มีปัญหาที่ไม่มีอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพหรือไม่ซึ่งทฤษฏีการดำรงอยู่ได้พิสูจน์แล้วว่าอัลกอริทึมดังกล่าวต้องมีอยู่จริงหรือไม่?

22

มีปัญหาใน CS ที่ไม่มีอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพหรือไม่แม้ว่าจะมีทฤษฎีบทการดำรงอยู่ที่พิสูจน์ว่าอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพนั้นต้องมีอยู่จริงหรือไม่?

ปัญหาเหล่านี้เรียกว่าอะไร? ฉันจะหาข้อมูลเพิ่มเติมได้ที่ไหน

ds.algorithms reference-request terminology

— z5h
แหล่งที่มา

4

ฉันคิดว่ามันเกี่ยวข้อง: en.wikipedia.org/wiki/Minor_(graph_theory)# อัลกอริทึม

— Philip White

3

คำถามของคุณคืออะไร? ในชื่อเรื่องว่า "การแก้ปัญหา" แต่ในเนื้อหาที่คุณเขียน "อัลกอริทึม"

— Marcos Villagra

6

ฉันคิดว่ามันจะดีกว่าถ้าคุณถามปัญหาที่น่าสนใจ / เป็นธรรมชาติมิฉะนั้นมันง่ายที่จะกำหนดปัญหาดังกล่าว: ใช้คำสั่งทางคณิตศาสตร์ใด ๆ ที่ไม่ทราบว่าเป็นจริงหรือเท็จให้เอาท์พุท 1 ปัญหา จริงและ 0 ถ้ามันเป็นเท็จ มีอัลกอริธึมง่าย ๆ สองอย่างที่หนึ่งในนั้นแก้ปัญหานี้ได้ แต่การตัดสินใจว่าโดยพื้นฐานแล้วเป็นการพิสูจน์ / หักล้างคำสั่งทางคณิตศาสตร์ดังนั้นเราจึงไม่รู้ว่าอันไหนแก้ได้

— Kaveh

9

ตัวอย่างเช่น Shelby Kimmel ใช้วิธีการที่เป็นปฏิปักษ์ในเอกสารนี้เพื่อแสดงว่าต้องมีอัลกอริทึมการสืบค้นสำหรับปัญหาบางอย่างที่เราไม่ทราบว่าเป็นวิธีการสืบค้นแบบคงที่ เธอทำอย่างนี้ในทางเรียบโดยเฉพาะอย่างยิ่งการหาซับซ้อนแบบสอบถามของปัญหาประกอบกับตัวเองครั้งแล้วหาซับซ้อนแบบสอบถามของฟังก์ชั่นการหมักและสังเกตว่าซับซ้อนแบบสอบถามของฟังก์ชั่นเดิมเป็นคำสั่ง{d} $O(1)$ $d$ $Q$ $Q^\frac{1}{d}$

— Artem Kaznatcheev
แหล่งที่มา

12

แน่นอนว่ามีตัวอย่างมากมายอย่างน้อยก็ในใจของคำถามของคุณ

บ่อยครั้งที่คนคนหนึ่งได้รับผลที่ได้จากวิธีความน่าจะเป็น ยกตัวอย่างเช่นกระดาษหนึ่งที่ผมชอบวิ่งเข้าไปในปัญหาที่มีอยู่ในการฟื้นฟูกราฟในรูปแบบสารเติมแต่ง ที่นี่ผู้เขียนแสดงให้เห็นว่ามีชุดของแบบสอบถามที่จะ (อย่างเหมาะสม) เรียนรู้กราฟเป้าหมาย กำหนดชุดนี้อัลกอริทึมมีประสิทธิภาพ อย่างไรก็ตามพวกเขาใช้วิธีการความน่าจะเป็นเพื่อแสดงการมีอยู่ของชุดเล็กนี้ (สำหรับแต่ละขนาดของปัญหา) ที่จะทำงานกับอินพุตทั้งหมด แต่ไม่ได้สร้างอย่างชัดเจน ดังนั้นสิ่งที่ดีที่สุดที่พวกเขาสามารถทำได้คือการค้นหาที่ดุร้ายผ่านการสืบค้นแบบเลขชี้กำลังเชิงเลขเนื่องจากพวกเขาไม่มีโครงสร้างที่ชัดเจน $O(dn)$

— Lev Reyzin
แหล่งที่มา

2

ไม่คุณสามารถใช้อัลกอริทึมที่เร็วที่สุดและสั้นที่สุดสำหรับปัญหาที่กำหนดไว้ทั้งหมด ;)

— มาร์คัสริตต์
แหล่งที่มา

ฉันไม่ได้จริงจังโดยสิ้นเชิง แต่สังเกตว่าการก่อสร้างของ Hutter นั้นพิสูจน์ความถูกต้องของอัลกอริทึมได้จริง ทำไมคุณคิดว่ามันไม่ตอบคำถาม?

— Marcus Ritt

4

@Ross Snider: แน่นอนว่าภาษาที่ไม่สามารถหลีกเลี่ยงได้หนีออกจากผลลัพธ์ของ Hutter: เขาเป็นคนสุดท้าย, ให้อัลกอริทึม! อย่างไรก็ตามไม่เหมือนกับการค้นหาของเลวินซึ่งต้องการอินสแตนซ์ของปัญหาที่มีใบรับรองที่ตรวจสอบได้ (เช่นปัญหาการค้นหา NP) การค้นหาของ Hutter ไม่ได้ มันต้องการเพียงแค่ปัญหาที่ระบุไว้ในภาษาที่เป็นทางการซึ่งสามารถใช้เป็นพื้นฐานสำหรับการค้นหาหลักฐานอย่างละเอียด [ว่า TM บางคนในความเป็นจริงการแก้ปัญหาที่ระบุ] นอกจากนี้ Hutter / Levin ไม่ได้ให้การพิสูจน์การดำรงอยู่ของอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับปัญหาเว้นแต่ว่าเรารู้แล้วว่าปัญหามีอัลกอริธึมดังกล่าว

— Joshua Grochow

1

@Joshua เราได้นำภาษาที่ตัดสินไม่ได้เป็นตัวอย่างของสิ่งที่ค้นหา Hutter / เลวินไม่สามารถตัดสินใจเนื้อหา (ผมพยายามที่จะเลือกสิ่งที่เห็นได้ชัด) แต่ที่ยังคงอยู่ "ที่ดีที่กำหนด"; มันเป็นข้อโต้แย้งกับข้อเรียกร้องยืดเยื้อในชื่อของกระดาษ แน่นอนฉันระมัดระวังที่จะยอมรับว่าฉันไม่ได้อ่านเนื้อหาซึ่งฉันจะต้องทำตอนนี้

— Ross Snider

1

อัลกอริทึมนี้เป็นเนื้อหาการคำนวณของความเท่าเทียมกันของคณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์และคลาสสิกในข้อความที่มีอยู่ทั้งหมดหรือไม่?

— Neel Krishnaswami

1

@ Neel Kirshnaswami: มันยากที่จะพูดเพราะฉันไม่รู้ว่ามันมีความเท่าเทียมกัน! คุณสามารถให้พอยน์เตอร์?

— Joshua Grochow

1

แก้ไข:คำตอบด้านล่างนี้คือการจัดลำดับใหม่ของการแก้ปัญหาให้กับปัญหาการคำนวณที่ระบุไม่ใช่การมีอยู่ของอัลกอริทึม ตอนแรกฉันตีความคำถามผิด ๆ

ตอบ

มีคลาสความซับซ้อนที่รวบรวมปัญหาการคำนวณประเภทนี้ เป็นที่รู้จักกันTFNP มันถูกกำหนดไว้ในบทความนี้:

Nimrod Megiddo และ Christos Papadimitriou ในการทำงานรวมทฤษฎีการดำรงอยู่และความซับซ้อนในการคำนวณ วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี 81 (2): 317-324

ที่นี่คุณจะพบปัญหาเช่น Trichromatic Triangle ซึ่งรับประกันการมีอยู่ของโซลูชั่นโดย Sperner's Lemma (ดูกระดาษสำหรับคำจำกัดความของปัญหานี้)

คุณมีกระดาษต่อไปนี้:

Christos Papadimitriou กับความซับซ้อนของการโต้แย้งพาริตี้และอื่น ๆ ไม่มีประสิทธิภาพหลักฐานของการดำรงอยู่ วารสารวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์และระบบ 48 (3), 2533

ในบทความนี้คุณจะพบ:

มิติ Sperner แทรกซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของ Trichromatic สามเหลี่ยม $n$
ความสมดุลของเกมที่มีผู้เล่น 2 คน
ค้นหาเส้นทางแฮมิลตันที่สองบนกราฟ

กระดาษมีตัวอย่างมากมายของปัญหาประเภทนี้ ดังนั้นฉันขอแนะนำให้ดู

— Marcos Villagra
แหล่งที่มา

2

คำถามไม่ได้ถามเกี่ยวกับปัญหากับวิธีแก้ปัญหาที่มีอยู่สำหรับรุ่นการตัดสินใจของพวกเขา แต่เกี่ยวกับปัญหาที่มีการพิสูจน์ว่ามีอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพ สิ่งเหล่านี้แตกต่างกัน ฉันยอมรับว่าตั้งแต่แรกพบชื่อเรื่องอาจทำให้เข้าใจผิด อย่างไรก็ตามเฉพาะที่แรกเห็น

— Oleksandr Bondarenko

ใช่ฉันเห็นด้วยเช่นกัน แต่ฉันเข้าใจผิดโดยสิ้นเชิงกับคำถาม ในกรณีนี้คำตอบคือการทำให้เข้าใจผิด ฉันจะทำอย่างไร ฉันจะลบคำถามได้ไหม? หรือแก้ไขและใส่คำเตือนเกี่ยวกับสิ่งที่ตอบรับ?

— Marcos Villagra

ไม่มีนโยบายในการลบคำตอบคุณสามารถทำสิ่งที่คุณเห็นว่าเหมาะสม โดยส่วนตัวฉันคิดว่ามันเป็นเรื่องดีที่จะทิ้งคำตอบไว้ที่นี่ คุณสามารถใส่คำสั่งเกี่ยวกับคำถามที่คุณตอบว่าถูกต้อง

— Hsien-Chih Chang 張顯之