึ่งเป็นเพียงการบวกและด้วยเหตุนี้จึงเป็นเชิงเส้นในจำนวนบิตในการสรุป ขอให้สังเกตว่าการคำนวณนี้อยู่ในเวลาพหุนามบนเครื่อง BSS ยังสังเกตว่าเราไม่ได้ทำการคำนวณโดยตรงกับพหุนามน้อยที่สุด$S$ตัวเองซึ่งอาจมีค่าสัมประสิทธิ์ขนาดใหญ่และดูน่าเกลียดเราแค่ใช้มันเพื่อเหตุผลเกี่ยวกับความแม่นยำที่เราต้องตัดทอนรากที่สอง สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมตรวจสอบกระดาษทิวาของ