“ ญาติ” ของปัญหาเส้นทางที่สั้นที่สุด

พิจารณากราฟไม่มีทิศทางที่เชื่อมต่อกับน้ำหนักขอบที่ไม่ใช่เชิงลบและสองจุดที่โดดเด่น$s,t$เสื้อ ด้านล่างนี้เป็นปัญหาเกี่ยวกับเส้นทางที่เป็นรูปแบบต่อไปนี้ทั้งหมด: ค้นหาเส้นทาง$s-t$เพื่อให้ฟังก์ชันของน้ำหนักขอบบนเส้นทางมีค่าน้อยที่สุด ในแง่นี้พวกเขาทั้งหมด "ญาติ" ของปัญหาเส้นทางที่สั้นที่สุด; ในตอนหลังฟังก์ชั่นเป็นเพียงผลรวม

หมายเหตุ:เรากำลังมองหาเส้นทางง่ายๆนั่นคือไม่มีจุดยอดซ้ำ ๆ เนื่องจากฉันไม่พบชื่อมาตรฐานสำหรับปัญหาเหล่านี้ในวรรณคดีฉันจึงตั้งชื่อพวกเขาเอง

เส้นทางที่มีช่องว่างน้ำหนักขั้นต่ำ:หา$s-t$เส้นทางดังกล่าวว่าความแตกต่างระหว่างที่ใหญ่ที่สุดและมีขนาดเล็กที่สุดน้ำหนักขอบบนเส้นทางที่เป็นขั้นต่ำ

เส้นทางที่ลื่นที่สุด:ค้นหาเส้นทาง$s-t$เช่นขนาดขั้นตอนที่ใหญ่ที่สุดบนเส้นทางคือขั้นต่ำโดยขนาดขั้นตอนคือค่าสัมบูรณ์ของความแตกต่างน้ำหนักระหว่างสองขอบต่อเนื่องกัน

เส้นทางที่มีระดับความสูงต่ำสุด:ให้เรากำหนดระดับความสูงของเส้นทางด้วยผลรวมของขนาดขั้นตอนตามเส้นทาง (ดูคำจำกัดความของขนาดขั้นตอนข้างต้น) ค้นหาเส้นทาง$s-t$มีระดับความสูงต่ำสุด

เส้นทางที่มีน้ำหนักสูงสุดต่ำสุด:สมมติว่าน้ำหนักขอบทั้งหมดเป็นจำนวนเต็มบวกหาเส้นทาง$s-t$เช่นนั้นน้ำหนักของมันจะเป็นจำนวนเฉพาะ หากมีเส้นทางดังกล่าวให้ค้นหาเส้นทางที่มีน้ำหนักเฉพาะขนาดเล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้

คำถาม:สิ่งที่เป็นที่รู้จักเกี่ยวกับปัญหาเส้นทางเหล่านี้? (และคนอื่น ๆ ที่สามารถคิดในจิตวิญญาณที่คล้ายกันโดยใช้ฟังก์ชั่นที่แตกต่างของน้ำหนัก) โดยทั่วไปมีคำแนะนำใดที่หน้าที่ของน้ำหนักขอบสามารถลดลงในเวลาพหุนามและ NP- ยาก?

หมายเหตุ:มันเป็นเรื่องที่น่าสนใจตัวอย่างเช่นในขณะที่ผลรวมของน้ำหนักนั้นง่ายต่อการย่อให้เล็กสุด (มันเป็นปัญหาเส้นทางที่สั้นที่สุดแบบคลาสสิก) แต่การลดน้ำหนักเฉลี่ยที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดของน้ำหนักบนเส้นทางคือ NP-hard (กำหนดน้ำหนัก 2 ทุกขอบเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น$s$และ$t$และน้ำหนัก 1 ถึงคนอื่น ๆ ทั้งหมดจากนั้นเส้นทางนาทีน้ำหนักเฉลี่ยจะเป็นที่ยาวที่สุด. $s-t$เส้นทาง)

นี่คือคำตอบสำหรับปัญหาแรก:

เส้นทางที่มีช่องว่างน้ำหนักขั้นต่ำ:หา$s-t$เส้นทางดังกล่าวว่าความแตกต่างระหว่างที่ใหญ่ที่สุดและมีขนาดเล็กที่สุดน้ำหนักขอบบนเส้นทางที่เป็นขั้นต่ำ

บทความจากปี 1984 แสดงให้เห็นว่าเมื่อใดก็ตามที่เราสามารถตัดสินใจความเป็นไปได้ (มีวิธีแก้ปัญหาในกรณีที่ไม่มีน้ำหนัก) สำหรับปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพ combinatorial ในเวลาพหุนามแล้วเราก็สามารถหาเวลาในพหุนาม ค่าใช้จ่ายค่าใช้จ่าย (ในกรณีถ่วงน้ำหนัก):

S. Martello, WR Pulleyblank, P. Toth, D. de Werra
ปัญหาการปรับให้เหมาะสมที่สมดุล
ตัวอักษรการดำเนินการวิจัย 3, 1984, หน้า 275-278

นี่หมายถึงอัลกอริทึมเวลาพหุนามสำหรับคำถามของคุณ

$\tilde{O}(|E|^2)$$|E|$$|E|$

$\tilde{O}(|E|)$$|E|^2$$k$$k-1$

$S$$Θ(n/\log n)$$\mathrm{P}^S$แม้แต่สำหรับตุ้มน้ำหนักไบนารี่: มันเพียงพอที่จะติดตามพหุนามจำนวนมาก (ขึ้นอยู่กับ ) ตุ้มน้ำหนักพา ธ ต่ำสุดในแต่ละจุด อย่างไรก็ตามด้วยน้ำหนักที่สำคัญเราอาจต้องกระจายตัวหารของความแตกต่างน้ำหนัก (แทนที่จะเพียงแค่ติดตามน้ำหนักต่ำสุด) และมันก็ไม่มีความชัดเจนว่ามันเพียงพอหรือไม่$S$

เส้นทางที่ราบรื่น: NP สมบูรณ์ หากเราอนุญาตให้มีการคั่นด้วยตนเองจะสามารถแก้ไขได้ในเวลาแต่สำหรับรุ่นที่ไม่มีการตัดกันด้วยตนเองนี่คือการลดลงจาก 3-SAT พร้อมตัวแปรมีจุดยอดบวกจุดสุดยอดสำหรับแต่ละประโยค สำหรับตัวแปรแต่ละตัว ( ) เพิ่มเส้นทางที่ราบรื่น (โดยใช้จุดยอดพิเศษหากจำเป็น) จากถึงที่ผ่านส่วนคำสั่งทั้งหมดที่มีค่าบวกของและเส้นทางที่คล้ายกันสำหรับส่วนคำสั่งที่มี$\tilde{O}(|E|)$$n$$s=v_0,v_1,...,t=v_n$$x_i$$i<n$$v_i$$v_{i+1}$$x_i$$¬x_i$. ตั้งค่าน้ำหนักขอบแรกและสุดท้ายของแต่ละเส้นทางเป็น 1 (หรือค่าคงที่อื่น) แต่ไม่เช่นนั้นให้เลือกน้ำหนักโดยที่ไม่มีเส้นทางอื่นราบรื่น สุดท้ายทำซ้ำจุดยอดทั้งหมดและขอบที่อยู่ติดกัน วิธีนี้แต่ละข้อสามารถเยี่ยมชมได้สูงสุดสองครั้งซึ่งเพียงพอสำหรับ 3-SAT