เกมหลายกราฟ

พิจารณาเกมต่อไปนี้บนกราฟถ่วงน้ำหนักกำกับกับชิปในบางโหนด$G$

โหนดทั้งหมดของถูกทำเครื่องหมายด้วย A หรือ B$G$

มีผู้เล่นสองคน Alice และ Bob เป้าหมายของอลิซ (บ๊อบ) คือการย้ายชิปไปยังโหนดที่ทำเครื่องหมายด้วย A (B)

ตอนแรกอลิซและบ็อบมีและดอลลาร์ตามลำดับ$m_A$$m_B$

หากผู้เล่นอยู่ในตำแหน่งสูญเสีย (เช่นตำแหน่งปัจจุบันของชิปถูกทำเครื่องหมายด้วยตัวอักษรตรงข้าม) เขาหรือเธอสามารถย้ายชิปไปยังโหนดใกล้เคียง การย้ายดังกล่าวมีค่าใช้จ่ายบางดอลลาร์ (น้ำหนักของขอบที่สอดคล้องกัน)

ผู้เล่นสูญเสียถ้าเขาหรือเธออยู่ในตำแหน่งที่สูญเสียและไม่มีเงินที่จะแก้ไข

ตอนนี้ลองพิจารณาภาษาของเกมที่ประกอบด้วยกราฟถ่วงน้ำหนักกำกับทั้งหมด (น้ำหนักทั้งหมดเป็นจำนวนเต็มบวก) ตำแหน่งเริ่มต้นของชิปและเมืองหลวงของอลิซและบ๊อบ$G$

เช่นนั้นอลิซมีกลยุทธ์ที่ชนะในเกมนี้

เกมภาษาเป็นP แท้จริงแล้วตำแหน่งปัจจุบันของเกมถูกกำหนดโดยตำแหน่งของชิปและเมืองหลวงปัจจุบันของ Alice และ Bob ดังนั้นการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกจึงใช้งานได้

พิจารณาการวางนัยทั่วไปของเกมนี้ พิจารณากราฟถ่วงน้ำหนักกำกับหลายด้วยชิปในแต่ละกราฟ โหนดทั้งหมดของกราฟทั้งหมดทำเครื่องหมายโดย A และ B ตอนนี้ Bob ชนะถ้าชิปทั้งหมดถูกทำเครื่องหมายโดย B และ Alice ชนะถ้าอย่างน้อยหนึ่งชิปที่ทำเครื่องหมายโดย A$G_1, \ldots G_n$

พิจารณาภาษา MULTI-GAME ที่ประกอบด้วยกราฟทั้งหมด , ตำแหน่งเริ่มต้นและเมืองหลวงและ (ในการเป็นตัวแทนเอก) ซึ่งอลิซชนะในเกมที่เกี่ยวข้อง นี่เป็นสิ่งสำคัญที่เมืองหลวงเป็นเรื่องปกติสำหรับกราฟทั้งหมดดังนั้นจึงไม่ใช่เพียงเกมอิสระหลายรายการ$G_1, \ldots, G_n$$m_A$$m_B$

คำถามความซับซ้อนของภาษา MULTI-GAMES คืออะไร? (มันเป็นของPหรือมีเหตุผลบางอย่างที่ทำให้ปัญหานี้ยากหรือไม่)

UPD1 Neal Youngแนะนำให้ใช้ทฤษฎีของ Conway อย่างไรก็ตามฉันไม่ทราบว่ามันเป็นไปได้ที่จะใช้ทฤษฎีนี้สำหรับหลาย ๆ เกมที่มีทุนร่วมกัน

UPD2ฉันต้องการแสดงตัวอย่างที่แสดงว่า MULTI-GAME นั้นไม่ง่ายมาก ให้อลิซแบ่งทุนของเธอเป็นคำบางคำ (เธอจะใช้ดอลลาร์สำหรับกราฟ -th) กำหนดเป็นจำนวนน้อยที่สุดเช่นนั้นใน th Bob เกมชนะถ้าอลิซและ Bob มีและดอลลาร์ตามลำดับ ถ้า (สำหรับการ ) ดังนั้นอลิซชนะ อย่างไรก็ตามสิ่งที่ตรงกันข้ามไม่เป็นความจริง พิจารณากราฟสองชุดต่อไปนี้ (เริ่มแรกชิปอยู่ที่ด้านซ้ายขึ้น A): $m_A$$n$$m_A = a_1 + a_2 + \ldots a_n$ฉันฉันขฉันฉันฉันขฉันข1 + ... ขn > มบีม = 1 + 2 + ... n$a_i$$i$$b_i$$i$$a_i$$b_i$$b_1 + \ldots b_n > m_B$$m_A = a_1 + a_2 + \ldots a_n$

สำหรับหนึ่งกราฟบ๊อบชนะถ้าและหรือถ้าและ 3 อย่างไรก็ตามสำหรับการเล่นเกมที่มีสองสำเนาของกราฟนี้บ๊อบสูญเสียถ้าและ 5 แท้จริงบ๊อบต้องใช้หรือดอลลาร์เพื่อเปลี่ยนชิปทั้งสองโหนดการทำเครื่องหมายโดยBจากนั้นอลิซสามารถเปลี่ยนชิปอย่างน้อยหนึ่งชิปไปยังโหนดที่ทำเครื่องหมายโดย A หลังจากนั้นบ๊อบไม่มีเงินในการรักษาตำแหน่ง$m_A=0$$m_B=2$$m_A=1$$m_B=3$$m_A=1$$m_B=5$$4$$5$$B$

UPD3เนื่องจากคำถามสำหรับกราฟโดยพลการนั้นยากที่จะพิจารณากราฟเฉพาะ แสดงว่าโหนดของกราฟเป็นk ข้อ จำกัด ของฉันมีดังต่อไปนี้: สำหรับทุกคู่มีขอบจากถึงและไม่มีขอบกลับ นอกจากนี้ยังมีอยู่ข้อ จำกัด สำหรับค่าใช้จ่ายของขอบ: สำหรับขอบเพื่อไม่ได้มากกว่าจากไปk$G_i$$1, \ldots k$$i<j$$i$$j$$i<j<k$$j$$k$$i$$k$

เนื่องจากคำตอบของ Steven Stadnicki ไม่ปรากฏว่าได้รับการยอมรับจากผู้ถามฉันจึงคิดว่าอาจเป็นประโยชน์ในการให้ข้อมูลอัปเดต: ฉันมีการลดจาก 3SAT เป็น MULTI-GAME ฉันไม่ได้ดูคำตอบของสตีเวนอย่างระมัดระวังหรือติดตามผ่านลิงก์ที่เขาให้ แต่ตามการลดลงต่อไปนี้ฉันจะไม่แปลกใจถ้าเกม MULTI-GAME นั้นสมบูรณ์แบบ PSPACE อย่างไรก็ตามฉันอาจไม่อยากขยายผลเกินกว่าความแข็งของ NP นี้

อินสแตนซ์ 3SAT ประกอบด้วยคำสั่งแต่ละประโยคอยู่ในรูปแบบโดยที่แต่ละเป็นหนึ่งในตัวแปรหรือการปฏิเสธของหนึ่งในตัวแปร$C_1, \dots, C_m$$C_i = L_{i1} \vee L_{i2} \vee L_{i3}$$L_{ik}$$x_1, \dots, x_n$

ด้วยอินสแตนซ์ 3SAT ดังกล่าวการลดจะสร้างอินสแตนซ์ MULTI-GAME ซึ่งประกอบด้วยเกม - เกมหนึ่งสำหรับแต่ละตัวแปรและอีกเกมหนึ่งที่ใช้เป็นเกมระดมทุนมากเกินไป ก่อนอื่นเราจะกำหนดโครงสร้างของกราฟสำหรับแต่ละเกมจากนั้นดูตัวอย่างและหารือเกี่ยวกับแนวคิดหลักแล้วเราจะหาค่าใช้จ่ายที่แน่นอนในการกำหนดให้กับขอบเพื่อทำให้การลดแรงยึดเกาะ$n + 1$

ก่อนอื่นกราฟเกมตัวแปรสำหรับแต่ละตัวแปร :$G_j$$x_j$

1. สร้างจุดสุดยอดที่มีป้ายกำกับมีเครื่องหมาย A (เช่นจุดสุดยอดที่ชนะสำหรับอลิซ) ชิปสำหรับเริ่มต้นที่ยอดx_j$x_j$$G_j$$x_j$
2. สร้างจุดสุดยอดที่มีป้ายชื่อและจุดสุดยอดที่มีป้ายชื่อแต่ละจุดที่ทำเครื่องหมายด้วย B (เช่นทั้งสองเป็นตำแหน่งที่ชนะสำหรับ Bob) สร้างขอบกำกับจากทั้งและทั้งที่มีค่าใช้จ่ายใน1$T$$F$$x_j$$T$$F$$1$

3. สำหรับแต่ละตัวอักษรข้อถ้าหรือสร้างจุดที่มีป้ายกำกับและทำเครื่องหมายด้วย A และจุดที่มีป้ายกำกับและทำเครื่องหมายกับบีเพิ่มขอบและกับค่าใช้จ่ายทั้งชุด{} (เราจะกำหนดภายหลัง)$L_{ik}$$C_i$$L_{ik} = x_j$$L_{ik} = \neg x_j$$C_iTA$$C_iFA$$C_iTB$$C_iFB$$(T, C_iTA)$$(F, C_iFA)$$l_{ik}$$l_{ik}$

   เพิ่มขอบและC_iTB) หากแล้วตั้ง 's ค่าใช้จ่ายให้และ ' s ค่าใช้จ่ายให้{} กำหนดมิฉะนั้น 's ค่าใช้จ่ายให้และ ' s ค่าใช้จ่ายให้1$(C_iTA, C_iTB)$$(C_iTA, C_iTB)$$L_{ik} = x_j$$(C_iTA, C_iTB)$$l_{ik} - 1$$(C_iTA, C_iTB)$$l_{ik}$$(C_iTA, C_iTB)$$l_{ik}$$(C_iTA, C_iTB)$$l_{ik} - 1$

เกมอ่างล้างจานทุน:

1. สร้างจุดสุดยอดมีเครื่องหมาย B$C$
2. สำหรับแต่ละส่วนคำสั่งให้สร้างจุดสุดยอดที่ชื่อมีเครื่องหมาย A และจุดสุดยอดที่มีชื่อว่ามีเครื่องหมาย B สร้างขอบด้วยค่าใช้จ่ายขอบ (อีกครั้งเพื่อพิจารณาด้านล่าง) และขอบยังมีค่าใช้จ่ายขอบC_i$C_i$$C_iA$$C_iB$$(C, C_iA)$$c_i$$(C_iA, C_iB)$$c_i$

นี่เป็นสิ่งที่ต้องทำมากมายดังนั้นหวังว่าตัวอย่างจะทำให้ย่อยง่ายขึ้น ตัวอย่าง 3SAT ของเรามีดังนี้:

$C_1 = x_1 \vee x_2 \vee \neg x_3$

$C_2 = x_2 \vee x_3 \vee \neg x_4$

$C_3 = \neg x_1 \vee \neg x_3 \vee x_4$

การลดลงจะทำให้อินสแตนซ์นี้เป็นกราฟเกม 4 ตัวแปรและกราฟตัวพิมพ์ใหญ่ 1 ตัว ในแผนภาพด้านล่างจุดสีแดงถูกทำเครื่องหมายด้วย A (เช่นตำแหน่งที่ชนะสำหรับอลิซ) และจุดยอดสีฟ้าถูกทำเครื่องหมายด้วย B (เป็นตำแหน่งที่ชนะสำหรับ Bob)

กราฟสำหรับ :$x_1$

กราฟสำหรับ :$x_2$

กราฟสำหรับ :$x_3$

กราฟสำหรับ :$x_4$

กราฟสำหรับการลดทุน:

แนวคิดมีดังนี้:

บ๊อบถูกบังคับให้ทำการย้ายครั้งแรกเพื่อที่จะออกจากการสูญเสียตำแหน่งในเกมตัวแปรการย้ายแต่ละครั้งจะเข้ารหัสการกำหนดค่าจริงหรือเท็จให้กับตัวแปรที่เกี่ยวข้อง$n$$n$

อลิซจะมีเงินทุนเพียงพอที่จะทำการย้ายได้ 4 ครั้งโดยที่แต่ละ Bob จะต้องมีเงินทุนเพียงพอที่จะจับคู่เพื่อให้ Bob ชนะ ค่าและค่าที่จะได้รับการแต่งตั้งเพื่อให้กลยุทธ์ชนะไปได้เฉพาะของอลิซเป็นดังนี้สำหรับบางข้อ :$c_i$$l_{ik}$$C_i$

ประโยคของอลิซกลยุทธ์:$C_i$ C i = L ฉัน1 ∨ L ฉัน2 ∨ L ฉัน3 k∈{1,2,3} L ฉันk = x j ¬ x j C ฉัน ? A x j C ฉัน Aให้{i3} สำหรับแต่ละถ้าหรือ , ย้ายไปในเกมตัวแปรx_jย้ายไปที่ในเกมอ่างใหญ่$C_i = L_{i1} \vee L_{i2} \vee L_{i3}$$k \in \{1, 2, 3\}$$L_{ik} = x_j$$\neg x_j$$C_i?A$$x_j$$C_iA$

(หมายถึงหรือมีเพียงเกมเดียวเท่านั้นที่สามารถเข้าถึงได้ในเกมที่กำหนดหลังจากที่ Bob เปิดการเคลื่อนไหว)$C_i?A$$C_iTA$$C_iFA$

ถ้าการเปิดของบ็อบสอดคล้องกับการมอบหมายความจริงซึ่งทำให้ไม่พอใจข้อหนึ่งดังนั้นอลิซก็เลือกและดำเนินกลยุทธ์ดังกล่าวข้างต้นค่าใช้จ่ายของอลิซเมืองหลวง ที่จะชนะ; ถ้าในมืออื่น ๆเป็นที่พอใจแล้ว counterplay บ๊อบได้รับส่วนลดอย่างน้อย1เป้าหมายของเราในการตั้งค่าและและอลิสและบ็อบเริ่มต้นของเมืองหลวงคือเพื่อให้แน่ใจว่าส่วนลดดังกล่าวเป็นปัจจัยในการตัดสินใจว่าอลิซหรือบ๊อบชนะหรือไม่$C_i$$C_i$$l_{i1} + l_{i2} + l_{i3} + c_i$$C_i$$1$$c_i$$l_{ik}$

ในตอนท้ายให้ตั้งค่าและตั้งค่า$b = m + 1$

$l_{ik} = 2b^{10} + ib^{2k}$สำหรับแต่ละ ,$k \in \{1, 2, 3\}$

$c_i = 3b^{10} + b^8 - \sum_{k=1}^3 ib^{2k}$ ,

ทุนเริ่มต้นของอลิซจะ ,$9b^{10} + b^8$

และทุนเริ่มต้นของ Bob ถึง$9b^{10} + b^8 + n - 1.$

โปรดทราบว่าค่าเหล่านี้ทั้งหมดคือพหุนามในดังนั้นอินสแตนซ์ MULTI-GAME ที่แสดงผลโดยการลดมีพหุนามขนาดในขนาดของอินสแตนซ์ 3SAT แม้ว่าต้นทุนเหล่านี้จะถูกเข้ารหัสในเอก$m$

ยังทราบว่าในแต่ละประโยค ,เป็นอลิซทุนจดทะเบียนเริ่มต้น (ซึ่งยังมากกว่าทุนของ Bob หลังจากย้ายแรกไป)$C_i$$l_{i1} + l_{i2} + l_{i3} + c_i = 9b^{10} + b^8$$1$$n$

ก่อนอื่นเป็นที่ชัดเจนว่าถ้าการเปิดของ Bob กำหนดการมอบหมายความจริงที่ทำให้ไม่พอใจประโยคนั้น Alice ก็ชนะโดยใช้กลยุทธ์ระบุไว้ข้างต้น$C_i$$C_i$

หากการเปิดรับของบ๊อบตอบสนองทุกข้อเราสามารถโต้แย้งข้อ จำกัด เกี่ยวกับทางเลือกของอลิซซึ่งตัดความเป็นไปได้อื่น ๆ ที่อลิซชนะ โปรดทราบว่าลำดับที่อลิซทำท่าของเธอนั้นไม่เกี่ยวข้องเนื่องจากคำตอบของบ๊อบถูกบังคับและเงินทุนทั้งหมดของบ๊อบจะต้องตอบสนองต่อการเคลื่อนไหวของอลิซนั้นไม่เปลี่ยนแปลงตามลำดับการเคลื่อนไหวของอลิซ

• อลิซไม่สามารถเคลื่อนไหวได้เกิน 4 ครั้ง:ถ้าอลิซทำการเดิน 5 ครั้งขึ้นไปการเคลื่อนไหวของเธอมีค่าใช้จ่ายทั้งหมดซึ่งเกินงบประมาณของเธอ$\ge 5b^{10}$
• อลิซจะต้องทำการย้าย 4 ครั้ง:ถ้าอลิซเลือก 3 การเคลื่อนไหวจากเกมอ่างล้างจานทุนค่าใช้จ่ายทั้งหมดของเธอคือซึ่งเกินงบประมาณ . หากเธอเลือกแม้แต่เกมเดียวที่เคลื่อนไหว 3 ครั้งดังนั้นค่าใช้จ่ายทั้งหมดของเธอคือซึ่งน้อยกว่าทุนหลังเปิดของ Bob ดังนั้น Bob จึงสามารถจ่ายได้อย่างง่ายดาย การต่อต้าน$\ge 9b^{10} + 3b^8 - 3b^7 > 9b^{10} + 2b^8$$\le 8b^{10} + 2b^8 + b^7$
• อลิซต้องเลือกการย้ายจากเกมตัวอ่าง:ถ้าเธอไม่ทำเธอก็เลือก 4 การเคลื่อนไหวจากเกมที่ผันแปรด้วยค่าใช้จ่ายทั้งหมดและอีกครั้งที่บ็อบสามารถตอบโต้ได้ง่าย (โปรดทราบว่าหากมีเกมอ่างล้างจานทุนแยกต่างหากต่อประโยคเราสามารถแสดงให้เห็นว่าอลิซต้องเล่นในเกมดังกล่าวหนึ่งเกม)$\le 8b^{10} + 4b^7$

จากขั้นตอนนี้เราสามารถเพิกเฉยต่อและคำศัพท์ในค่าใช้จ่ายการย้ายที่เลือกเนื่องจากจะรวมเป็นเสมอ ตั้งแต่อลิซจะต้องเลือกว่าหนึ่งย้ายในเกมอ่างเมืองหลวงสมมติว่าการย้ายคือการC_iAจากนั้นอลิซก็มี (เหลือและคำศัพท์)ทุนที่เหลือและ Bob มีเหลือน้อยกว่าจำนวนนี้$b^{10}$$b^8$$9b^{10} + b^8$$C_iA$$b^{10}$$b^8$$\sum_{k=1}^3 ib^{2k}$$1$

• อลิซต้องเลือกอย่างน้อยหนึ่งค่าใช้จ่ายการย้ายสำหรับข้อ :$l_{j3}$$C_j$ ≤3 b 5ถ้าเธอไม่ทำแล้วค่าใช้จ่ายในการย้ายของเธอ (อีกคำที่ต่ำกว่าคำสั่งซื้อ)และ Bob มีเงินทุนมากพอสำหรับการตอบโต้$\le 3b^5$
• กล่าวว่าการย้ายต้นทุนต้องย้ายต้นทุน :$l_{j3}$$l_{i3}$ก็ไม่สามารถย้ายต้นทุนสำหรับมิฉะนั้นการย้ายครั้งนี้มีค่าใช้จ่ายเพียงอย่างเดียวซึ่ง มากกว่างบประมาณที่เหลือของอลิซ หากเป็นสำหรับดังนั้นอลิซต้องเลือกการย้ายต้นทุนด้วยเพื่อยกเลิกคำสั่งในงบประมาณที่เหลือของ Bob แต่หลังจากนั้นคำสั่งในงบประมาณที่เหลือของ Bob หรือคำสั่งจะไม่หมดดังนั้น Bob จึงชนะอย่างคล่องแคล่ว$l_{j3}$$j > i$$\ge (i+1)b^6$$l_{j3}$$j < i$$l_{(i - j)3}$$b^6$$b^2$$b^2$

ข้อโต้แย้งที่คล้ายกันควรสร้างที่อลิซต้องเลือกย้ายต้นทุนและ{i1} ถ้าการมอบหมายความจริงของบ๊อบเป็นไปตามแล้วแม้แต่กลยุทธ์นี้ก็ใช้ไม่ได้ผลเช่นเดียวกับที่บ๊อบได้รับจากหนึ่งในค่าใช้จ่ายซึ่งใช้ต้นทุนน้อยกว่าทุนที่เขามีหลังจากเปิดตัว$l_{i2}$$l_{i1}$$C_i$$l_{ik}$$1$

ข้อสังเกตเกี่ยวกับคำตอบก่อนหน้าของฉัน: มันชัดเจนในการเข้าใจถึงปัญหาหลังเหตุการณ์สำหรับตัวแปรเกมตารางของ MULTI-GAME ที่ฉันกำหนดไว้ในความคิดเห็นของคำตอบนั้นความพอเหมาะ DP สไตล์เป้เพื่อตัดสินว่าผู้เล่นคนใดมีกลยุทธ์ที่ชนะ คุณสามารถยืนยันได้ว่ากลยุทธ์ที่ดีที่สุดของ Bob คือการตอบสนองต่อสภาวะที่แพ้ในตารางเกมที่กำหนดด้วยการลงทุนที่น้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ (สิ่งนี้ไม่สามารถตัดการย้ายครั้งต่อไปสำหรับ Bob ที่เขาจะมีเป็นอย่างอื่น) และจากนั้น การเคลื่อนไหวของอลิซไม่สำคัญ จากนั้นจะกลายเป็นเรื่องของการเลือกการแบ่งเมืองหลวงของอลิซในเกมดังกล่าวว่าผลรวมของการตอบรับที่น้อยที่สุดของ Bob ในเกมเหล่านั้นเกินงบประมาณของเขาซึ่งสามารถ reframed เป็นปัญหาแบบเป้หลังซึ่งมี DP พหุนาม เพื่อเป็นตัวแทนของค่าใช้จ่าย unary (การเกิดซ้ำของฉันจริง ๆ แล้วจะ '

ปรากฎว่าแม้แต่โครงสร้างต้นไม้ที่เรียบง่ายสำหรับแต่ละเกมที่มีความลึกคงที่และมีความหมายต่อเกมเดียวเท่านั้น (กล่าวคือในตอนเริ่มต้นซึ่งบังคับให้บ๊อบเลือกการมอบหมายความจริง) ก็เพียงพอที่จะรับความแข็งของ NP ฉันมีความคิดบางอย่างสำหรับการกำจัดของส้อมเริ่มต้นซึ่งจนตรอกอย่างใดบังคับให้บ๊อบลงทุนจำนวนเงินคงที่ค่อนข้างใหญ่ในเกมโดยไม่ต้องอลิซต้อง precommit กับเกมเหล่านั้นล่วงหน้า แต่เห็นได้ชัดตั้งแต่ TABLE-GAME P สิ่งนี้เป็นไปไม่ได้หากไม่มีทางแยก$n$

ฉันไม่ได้คิดอะไรมากเกี่ยวกับกรณีพิเศษของคุณจากUPD3 ฉันสงสัยว่ามันก็เป็น NP-hard ด้วยเช่นกันเพราะเหตุใดแกดเจ็ตตัวแปรของฉันจึงดูเหมือนว่าพวกเขาอาจปรับตัวเข้ากับข้อ จำกัด เหล่านั้นได้ แต่ฉันอาจไม่ได้มองลึกลงไปอีก

อัปเดต:มีแนวโน้มที่ไม่ถูกต้องปล่อยให้เป็นตอนนี้เพื่อบันทึกการสำรวจถนน ดูความคิดเห็น

อัปเดต 2:ไม่ถูกต้องอย่างแน่นอน

พิจารณากราฟของรูปแบบ (B) -1-> (A) -1-> (B) เช่นโดยที่ , , จุดยอด 1, 2, 3 มีป้ายกำกับ B, A, B ตามลำดับและขอบคือต้นทุนทั้งหมดที่กำหนดไว้ที่ 1$G = (V, E)$$V = \{1, 2, 3\}$$E = \{(1, 2), (2, 3)\}$

กำหนดอินสแตนซ์ 3 เกมของ MULTI-GAME โดยการตั้งค่า ,โดยเกมทั้งสามเริ่มต้นที่จุดสูงสุด 1. อลิซไม่สามารถชนะเกมนี้ได้$m_A = m_B = 2$$G_1 = G_2 = G_3 = G$

อย่างไรก็ตามการเกิดซ้ำด้านล่างล้มเหลวสำหรับ : ไม่มีการแบ่งเงินของ Bobระหว่างสองเกมแรกและเกมที่สามเช่นนั้นสำหรับการแบ่งเงินทั้งหมดของ Aliceทั้งและB ถ้าหรือดังนั้น ; และถ้าแล้วa$M[3,2,2]$$2-u, u$$v, 2 - v$$M[2, 2 - u, 2 - v] = B$$W[3, u, v] = B$$u = 1$$u = 2$$M[2, 2 - u, 2] = A$$u = 0$$W[3, u, 2] = A$

ฉันไม่เห็นวิธีเร่งด่วนในการกอบกู้แนวทางนี้ การกลับคำสั่งของปริมาณบนและทำให้การเกิดซ้ำล้มเหลวบนอินสแตนซ์ในการอัพเดต 2 ของโพสต์คำถาม$u$$v$

ได้รับอินสแตนซ์ MULTI-GAME$m_A, m_B, G_1, \dots, G_n,$

precompute

$W[k, x, y] = \begin{cases}A & \text{if Alice wins GAME on $G_k$ with initial funds $x$ for Alice and $y$ for Bob,} \\ B & \text{otherwise}\end{cases}$

สำหรับทุกเกมและทุก ,m_B$x \le m_A$$y \le m_B$

แสดงว่าโดยผู้ชนะของ MULTI-GAME ถ้าเช่นถูก จำกัด ไปก่อนกราฟและกองทุน ,m_B (ถ้า Bob ชนะอย่างอื่น) จากนั้น$M[k, x, y]$$k$$x \le m_A$$y \le m_B$$M[k, x, y] = B$$A$

$M[1, x, y] = W[1, x, y]$

และ

$M[k+1, x, y] = B \quad\text{if and only if}\quad \exists v \forall u, W[k+1, u, v] = B \:\:\text{and}\:\: M[k, x-u, y-v] = B.$

เอาต์พุต "ใช่" ถ้า , "no"$M[n, m_A, m_B] = A$

ต่อความคิดเห็นของฉันด้านบนนี่คือการลดลงที่ฉันคิดว่าแสดงให้เห็นว่าปัญหาเป็นเรื่องที่ยากมาก (และน่าจะเสร็จสมบูรณ์) Let $[n]$เป็นกราฟที่มี$n+1$โหนดเลข$n\ldots 0$มีการเชื่อมโยงจากโหนด$i+1$เพื่อ$i$ทั้งหมด$0\leq i\lt n$โหนดอื่น ๆ ทั้งหมดกว่า$0$ทำเครื่องหมายสำหรับ A, โหนด$0$ทำเครื่องหมายสำหรับ B และโพยยินดีครั้งแรกในn$n$(ขอบทั้งหมดที่นี่มีค่าใช้จ่าย 1) มันควรจะชัดเจนว่า B ชนะ$[n]$ถ้าพวกเขามี$\geq n$ดอลลาร์ (ถ้าจำเป็นเราสามารถกำหนดค่าใช้จ่ายต่อหน่วยจากแต่ละโหนดที่ไม่ใช่$0$ให้กับตัวเองเนื่องจาก A มักจะต้องการให้ chit อยู่ห่างจาก$0$ที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้และ B จะต้องการขยับเข้าไปใกล้ ๆ เสมอแน่นอนถ้าตนเอง - ลิงก์ไม่ได้รับอนุญาตจากนั้นเราสามารถ 'เพิ่ม' บรรทัดเป็นสองสำเนาสร้างบันไดด้วยลิงก์แบบสองทิศทาง

$G$$\alpha$$\beta$$\alpha$$[i]$$\beta$$\beta$$[j]$$[k]$$j\lt k$$\alpha$$\beta$$\beta$$[j]$$[k]$$[k]$$[i]$$\{i\mid\{j\mid k\}\}$