การประยุกต์ใช้โครงสร้างของเมตริกบน posets / lattices ในทฤษฎี CS

เนื่องจากคำว่ามากเกินไปคำจำกัดความสั้น ๆ ก่อน poset เป็นชุด$X$ endowed กับคำสั่งซื้อบางส่วน≤$\le$ได้รับสององค์ประกอบ, ข∈ Xเราสามารถกำหนดx ∨ Y (ร่วม) เป็นของที่ถูกผูกไว้อย่างน้อยบนในX , และในทำนองเดียวกันกำหนดx ∧ Y (พบ) (ร่วม) เป็นที่ยิ่งใหญ่ที่สุดที่ต่ำกว่าที่ถูกผูกไว้$a,b \in X$$x \vee y$$X$$x \wedge y$

ขัดแตะเป็นโพเซ็ทที่องค์ประกอบสองอย่างใดมีการพบปะที่ไม่เหมือนใครและการเข้าร่วมที่ไม่เหมือนใคร

Lattices (ในรูปแบบนี้) แสดงในทฤษฎี CS ใน (สั้น ๆ ) ทฤษฎีของ submodularity (กับส่วนย่อย lattice) และการจัดกลุ่ม (lattice แบ่งพาร์ติชัน) เช่นเดียวกับในทฤษฎีโดเมน (ที่ฉันไม่เข้าใจดีเกินไป) และแบบคงที่ การวิเคราะห์

แต่ฉันสนใจแอปพลิเคชันที่ใช้โครงสร้างเมตริกในโปรย ตัวอย่างง่ายๆมาจากการจัดกลุ่มที่ฟังก์ชันใด ๆ ที่ submodular $f : X \rightarrow R$ (antimonotone หมายความว่าถ้า$x \le y, f(x) \le f(y)$ ) เจือจางตัวชี้วัด

ตัวชี้วัดนี้มีการใช้อย่างกว้างขวางเพื่อเปรียบเทียบสองคลัสเตอร์ที่แตกต่างกันของชุดข้อมูล

มีแอพพลิเคชั่นอื่น ๆ ของโปรยที่สนใจโครงสร้างตัวชี้วัดหรือไม่? ฉันได้รับความสนใจในทฤษฎีโดเมน / การประยุกต์ใช้การวิเคราะห์แบบคงที่ แต่จนถึงขณะนี้ฉันไม่เห็นความจำเป็นในการใด ๆ ที่ตัวชี้วัด

ก่อนแสดงความคิดเห็น คำถามของคุณนั้นขึ้นอยู่กับว่าคุณตั้งใจจะใช้คำว่า "เมตริก" ในเชิงเรขาคณิต เป็นเรื่องปกติที่มีเหตุผลในการใช้ ultrametrics ในความหมายและการวิเคราะห์แบบคงที่ แต่ ultrametrics มักจะมี combinatorial มากกว่าการตีความทางเรขาคณิต (นี่คือตัวแปรของการสังเกตว่าทฤษฎีโดเมนมีรสชาติของ combinatorial มากกว่าการใช้รูปทรงเรขาคณิตของทอพอโลยี)

ที่กล่าวว่าฉันจะให้ตัวอย่างของสิ่งที่เกิดขึ้นในการพิสูจน์โปรแกรม ก่อนอื่นให้จำไว้ว่าในการพิสูจน์โปรแกรมเราต้องการแสดงให้เห็นว่าสูตรที่อธิบายโปรแกรมถืออยู่ โดยทั่วไปสูตรนี้ไม่จำเป็นต้องตีความด้วยบูลีน แต่สามารถดึงออกมาจากองค์ประกอบของค่าความจริงบางส่วน จากนั้นสูตรจริงเป็นเพียงหนึ่งซึ่งเท่ากับด้านบนของขัดแตะ

นอกจากนี้เมื่อระบุโปรแกรมอ้างอิงตัวเองมาก (ตัวอย่างเช่นโปรแกรมที่ใช้งานโค้ดแก้ไขตัวเองได้อย่างกว้างขวาง) อาจเป็นเรื่องยากมาก โดยทั่วไปเราต้องการที่จะให้ข้อมูลจำเพาะของโปรแกรมแบบเรียกซ้ำ แต่อาจไม่มีโครงสร้างอุปนัยที่ชัดเจนที่จะให้คำจำกัดความ เพื่อแก้ปัญหานี้มักจะเป็นประโยชน์ในการจัดโครงร่างค่าความจริงด้วยโครงสร้างเมตริกเพิ่มเติม จากนั้นหากคุณสามารถแสดงให้เห็นว่าภาคแสดงที่มีจุดคงที่ที่คุณต้องการนั้นเป็นสัญญาอย่างเคร่งครัดคุณสามารถอุทธรณ์ไปยังทฤษฎีจุดคงที่ของ Banach เพื่อสรุปว่าภาคแสดงซ้ำที่คุณต้องการนั้นมีความชัดเจน

กรณีที่ฉันคุ้นเคยมากที่สุดเรียกว่า "ขั้นตอนการจัดทำดัชนี" ในการตั้งค่านี้เราใช้ตาข่ายของเราของค่าความจริงจะเป็นส่วนย่อยลงปิดของNซึ่งมีองค์ประกอบที่เราหลวมสามารถแปลว่า "ความยาวของลำดับการประเมินผลที่ทรัพย์สินที่ถือ" พบและเข้าร่วมเป็นจุดตัดและสหภาพตามปกติและเนื่องจากขัดแตะเสร็จสมบูรณ์เราจึงสามารถกำหนดความหมาย Heyting ได้เช่นกัน ตาข่ายยังสามารถติดตั้งด้วยอัลตร้าเมทริกโดยให้ระยะห่างระหว่างองค์ประกอบสองส่วนเป็น2 - nโดยที่nเป็นองค์ประกอบที่เล็กที่สุดในชุดเดียว แต่ไม่ใช่อีกชุด$\Omega$$\mathbb{N}$$2^{-n}$$n$

จากนั้นแผนที่การหดตัวของ Banach thoerem บอกเราว่ากริยาเชิงสัญญาที่หดตัว: Ω → Ωมีจุดคงที่ที่เป็นเอกลักษณ์ โดยสังเขปนี่บอกว่าถ้าเราสามารถกำหนดเพรดิเคตซึ่งถือสำหรับn + 1ขั้นตอนโดยใช้เวอร์ชันที่เก็บสำหรับขั้นตอนnจากนั้นจริง ๆ แล้วเรามีคำจำกัดความที่ชัดเจนของเพรดิเคต ถ้าเราแสดงว่าภาคแสดงนั้นเท่ากับ⊤ = Nเราก็รู้ว่าภาคแสดงนั้นถือโปรแกรมเสมอ$p : \Omega \to \Omega$$n+1$$n$$\top = \mathbb{N}$

เป็นอีกทางเลือกหนึ่งสำหรับ CPO ที่ใช้กันอย่างแพร่หลายอาร์โนลด์และนิวัทสำรวจช่องว่างเมตริก (เสร็จสมบูรณ์) เป็นโดเมนของซีแมนติก denotational semantics [1] ในวิทยานิพนธ์ของเขา Bonsangue [2] สำรวจ dualities ระหว่างอรรถศาสตร์ denotational และอรรถศาสตร์อรรถศาสตร์ ฉันพูดถึงที่นี่เพราะมันให้ภาพรวมที่ครอบคลุมมาก

[1]: A Arnold, M Nivat: การตีความตัวชี้วัดของต้นไม้ที่ไม่มีที่สิ้นสุดและความหมายของโปรแกรมเรียกซ้ำแบบไม่กำหนด Theor คอมพิวเต วิทย์ 11: 181-205 (1980)
[2]: MM Bonsangue ทอพอโลยีแบบคู่ในปริมาณความหมายที่ 8 ของ ENTCS, Elsevier 1998

นี่คือหนึ่ง (จากบังเอิญด้านบนของคิวการอ่านของฉัน):

Swarat Chaudhuri, Sumit Gulwani และ Roberto Lublinerman การวิเคราะห์ความต่อเนื่องของโปรแกรม POPL 2010

ผู้เขียนให้ความหมายเชิง Denotational สำหรับภาษาที่จำเป็นซึ่งมีลูปง่าย ๆ แปลความหมายของนิพจน์เป็นฟังก์ชันจากค่าในพื้นที่ของผลิตภัณฑ์พื้นฐาน ประเด็นคือเพื่อพิจารณาว่าโปรแกรมใดที่แสดงถึงฟังก์ชั่นต่อเนื่องแม้ในที่ที่มี "if" และลูป พวกเขายังอนุญาตให้มีคำถามเกี่ยวกับความต่อเนื่องที่ จำกัด เฉพาะอินพุตและเอาต์พุตบางอย่าง (นี่เป็นสิ่งสำคัญสำหรับการวิเคราะห์อัลกอริทึมของ Dijkstra ซึ่งต่อเนื่องในความยาวเส้นทาง แต่ไม่ได้อยู่ในเส้นทางจริง)

ฉันยังไม่เห็นอะไรเลยที่ต้องใช้พื้นที่เมตริก - ดูเหมือนว่าจะสามารถทำได้โดยใช้โทโพโลยีทั่วไปจนถึงตอนนี้ แต่ฉันอยู่ในหน้า 3 เท่านั้น :)

ขออภัยในการเพิ่มคำตอบอื่น แต่อันนี้ไม่เกี่ยวข้องกับคำตอบของฉันข้างต้น

ช่องว่างเมตริกที่ฉันใช้เป็นประจำเพื่อทำให้เกิดความรำคาญ (หรือมันคือความรู้?) นักเรียนที่เห็นพ้องต้องกันคือร่องรอยที่ไม่มีที่สิ้นสุด โทโพโลยีมันก่อให้เกิดเป็นอย่างแม่นยำหนึ่ง Alpern และชไนเดอ [1] ใช้ลักษณะความปลอดภัยและความมีชีวิตชีวาคุณสมบัติเป็นวงเงินปิดและมีความหนาแน่นตามลำดับ

ระยะห่างระหว่างสองร่องรอยมีขนาดเล็กถ้าคำนำหน้าร่วมกันของพวกเขามีความยาว:

ในการหวนกลับฉันรู้ว่าคำตอบนี้ยังขาดส่วนผสมที่สำคัญของโครงสร้างตาข่ายหรือโพสต์ โครงสร้างโครงตาข่ายดังกล่าวนั้นมีอยู่เมื่อเคลื่อนที่ไปหนึ่งระดับตามระดับที่ Clarkson และ Schneider เรียกhyperproperties [2] ในช่วงเวลาของการเขียนมันไม่ชัดเจนสำหรับฉันที่จะยกระดับตัวชี้วัด

[1] B Alpern และ FB Schneider การกำหนดความมีชีวิตชีวา IPL, 21 (4): 181–185, 1985
[2] MR Clarkson และ FB Schneider Hyperproperties CSF, p51-65, IEEE, 2008