เราพบขอบเขตที่ดีกว่าสำหรับอัลกอริทึมที่รู้จักเมื่อใด

16

มีอินสแตนซ์ที่น่าสนใจของอัลกอริทึมที่ถูกเผยแพร่ด้วยขอบเขตที่พิสูจน์แล้วและมีการเผยแพร่ขอบเขตที่ดีกว่าอย่างเคร่งครัดหรือไม่ ไม่ใช่อัลกอริทึมที่ดีกว่าที่มีขอบเขตดีกว่า - เห็นได้ชัดว่ามันเกิดขึ้น! แต่การวิเคราะห์ที่ดีกว่านำไปสู่การยึดมั่นในอัลกอริทึมที่มีอยู่ให้ดีขึ้น

ฉันคิดว่าการคูณเมทริกซ์เป็นตัวอย่างของสิ่งนี้ แต่ฉันได้พูดคุยกับตัวเอง (อาจไม่ถูกต้อง!) หลังจากพยายามเข้าใจ Coppersmith - Winograd และเพื่อน ๆ ของมันให้ดีขึ้น

ho.history-overview analysis-of-algorithms

— Rob Simmons
แหล่งที่มา

ตัวอย่างที่เหมาะคือการคูณเมทริกซ์ การปรับปรุงล่าสุดนั้นทั้งหมดเป็นการวิเคราะห์ที่ดีกว่า (Le Gall, Williams, ฯลฯ )

— Lwins

Lwins - ฉันสงสัยว่าอาจเป็นอย่างนั้น แต่การอ่านหนังสือพิมพ์บางส่วนทำให้ฉันคิดว่าพวกเขาเปลี่ยนแปลงทั้งอัลกอริทึมและการวิเคราะห์เล็กน้อย ฉันอาจต้องมองลึก

— Rob Simmons

นี่คือคำตอบครึ่งเนื่องจากเป็นคำบอกเล่าของมือสอง: เมื่อทำงานกับการหาค่าของ Buechi automata ( dl.acm.org/citation.cfm?id=1398627 ) Safra วิเคราะห์การก่อสร้างของเขาเพื่อให้มีกำลังสองเป็นตัวแทน จากนั้นหลังจากเขียนสิ่งปลูกสร้างลงและเนื่องจากความเข้าใจผิดบางประการเขาจึงลงเอยด้วยเลขชี้กำลังที่ดีกว่า (ดีที่สุด)

n \log n

$n\log n$

— Shaull

ฉันขอแนะนำให้ดูปัญหาการวางแผนการเคลื่อนไหว - ฉันรู้สึกเหมือนมีหลายกรณีที่นั่น นอกจากนี้ IIRC ความซับซ้อนที่แม่นยำของอัลกอริธึม simplex (s?) เป็นเรื่องของการศึกษาอยู่พักหนึ่ง

— Steven Stadnicki

1

แตกต่างกันเล็กน้อย แต่การพิสูจน์การมีอยู่ของอินพุตพอใจของอนุประโยคในอินสแตนซ์ 3SAT ได้รับการปรับปรุงเป็นอัลกอริทึมชัดเจนโดยการวิเคราะห์อย่างระมัดระวังมากขึ้น

7 m / 8

$7m/8$

— Stella Biderman

23

สหภาพค้นหาอัลกอริทึมที่ Tarjan ¹แสดงให้เห็นว่ามีความซับซ้อนที่เป็นฟังก์ชั่นผกผัน Ackermann ได้รับการวิเคราะห์โดยก่อนหน้านี้หลายคน ตามวิกิพีเดียมันถูกคิดค้นโดย Galler และ Fischer ²แต่สิ่งนี้ดูเหมือนจะไม่ถูกต้องเนื่องจากพวกเขาไม่มีส่วนประกอบทั้งหมดของอัลกอริทึมที่จำเป็นในการทำให้มันทำงานได้อย่างรวดเร็ว $n \alpha(n)$ $\alpha(n)$

จากการสแกนเอกสารสั้น ๆ ปรากฏว่าอัลกอริทึมนั้นคิดค้นโดย Hopcroft และ Ullman ³ซึ่งให้เวลา (ไม่ถูกต้อง)ขอบเขต ฟิชเชอร์⁴แล้วพบความผิดพลาดในการพิสูจน์และให้เวลาที่ถูกผูกไว้ ถัดไป Hopcroft และ Ullman ⁵ให้เวลาผูกพันหลังจากที่ Tarjan ¹พบ (ดีที่สุด)เวลาที่ถูกผูกไว้ $O(n)$ $O(n \log\log n)$ $O(n \log ^*n)$ $O(n \alpha(n))$

¹ RE Tarjan, "ประสิทธิภาพของอัลกอริทึมชุดยูเนี่ยนที่ดี แต่ไม่ใช่เชิงเส้น" (1975)
² BS Galler และ MJ Fischer "อัลกอริธึมการปรับปรุงความเท่าเทียม" (1964)
³ JE Hopcroft และ JD Ullman "ขั้นตอนวิธีการรวมรายการเชิงเส้น" (1971)
⁴ MJ Fischer, "ประสิทธิภาพของอัลกอริธึมการเทียบเท่า" (1972)
⁵ JE Hopcroft และ JD Ullman, "ขั้นตอนวิธีการรวมการตั้งค่า" (1973)

— Peter Shor
แหล่งที่มา

2

ประวัติของโครงสร้างข้อมูลนี้ไม่ค่อยชัดเจนสำหรับฉันและมันจะเป็นการดีที่จะตรวจสอบ ฉันอ่านบทความ Galler และ Fischer และดูเหมือนว่าจะอธิบายโครงสร้างข้อมูล Disjoint Sets Forest (DSF) แต่ไม่มีการบีบอัดพา ธ ที่สำคัญ (PC) และการถ่วงน้ำหนักยูเนี่ยน (WU) Hopcroft และ Ullman attribute DSF พร้อม PC และไม่มี WU ถึง Tritter โดยอ้างว่า Knuth ฉันไม่แน่ใจว่า DSF ที่มีทั้งพีซีและ WU ได้รับการเสนอในกระดาษที่ตีพิมพ์ก่อนหน้ากระดาษของ Hopcroft และ Ullman ถึงแม้ว่าฉันจะไม่แปลกใจถ้ามันเป็น

— Sasho Nikolov

1

@Sasho: ทั้งหมดนี้ควรตรวจสอบเนื่องจากมันขึ้นอยู่กับการสแกนสั้น ๆ ของเอกสาร แอตทริบิวต์ของ Tarjan DSF กับทั้ง PC และ WU กับ Michael Fischer ใน "ประสิทธิภาพของอัลกอริธึมความเท่าเทียม" (1972) ซึ่งให้เวลาทำงาน การสแกนกระดาษของฟิสเชอร์ดูเหมือนว่าจะกำหนดอัลกอริทึมสำหรับ Hopcroft และ Ullman ใน "อัลกอริทึมการรวมรายการเชิงเส้น" แต่พวกเขาให้เวลาทำงานซึ่งหลักฐานที่ฟิสเชอร์แสดงไม่ถูกต้อง Tarjan กล่าวว่า Hopcroft และ Ullman ใน "ขั้นตอนวิธีการรวมการตั้งค่า" แลกตัวเองด้วยการให้ผูกไว้

O (n \log \log n)

$O(n \log\log n)$

Θ (n)

$\Theta(n)$

O (n \log^{*} n)

$O(n \log^* n)$

— Peter Shor

12

อัลกอริทึมของPaturi, Pudlák, Saks และ Zane (PPSZ) สำหรับเป็นที่รู้กันว่ามีเวลาทำงานสำหรับพร้อมขอบเขตที่ดีกว่าของสำหรับสูตรที่รับประกันว่าจะมีการมอบหมายที่น่าพอใจ ต่อมาHertliให้การวิเคราะห์ที่ดีขึ้นแสดงให้เห็นว่าขอบเขตเวลาทำงานที่ปรับปรุงแล้วนี้ยังมีไว้สำหรับกรณีทั่วไปดังนั้นการแสดง PPSZ จึงเป็นวิธีที่ดีที่สุดสำหรับรู้จักกันในเวลานั้น $k\text{-} \mathrm{SAT}$ $O(1.364^n)$ $3\text{-}\mathrm{SAT}$ $O(1.308^n)$ $3\text{-}\mathrm{SAT}$

— Jan Johannsen
แหล่งที่มา

นี่เป็นคำตอบที่น่าพอใจจริงๆ! ฉันคิดว่ามันและตัวอย่างของ Union Find เป็นตัวอย่างที่ดีที่สุดของสิ่งที่ฉันหวังไว้

— Rob Simmons

8

logjam โจมตีกล่าวถึงการวิเคราะห์ของตะแกรงช่องหมายเลขทั่วไปที่ (ตามที่นำไปใช้กับการคำนวณลอการิทึมเนื่องมากกว่า ) ขั้นตอนที่สืบเชื้อสายมาเป็น tightend ดูด้านบนซ้ายของหน้า 3 เนื่องจากนี่เป็นขั้นตอนเดียวที่ไม่สามารถคำนวณได้ล่วงหน้า (ถ้าได้รับการแก้ไข) ประสิทธิภาพของมันจึงเป็นเครื่องมือในการโจมตี $\mathbb{F}_p$ $\mathbb{F}_p$

การวิเคราะห์เบื้องต้นปรากฏอยู่ในกอร์ดอน 92ที่โคตรถูก costed คล้ายกับ precomputation ที่{2/3}) การวิเคราะห์ที่เข้มงวดมากขึ้นดูเหมือนว่ามาจากวิทยานิพนธ์ของ Barbulescuซึ่งมีการลดราคาลงที่โดยที่: เป็นเรื่องที่ควรค่าแก่การกล่าวถึงว่านี่เป็นค่าใช้จ่ายที่คาดหวังทางเทคนิคและไม่ใช่ขอบเขตสูงสุด สิ่งนี้ยังคงอยู่ในจิตวิญญาณของคำถามสำหรับฉัน แต่ฉันจะลบออกหากไม่ใช่สิ่งที่คุณกำลังมองหา $L_p(1/3, 3^{2/3})$ $L_p(1/3, 1.232)$

L_{p} (v, c) = \exp ((c + o (1)) (\log p)^{v} (\log \log p)^{1 - v})

$L_p(v, c) = \exp((c+o(1))(\log p)^v (\log \log p)^{1-v})$

— เครื่องหมาย
แหล่งที่มา

1

ขอบคุณมาก!

— Rob Simmons

6

งานล่าสุดของ Anupam Gupta, Euiwoong Lee และ Jason Li [1] แสดงให้เห็นว่าอัลกอริทึม Karger-Stein สำหรับปัญหาขั้นต่ำ -cut $k$ มีอันที่จริงแล้วความซับซ้อนของเวลาแบบเชิงเส้นตรง , ปรับปรุงการวิเคราะห์ต้นฉบับซึ่งให้ (และงานก่อนหน้านี้โดยผู้แต่งคนเดียวกันซึ่งได้อัลกอริธึมที่แตกต่างกันในเวลา ) $O(n^{k+o(1)})$ $O(n^{2k-2})$ $O(n^{1.98k+O(1)})$

นี่คือโอกาสที่จะได้ (ใกล้) ที่ดีที่สุดขึ้นอยู่กับเงื่อนไขขอบเขตล่างของk) $\Omega(n^k)$

หมายเหตุ: การ พูดคุยโดยเจสันหลี่ (และภาพนิ่งที่สอดคล้องกัน) สามารถพบได้บนเว็บไซต์ของ TCS +

[1] Karger - อัลกอริทึม Stein เหมาะสมที่สุดสำหรับ -cut $k$ , Anupam Gupta, Euiwoong Lee, Jason Li arXiv: 1911.09165 , 2019

— ผ่อนผัน C.
แหล่งที่มา

4

$k$ $(2k-1)$ $k$

— จันทรา Chekuri
แหล่งที่มา

4

$3$ ให้การวิเคราะห์ที่ละเอียดยิ่งขึ้น (การนับปัญหาย่อย / โครงสร้างย่อย) นำไปสู่การเกิดซ้ำที่ดีขึ้นและ runtimes ที่ดีขึ้น ฉันคิดว่ามีตัวอย่างจำนวนมากในวรรณคดีความซับซ้อนแปรปรวนซึ่งการเพิ่มตัวแปรอื่นในการวิเคราะห์สามารถนำไปสู่ runtimes ที่ปรับปรุงแล้ว แต่ฉันออกจากเกมนั้นมาหลายปีแล้วและฉันไม่สามารถคิดถึงสิ่งที่เฉพาะเจาะจงได้ที่ ช่วงเวลาที่. มีกระดาษจำนวนมากในพื้นที่ FPT และ PTAS ที่เกิดขึ้นเมื่อมองหา "การวิเคราะห์ที่ดีขึ้น" ในชื่อกระดาษ

หากการระบุตัวเลือกนับเป็นอัลกอริธึมเดียวกัน (เช่นการค้นหาโดยการจัดอันดับเชิงลึกของ Union-find) ดังนั้นอัลกอริทึม Edmonds-Karp คือ 'การวิเคราะห์ที่ดีขึ้น' ของ Ford-Fulkerson และฉันคิดว่ามีปัญหาอื่น ๆ มากมายที่มีอัลกอริธึม ที่ได้เห็นการปรับปรุงรันไทม์จากกฎทางเลือกใหม่

จากนั้นมีการวิเคราะห์ค่าตัดจำหน่ายของอัลกอริทึมที่มีอยู่ทั้งหมด (ฉันคิดว่าเหมาะกับการค้นหาสหภาพภายใต้คำอธิบายนี้นี่คืออีกhttps://link.springer.com/article/10.1007/s00453-004-1145-7 )

— JimN
แหล่งที่มา

การสร้างทางเลือกใหม่ให้ความรู้สึกใกล้เคียงกับสิ่งที่ฉันกำลังมองหา แต่ไม่มากนัก - อัลกอริธึมที่เจาะจงยิ่งกว่านั้นก็คือ "อัลกอริทึมที่แตกต่าง" - แต่นี่ก็เป็นตัวอย่างที่น่าสนใจมาก!

— Rob Simmons