การค้นหาระยะห่างระหว่างชื่อพหุนามสองแบบ (แสดงเป็นต้นไม้)

เพื่อนร่วมงานที่ทำงานเกี่ยวกับการเขียนโปรแกรมทางพันธุกรรมถามคำถามต่อไปนี้ ก่อนอื่นฉันพยายามแก้มันโดยใช้วิธีโลภ แต่จากความคิดที่สองฉันพบตัวอย่างของอัลกอริทึมโลภ ดังนั้นฉันคิดว่ามันควรค่าแก่การกล่าวถึงที่นี่

พิจารณาพหุนามสองอันซึ่งแสดงโดยต้นไม้แสดงออกของพวกเขา ตัวอย่างเช่น$x^3-2x+1$และ$x^2 + 4$มีภาพประกอบด้านล่าง:

กฎ:

1. แต่ละโหนดเป็นชื่อตัวแปร ( $x, y, z, \ldots$ ), ตัวเลขหรือการดำเนินการ (+, -, ×)
2. การสำรวจเส้นทางตามลำดับของต้นไม้ควรส่งผลให้พหุนามถูกต้อง
3. โหนดการดำเนินการมีระดับ 2 โหนดอื่น ๆ มีระดับ -0 โหนดทั้งหมดมีระดับที่ 1 (ยกเว้นรูทซึ่งมีระดับนอกเป็น 0)

บนโหนด N ของแผนผังกำหนดการดำเนินการพื้นฐานดังนี้:

1. $x$$\times$
2. การดำเนินการขั้นพื้นฐานสามารถสร้างแผนภูมินิพจน์ด้านบนของ N (ดูตัวอย่างด้านล่าง)

ค่าใช้จ่ายของการดำเนินการพื้นฐานของประเภท 1คือ 1 ค่าใช้จ่ายสำหรับประเภท 2เท่ากับจำนวนการดำเนินงาน {+, -, ×} ในต้นไม้นิพจน์ที่สร้างขึ้นใหม่

ตัวอย่างสำหรับชนิดที่ 2:ค่าใช้จ่ายของการดำเนินการพื้นฐานต่อไปนี้คือ 2 เนื่องจากโครงสร้างนิพจน์ที่สร้างอยู่ด้านบนของโหนด N ใช้การดำเนินการสองอย่าง (- และ×)

ให้ T1 และ T2 เป็นต้นไม้แสดงออกสองต้นที่แทนพหุนาม กำหนดระยะทางของ T1 และ T2 ดังนี้: ค่าใช้จ่ายขั้นต่ำของการดำเนินงานขั้นพื้นฐานสำหรับการแปลง T1 เป็น T2 โปรดทราบว่าเราไม่ต้องการให้ทรีที่แปลงแล้วมีโครงสร้างเดียวกันกับ T2 เราแค่อยากให้มันคำนวณพหุนามเดียวกับ T2 (ดูความคิดเห็นสำหรับตัวอย่าง)

ปัญหา:จาก T1 และ T2 แสดงอัลกอริทึมที่คำนวณระยะทาง

ตัวอย่างที่ 1:ให้ T1 และ T2 เป็นต้นไม้สองต้นที่แสดงในตอนต้นของโพสต์นี้ ในการแปลงต้นไม้ที่ถูกต้องเป็นต้นไม้ด้านซ้ายเราสามารถสร้างต้นไม้ที่มีราคา 3 อยู่ด้านบนของ×และเปลี่ยน 4 เป็น 1 (ราคารวมคือ 4)

$x^4$$x^4+4x^3+6x^2+4x+1$$x$$(x+1)^4$$x$$4x^3$$6x^2$$4x$

Tree Edit Distance เป็นลักษณะทั่วไปของระยะทางแก้ไขสตริง ระยะห่างระหว่างสองต้นคือจำนวนขั้นต่ำของการแทรกโหนด \ deletions \ และ relabels ที่จำเป็นในการเปลี่ยนต้นไม้ต้นหนึ่งให้เป็นอีกต้นหนึ่ง (เมื่อเราลบโหนด v, children ของ v กลายเป็น child of parent (v)) ปัญหาคือปัญหา NP-hard เมื่อต้นไม้ไม่ได้เรียงลำดับ แต่เมื่อถูกสั่ง (เช่นมีคำสั่งจากซ้ายไปขวาในหมู่พี่น้อง) ปัญหาจะแก้ไขได้ในเวลา O (n ^ 3) (เหมือนในกระดาษที่ Sadeq ที่กล่าวถึง) แบบสำรวจที่ดีที่อธิบายสิ่งนี้: http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1085283