การคำนวณข้อมูลใด ๆ เกี่ยวกับ Max-3SAT

สำหรับสูตร 3CNFให้เป็นจำนวนสูงสุดของคำสั่งมีความพึงพอใจในงานที่มอบหมายใด ๆ ไปยังCเป็นที่ทราบกันว่า Max-3SAT นั้นยากที่จะประมาณ (ภายใต้ P ≠ NP) เช่นไม่มีโพลิไทม์อัลกอริทึมที่อินพุตเป็นสูตร 3CNFและเอาท์พุทเป็นตัวเลขซึ่งอยู่ภายใน ปัจจัยคูณจากโดยที่เป็นค่าคงที่บวกแน่นอนM ( C ) C C M ′ M ( C ) 1 + c M ′ c > $C$$M(C)$$C$$C$$M'$$M(C)$$1+c$$M'$$c>0$

ผมเชื่อว่ามันยังเป็น NP-ยากที่จะคำนวณสำหรับการใด ๆ คงโมดูลัสพี ผมสงสัยว่าถ้าทั่วไปร่วมกันดังต่อไปนี้ของทั้งสองข้อเท็จจริงเป็นจริง: ไม่มีอัลกอริทึม polytime ที่มีการป้อนข้อมูลเป็นสูตร 3CNF คือCกับไม่มีคำสั่งและสตริงของ\ log_2 NBบิตคำแนะนำและมีการส่งออกเป็นM (C) นี่Bคือค่าคงที่แน่นอน ในคำธรรมดามีขั้นตอนวิธีการคำนวณว่าBบิตข้อมูลของM (C)$M(C) \bmod p$$p$$C$$N$$\log_2 N-B$$M(C)$$B$$B$$M(C)$

ฉันขอโทษถ้าคำถามนั้นมีคำตอบที่รู้จักกันดีเพราะฉันไม่ใช่นักทฤษฎีที่ซับซ้อนตามพื้นหลัง

นี่คือข้อโต้แย้งที่ว่าถ้าคุณสามารถแก้ปัญหา Max 3SAT บนอินสแตนซ์ m-clause ได้รับจำนวนบิตคงที่คำแนะนำลำดับชั้นพหุนามก็จะยุบลง

แก้ไขปัญหา NP-complete L จากทฤษฎีบทของ Cook เรารู้ว่าการแปลง f () ของอินพุต x สำหรับ L เป็น 3SAT สูตร f (x) ดังนั้น

1) ถ้าแล้วM ( f ( x ) ) = $x\in L$$M(f(x)) = m$

2) ถ้าแล้วM ( f ( x ) ) = m - $x\in L$$M(f(x)) = m-1$

ที่คือจำนวนของคำสั่งใน(x)f ( x $m$$f(x)$

เรายังมีทฤษฎีของ Kadin ที่บอกว่าถ้าได้รับปัจจัยการผลิตของปัญหา NP-เสร็จสมบูรณ์คุณมีขั้นตอนวิธีการพหุนามเวลาที่ทำให้แบบสอบถามเพื่อพยากรณ์ NP และกำหนด คำตอบที่ถูกต้องสำหรับปัญหา NPจากนั้นลำดับชั้นพหุนามยุบx 1 , … , x k ≤ k - 1 k x i ∈ ? $k$$x_1,\ldots,x_k$$\leq k-1$$k$$x_i \in ? L$

สมมติว่าเรามีอัลกอริทึมที่แก้ Max SAT จากอินพุต m-clause โดยให้คำแนะนำ k บิต เราจะใช้ผลลัพธ์ของ Hastad เพื่อสร้างอัลกอริทึมเช่นเดียวกับในทฤษฎีบทของคาดิน

เริ่มต้นจากปัจจัยการผลิตกับปัญหาLใช้ทฤษฎีบทของ Cook กับแต่ละข้อ หลังจากการทำให้เป็นมาตรฐาน (ซึ่งสามารถทำได้โดยการกำหนดน้ำหนักให้กับคำสั่งหรือทำซ้ำถ้าเราไม่ต้องการใช้น้ำหนัก) เราสร้างสูตรที่ไหนสำหรับบาง :x 1 , … , x K L K F 1 , … , F K$K=2^k+1$$x_1,\ldots,x_K$$L$$K$$F_1,\ldots,F_K$$m$

1)ถ้าและเป็นอย่างอื่นx 1 ∈ L M ( F 1 ) = m - $M(F_1)= m-1$$x_1 \in L$$M(F_1) = m-2$

2)ถ้าและอย่างอื่นx 2 ∈ L M ( F 2 ) = m ⋅ ( m - 2 $M(F_2) = m\cdot (m-1)$$x_2 \in L$$M(F_2) = m\cdot (m-2)$

...

k)ถ้าและมิฉะนั้นx K ∈ L M ( F K ) = m K - 1 ⋅ ( m - 2 $M(F_K) = m^{K-1} \cdot (m-1)$$x_K\in L$$M(F_K) = m^{K-1} \cdot (m-2)$

ตอนนี้ใช้เวลาสหภาพของสูตรซึ่งถูกสร้างขึ้นกว่าชุดตัวแปรเคลื่อนและเรียกมันว่าFดังนั้นเราจึงมีและเราสามารถ "อ่านออก" คำตอบสำหรับปัญหาโดยดูที่ base-เป็นตัวแทนของ(F) ถ้าเราสามารถคำนวณให้บิตของคำแนะนำก็หมายความว่าเราสามารถหาค่าดังกล่าวว่าหนึ่งในนั้นคือ(F) จากนั้นเราสามารถขอให้ oracle NP แบบไม่ปรับตัวได้ว่าสำหรับแต่ละค่าของผู้สมัครM ( F ) = M ( F 1 ) + ⋯ + M ( F k ) K x i ∈ ? $F$$M(F) = M(F_1) + \cdots + M(F_k)$$K$$x_i \in? L$M ( F ) M ( F ) k 2 k M ( F ) M ( F ) ≥ n ฉันn 1 , … , n 2 k 2 k 2 k + 1 $m$$M(F)$$M(F)$$k$$2^k$$M(F)$$M(F) \geq n_i$$n_1,\ldots,n_{2^k}$เราสร้าง ดังนั้นเราสามารถแก้ปัญหาNP-completeโดยทำแบบสอบถามที่ไม่ปรับตัวไปที่ oracle NP ซึ่งหมายถึงว่าลำดับชั้นพหุนามยุบ$2^k+1$$2^k$

การใช้ทฤษฎีบทของ Hastad แทนที่จะเป็นทฤษฎีบทของ Cook คุณสามารถผลักขนาดของเป็นแทนดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะผลักไปที่และจำนวนบิตคำแนะนำบันทึกเมตร การทำความเข้าใจสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อคุณได้รับ บิตคำแนะนำดูเหมือนยากมากO ( 1 ) k ⋅ มมk k เข้าสู่ระบบม. เข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบม. ล็อกเมตร- O ( 1 $F$$O(1)^k \cdot m$$m^k$$k$$\log m$$\log\log m$$\log m - O(1)$

แก้ไขเพื่อเพิ่ม: Krentel ( ความซับซ้อนของปัญหาการปรับให้เหมาะสมJ. Comput Syst Sci. 36 (3): 490-509 (1988) ) พิสูจน์ว่าการคำนวณค่าที่เหมาะสมที่สุดของปัญหาสูงสุดของกลุ่ม Clique นั้นเสร็จสมบูรณ์แล้วสำหรับคลาสของฟังก์ชันที่คำนวณได้ในเวลาพหุนามกับเคียวรีไปยัง NP oracle ความสมบูรณ์อยู่ภายใต้ "หนึ่งในการลดการสอบถาม" ซึ่งฟังก์ชั่น F คือออกซิเจนฟังก์ชันกรัมถ้าใครสามารถเขียนสำหรับเวลาพหุนามคำนวณและ . สันนิษฐานเดียวกันเป็นจริง สำหรับ Max Clique ตอนนี้ถ้า Max Clique มีอัลกอริทึมเวลาพหุนามที่สร้างรายการ O ( L o กรัมn $FP^{NP[O(log n)]}$$O(log n)$R 1 R 2 เมตรo ( 1 ) F P N P [ o ( l o g n ) $f(x) = r_1(g(r_2(x))$$r_1$$r_2$$m^{o(1)}$ค่าที่เป็นไปได้มันจะอยู่ใน , เพราะคุณสามารถใช้การค้นหาแบบไบนารีเพื่อค้นหาสิ่งที่ดีที่สุดด้วยจำนวนการสืบค้นที่เป็นบันทึกของขนาดรายการ$FP^{NP[o(logn)]}$

ตอนนี้ถ้าเรามีเราจะมีซึ่งเป็นกรณีพิเศษสำหรับปัญหาการตัดสินใจและเป็นที่รู้จักกันโดยผลของแว็กเนอร์ (การปรับปรุงผลลัพธ์ของ Kadin ที่นำไปใช้กับแบบสอบถามจำนวนคงที่) เพื่อยุบลำดับชั้นพหุนาม แต่ฉันคิดว่ามันอาจจะเป็นที่รู้กันว่า จริง ๆ แล้วแปลว่า P = NP แต่ไม่ว่าในกรณีใดผลลัพธ์ของ Krentel และ Kadin-Wagner น่าจะเพียงพอที่จะพิสูจน์ผลของ Andy Drucker อีกครั้ง ตอนนี้ฉันสงสัยว่าจริง ๆ แล้วมันเป็นข้อพิสูจน์เดียวกันหรือไม่นั่นคือถ้าผลลัพธ์ของ Fortnow-Van Melkebeek ใช้งานได้ไม่ว่าโดยชัดแจ้งหรือโดยปริยายผ่านอาร์กิวเมนต์ P N P [ O ( L o กรัมn ) ] = P N P [ o ( L o กรัมn ) ] F P N P [ O ( l $FP^{NP[O(log n)]} = FP^{NP[o(log n)]}$$P^{NP[O(log n)]} = P^{NP[o(log n)]}$$FP^{NP[O(log n)]} = FP^{NP[o(log n)]}$

กระดาษสำรวจที่ดีที่อธิบายสิ่งที่เกิดขึ้นกับปัญหาการปรับให้เหมาะสมและคลาสคิวรีที่มีขอบเขต:

http://www.csee.umbc.edu/~chang/papers/bqabh/npfsat.pdf

ฉันต้องการระบุเหตุผลข้อหนึ่งว่าทำไมการพิสูจน์ความแข็งของปัญหานี้จึงเป็นเรื่องยาก

ในความคิดเห็นเกี่ยวกับคำถาม Luca Trevisan ให้วิธีที่ดีในการทบทวนปัญหา: ปัญหาต่อไปนี้สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามสำหรับkคงที่ทุกครั้งหรือไม่ รับสูตร CNF C ที่มีคำสั่งmเอาต์พุตที่จำนวนเต็มm / kส่วนใหญ่ดังนั้นหนึ่งในนั้นจะเท่ากับM ( C ) นี่kเกี่ยวข้องกับBโดยk = ² B

อย่างไรก็ตามขอมากขึ้น กล่าวคือเราพิจารณาปัญหาต่อไปนี้: กำหนดสูตร CNF Cส่งออกจำนวนเต็มสองจำนวนเพื่อให้หนึ่งในนั้นเท่ากับM ( C ) เราแสดงถึงปัญหานี้โดยΠ ปัญหาΠนั้นยากอย่างน้อยเท่ากับปัญหาดั้งเดิมดังนั้นหากปัญหาดั้งเดิมคือ NP-hard Πต้องเป็น NP-hard ด้วย

โปรดทราบว่าΠเป็นปัญหาความสัมพันธ์ หนึ่งในการลดรูปแบบที่ง่ายที่สุดที่สามารถใช้เพื่อลดปัญหาบางอย่างLถึงปัญหาความสัมพันธ์คือการลดพหุนามแบบลีวินซึ่งเป็นกรณีพิเศษของการลดทอนพหุนามเวลาที่การลดลงเรียกว่าพยากรณ์สำหรับΠเท่านั้น ครั้งหนึ่ง

เราอ้างว่า P ^{Π [1]} = P เห็นได้ชัดว่านี่หมายถึงว่าNP⊈PΠ ^[1]ยกเว้น P = NP, นั่นคือ, Πไม่ได้เป็น NP-hard ภายใต้พหุนามแบบเวลาพหุนามการลดลงของเลวินยกเว้น P = NP

พิสูจน์ ให้L ∈PΠ ^[1]หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งมีการลดเลวินจากLถึงΠ นี่หมายความว่ามีคู่ ( f , g ) ของฟังก์ชันคำนวณเวลาแบบพหุนามf : {0,1} ^* → {0,1} ^*ซึ่งแมปแต่ละอินสแตนซ์xของปัญหาLกับสูตร CNF บางf ( x ) และคำกริยาคำนวณเวลาพหุนามg : {0,1} ^* ×ℕ×ℕ→ {0,1} ซึ่งg ( x , i , j ) = L( x ) ถ้าiหรือjเท่ากับM ( f ( x )) (นี่คือL ( x ) = 1 ถ้าxเป็น yes- อินสแตนซ์ของLและL ( x ) = 0 ถ้าxเป็น -in-instance

เราสร้างอัลกอริธึมเวลาพหุนามสำหรับLจากนี้ดังนี้ ให้xเป็นอินพุต

1. ให้C = F ( x ) และปล่อยให้ม.เป็นจำนวนข้อในC
2. หาi ∈ {0, …, m } เพื่อให้ค่าg ( x , i , j ) เป็นค่าคงที่ที่ไม่ขึ้นกับj ∈ {0, …, m }
3. ส่งออกค่าคงที่g ( x , i , 0)

ในขั้นตอนที่ 2 ฉันมีอยู่เสมอเพราะi = M ( f ( x )) เป็นไปตามเงื่อนไข ยิ่งกว่านั้นอัลกอริทึมนี้ไม่สามารถส่งออกคำตอบที่ผิดได้เนื่องจากg ( x , i , M ( f ( x ))) ต้องเป็นคำตอบที่ถูก ดังนั้นอัลกอริทึมนี้จึงแก้Lได้อย่างถูกต้อง QED

หากฉันไม่เข้าใจผิดความคิดเดียวกันสามารถนำมาใช้เพื่อพิสูจน์ว่า P ^{Π [ k ( n )]} ⊆DTIME [ n ^{O ( k ( n ))} ] นี่หมายความว่าNP⊈PΠ ^{[ k ]}สำหรับค่าคงที่kยกเว้น P = NP และNP⊈PΠ ^[polylog]เว้นแต่ว่าNP⊆DTIME [2 ^polylog ] อย่างไรก็ตามความคิดนี้เพียงอย่างเดียวดูเหมือนจะไม่ตัดทอนความเป็นไปได้ที่Πจะเป็น NP-hard ภายใต้การลดทอนพหุนามพหุนาม

ฉันเชื่อว่าเราสามารถแสดง:

ข้อเรียกร้อง มีค่าซึ่งต่อไปนี้เป็นจริง สมมติว่ามีอัลกอริธึมโพลี - เวลาแบบกำหนดแน่นอนที่กำหนดอินสแตนซ์ -clause 3-SATเอาต์พุตรายการที่ค่าส่วนใหญ่เช่น ; จากนั้นลำดับชั้นพหุนามยุบm ϕ S m c M ( ϕ ) ∈ $0 < c < 1$$m$$\phi$$S$$m^c$$M(\phi) \in S$

หลักฐานใช้ผลลัพธ์ของ Fortnow และ Santhanam ในการไม่สามารถบีบอัดอินสแตนซ์ได้จากกระดาษของพวกเขา http://www.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/compress.pdf

โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อดูหลักฐานของ Thm 3.1 ฉันเชื่อว่าสามารถแยกดังต่อไปนี้ (ฉันจะตรวจสอบอีกครั้งในเร็ว ๆ นี้):

"ทฤษฎีบท" [FS] มีจำนวนเต็มดังที่เป็นจริง สมมติว่าในโพลี - กำหนดเวลาหนึ่งสามารถเปลี่ยน OR ของสูตรบูลีน (แต่ละความยาวและตัวแปรชุด - disjoint) เป็น OR หรือสูตร (อีกตัวแปรผันและ ความยาว ), รักษาความพึงพอใจ / ความไม่พอใจของ OR จากนั้นและลำดับชั้นพหุนามยุบn d ≤ n n d ′ ≤ n N P ⊆ c o N P / p o l $0 < d' < d$$n^d$$\leq n$$n^{d'}$$\leq n$$\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{coNP/poly}$

หลักฐานของการเรียกร้องของเราจะลดลงจากการงานหรือการบีบอัดที่กล่าวถึงในข้างต้นทฤษฎีบท [FS] ปัญหาของรายการคำนวณพี) สมมติว่าเป็นรายการของสูตรที่เราต้องการบีบอัดหรือψ 1 , … , ψ n $M(\phi)$$\psi_1, \ldots, \psi_{n^d}$

ขั้นตอนแรก:กำหนดวงจรพหุนามขนาดในสายการป้อนข้อมูลd}) นี่สตริง encodes งานเพื่อและถอดรหัสตัวเลขระหว่างและ d$\Gamma$Y ฉันψ ฉันวี∈ { 0 , 1 } d log n + 1 0 n $(v, y_1, \ldots, y_{n^d})$$y_i$$\psi_i$$v \in \{0, 1\}^{d \log n + 1}$$0$$n^d$

เรามียอมรับ IFF ทั้งหรือ1v = 0 ψ v ( y v ) = $\Gamma$$v = 0$$\psi_v(y_v) = 1$

ตอนนี้ให้แทนค่าสูงสุดเช่นวงจร จำกัดเป็นที่พอใจ (ปริมาณนี้มีอย่างน้อย 0 เสมอ)v Γ ( v , ⋅ , … , ⋅ $M^*(\Gamma)$$v$$\Gamma(v, \cdot, \ldots, \cdot)$

สมมติว่าเราสามารถผลิตรายการของค่าที่เป็นไปได้สำหรับได้อย่างมีประสิทธิภาพ จากนั้นการอ้างสิทธิ์คือในรายการเราสามารถทิ้งทั้งหมดที่ ; รายการผลลัพธ์จะมีสูตรที่น่าพอใจถ้าหากสูตรดั้งเดิมมีอยู่ ฉันหวังว่านี่จะชัดเจนโดยการตรวจสอบM ∗ ( Γ ) ψ 1 , … , ψ n d ψ i i ∉ $S$$M^*(\Gamma)$$\psi_1, \ldots, \psi_{n^d}$$\psi_i$$i \notin S$

สรุป: เราไม่สามารถสร้างรายการของค่าที่เป็นไปได้สำหรับอย่างน่าเชื่อถือเว้นแต่ว่าลำดับชั้นโพลีจะยุบ≤ n d ′ M ∗ ( Γ $S$$\leq n^{d'}$$M^*(\Gamma)$

ขั้นตอนที่สอง:เราลดลงจากปัญหาของรายการคอมพิวเตอร์กับที่ของรายการคอมพิวเตอร์ 3-SAT กรณี\M ( ϕ ) $M^*(\Gamma)$$M(\phi)$$\phi$

การทำเช่นนี้ครั้งแรกที่เราทำงานลดคุกในที่จะได้รับ 3 SAT เช่นขนาดง) มีการตั้งค่าตัวแปรเช่นเดียวกับพร้อมกับตัวแปรเสริมบางอย่าง สิ่งที่สำคัญที่สุดสำหรับจุดประสงค์ของเราเป็นที่พอใจถ้า ifเป็นที่น่าพอใจ$\Gamma$ m = p o l y ( n d ) ϕ 1 Γ ϕ 1 ( v , ⋅ ) Γ ( v , ⋅ $\phi_1$$m = poly(n^d)$$\phi_1$$\Gamma$$\phi_1(v, \cdot)$$\Gamma(v, \cdot)$

เราเรียกข้อ จำกัด ที่แข็งแกร่ง เราให้แต่ละข้อ จำกัด น้ำหนัก (โดยการเพิ่มข้อ จำกัด ที่ซ้ำกัน) 2 $\phi_1$$2m$

จากนั้นเราเพิ่มชุดของ 'ข้อ จำกัด ที่อ่อนแอ'ซึ่งเพิ่มการตั้งค่าสำหรับดัชนี (กำหนดไว้ในขั้นตอนที่ 1) ให้สูงที่สุด มีหนึ่งข้อ จำกัด สำหรับแต่ละบิตของคือ1] เราปล่อยให้ -th บิตที่สำคัญที่สุดของมีข้อ จำกัด น้ำหนัก{t-1} เนื่องจากมีความยาวตุ้มน้ำหนักเหล่านี้สามารถรวมเป็นหนึ่งได้ (เราแค่ต้องใช้แพดเพื่อให้มีกำลังเป็น 2) v v $\phi_2$$v$$v_t$[ v t = 1 ] t v m / 2 t - 1 v d log n + 1 $v$$[v_t = 1]$$t$$v$$m/2^{t-1}$$v$$d \log n + 1$$m$

สุดท้ายให้เป็นผลลัพธ์ของการลดลงของเรา$\phi = \phi_1 \wedge \phi_2$

ในการวิเคราะห์ให้เป็นชุดตัวแปรของโดยมีเหมือนก่อน สิ่งแรกที่ได้รับมอบหมายให้ใครสามารถสรุปคุณค่าของจากปริมาณ (น้ำหนักรวมของข้อตกลงพอใจกับ ) สิ่งนี้ตามมาจากการออกแบบลำดับชั้นของข้อ จำกัด - น้ำหนัก (คล้ายกับเทคนิคจากคำตอบของ Luca) ในทำนองเดียวกันค่าสูงสุดที่ทำได้ทำได้โดยการตั้งค่าที่สอดคล้องกับข้อ จำกัด ที่แข็งแกร่งทั้งหมดและที่ (ภายใต้หัวข้อนี้)( v , z ) ϕ v ( v , z ) v N ( v , z ) = ϕ v , z M ( ϕ $\phi$$(v,z)$$\phi$$v$$(v, z)$$v$$N(v, z) =$$\phi$$v, z$
$M(\phi)$v v Γ ( v , ⋅ ) M ∗ ( Γ ) v = Γ ( v , ⋅ $(v, z)$$v$มีขนาดใหญ่ที่สุด นี้เป็นดัชนีที่ใหญ่ที่สุดที่คือพอใจคือGamma) (หมายเหตุเป็นไปได้เสมอโดยการตั้งค่า all-0 เพื่อตอบสนองข้อ จำกัด ที่แข็งแกร่งทั้งหมดเนื่องจากในกรณีนั้นเป็นที่พอใจ)$v$$\Gamma(v, \cdot)$$M^*(\Gamma)$$v =$$\Gamma(v, \cdot)$

มันตามมาว่าหากเราได้รับรายการของค่าที่เป็นไปได้ของเราสามารถหารายการของค่าที่เป็นไปของGamma) ดังนั้นเราไม่สามารถมียกเว้นว่าลำดับชั้นโพลียุบ นี้จะช่วยให้การเรียกร้องค่าสินไหมทดแทนตั้งแต่(1)}M ( ϕ ) | S | M ∗ ( Γ ) | S | ≤ n d ′ n d ′ = m Ω ( 1 $S$$M(\phi)$$|S|$$M^*(\Gamma)$$|S| \leq n^{d'}$$n^{d'} = m^{\Omega(1)}$