การนับจำนวนจุดยอดครอบคลุม: เมื่อใดยาก

14

พิจารณาปัญหา # P-สมบูรณ์ของการนับจำนวนของจุดสุดยอดปกกราฟที่กำหนด $G = (V, E)$ )

ฉันต้องการทราบว่ามีผลลัพธ์ใดที่แสดงว่าความแข็งของปัญหาดังกล่าวแตกต่างกันไปตามพารามิเตอร์ของ $G$ (เช่น $d = \frac{|E|}{|V|}$ )

ความรู้สึกของฉันคือปัญหาควรง่ายขึ้นเมื่อกระจัดกระจายและเมื่อหนาแน่นในขณะที่ควรหนักเมื่อ "อยู่ตรงกลาง" เป็นกรณีนี้จริงเหรอ? $G$ $G$ $G$

— Giorgio Camerani
แหล่งที่มา

คุณต้องการที่จะนับครอบคลุมจุดสุดยอดทั้งหมดหรือจุดสุดยอด cardinality ขั้นต่ำทั้งหมดหรือไม่ หมายเหตุปัญหาแรกอาจง่ายขึ้นในบางกรณีเนื่องจากไม่จำเป็นต้องช่วยคุณแก้ปัญหาที่เกิดขึ้น

— Ryan Williams

สวัสดีไรอันใช่ฉันต้องการนับยอดปกทั้งหมด ทำไมคุณพูดว่า"ไม่จำเป็นต้องช่วยคุณแก้ปัญหา NP-complete" ? ถ้าเป็น # P-complete ทำไมถึงไม่ช่วยฉันแก้ปัญหา NP-complete

— Giorgio Camerani

@Walter การนับการมอบหมายตัวแปรที่ตรงตามสูตร 2SAT ที่กำหนดคือ # P-complete แต่ 2SAT อยู่ใน P.

— Mohammad Al-Turkistany

@turkistany: ใช่ฉันรู้แล้วว่า ...

— Giorgio Camerani

@turkistany: ... แต่งั้นเหรอ? ไม่ว่าปัญหา NP-complete ของฉันคืออะไรฉันสามารถแปลงเป็น SAT จากนั้น SAT เป็น #SAT แล้ว #SAT เป็น # Monotone-2SAT (ซึ่งเหมือนกับการนับยอดปก) เหตุใดฉันจึงไม่สามารถแก้ปัญหา NP-complete ได้เนื่องจากความสามารถในการนับยอดครอบคลุม?

— Giorgio Camerani

15

ปัญหา #VC ในการคำนวณจำนวนจุดยอดครอบคลุมของกราฟที่กำหนดยังคงอยู่ # P-hard สำหรับกราฟ 3 แบบปกติ ดูตัวอย่าง [Greenhill, 2000]

แสดงให้เห็นว่าปัญหาที่เกิดขึ้นยังคง #VC # P-ยากสำหรับกราฟที่มีมากที่สุด $c\cdot n$ ขอบที่ $n$ คือจำนวนของจุดและ $0<c<3/2$ ลดจาก 3 กรณีปกติโดยการเพิ่มขนาดใหญ่เพียงพอ ชุดอิสระ (ขนาดเชิงเส้น) จำนวนจุดยอดฝาครอบยังคงเหมือนเดิมถ้าคุณเพิ่มชุดที่เป็นอิสระ

ในทำนองเดียวกันแสดงให้เห็นว่าปัญหาที่เกิดขึ้นยังคง #VC # P-ยากสำหรับกราฟที่มีอย่างน้อย $c\cdot n^2$ ขอบที่ $n$ คือจำนวนของจุดและ $0<c<1/2$ ลดจาก #VC โดยการเพิ่มขนาดใหญ่เพียงพอ องค์ประกอบกลุ่ม (ขนาดเชิงเส้น) จำนวนการครอบคลุมจุดสุดยอดจะถูกคูณด้วย $p+1$ ถ้าคุณเพิ่มกลุ่มขนาด $p$ ลงในกราฟ

แคทเธอรีเอส Greenhill: ความซับซ้อนของสีนับและชุดอิสระในกราฟเบาบางและ hypergraphs ความซับซ้อนในการคำนวณ 9 (1): 52-72 (2000)

— เสิร์จ Gaspers
แหล่งที่มา

ดังนั้นการหักคือ #VC สำหรับลูกบาศก์กราฟคือ # P-complete เพราะ #IS คือ # P-complete?

— delete000

9

ตามคำตอบของยาโรสลาฟ Luby และ Vigoda เป็นคนแรกที่แสดง FPRAS สำหรับ #IS ภายใต้สภาพความหนาแน่น (ระดับสูงสุด 4 ซึ่งฉันคิดว่าอ่อนแอกว่าผลของ Weitz) ในขณะที่ Dyer, Frieze และ Jerrum แสดงว่าไม่มี FPRAS สำหรับ #IS ถ้าระดับสูงสุดของกราฟคือ 25 ยกเว้น RP = NP

อ้างอิง:

Martin Dyer, Alan Frieze และ Mark Jerrum ในการนับชุดอิสระในกราฟหร็อมแหร็ม FOCS 1999

Michael Luby และ Eric Vigoda ประมาณสี่ขึ้นไป STOC 1997

ดูบันทึกการบรรยาย ETH ของ Jerrum เช่น "การนับการสุ่มตัวอย่างและการบูรณาการ: อัลกอริธึมและความซับซ้อน"

— RJK
แหล่งที่มา

4

BTW, Alan Sly พิสูจน์ความไม่ได้เวลาพหุนามสำหรับระดับสูงสุด = 6 - arxiv.org/abs/1005.5584

— Yaroslav Bulatov

1

@ ยาโรสลาฟ: ขอบคุณสำหรับการอ้างอิง ดูเหมือนว่าการอ่านที่ดี!

— RJK

9

ด้วยความเคารพต่อความซับซ้อนเวลาชี้แจงกรณีทั่วไปและกรณีที่มีระดับสูงสุดอย่างต่อเนื่องจะยากพอ ๆ กันการแทรก sparsification ของImpagliazzo, Paturi เชน (2002)แสดงให้เห็นว่ากรณี -variable ของ -Sat สามารถลดกรณีของ -Sat ที่มีมากที่สุดคำสั่งในเวลา )ตามที่สังเกตในการทำงานร่วมกันกับ Husfeldt และWahlén, lemma sparsification ทำงานได้กับ -Sat รุ่นนับเช่นกันโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับกรณีของการนับ $n$ $d$ $d$ $f(d,\epsilon)\cdot n$ $\exp(\epsilon n)$ $d$ $2$ -Sat (ซึ่งเทียบเท่ากับการนับชุดอิสระและการนับยอดปก)

ยิ่งไปกว่านั้นการนับชุดอิสระในกราฟ -vertex นั้นไม่สามารถทำได้ในเวลาเว้นแต่ว่าสมมติฐานเวลาแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลจะล้มเหลว นี่คือการสังเกตยังไม่ได้เผยแพร่ประกาศในการพูดคุยในช่วง Dagstuhl สัมมนาการนับการคำนวณ $n$ $\exp(o(n))$

— โฮล
แหล่งที่มา

เกี่ยวกับความคิดเห็นสุดท้ายของคุณ: ETH หมายความว่า SAT ไม่สามารถแก้ไขได้ในเวลาเอ็กซ์โปแนนเชียลซึ่งจากการลดมาตรฐานแสดงว่า SET อิสระไม่สามารถตัดสินใจได้ในเวลาเอ็กซ์โปแนนเชียล ทันทีที่ ETH หมายถึงการนับชุดอิสระไม่สามารถทำได้ในเวลาเอ็กซ์โปเนนเชียล

— András Salamon

1

\exp (o (n / \log^{3} n))

$\exp(o(n/\log^3 n))$

8

ชุดเป็นฝาครอบจุดสุดยอดถ้ามันเป็นชุดอิสระดังนั้นปัญหานี้เทียบเท่ากับการนับชุดอิสระ

การนับเชิงพีชคณิตของเซตอิสระคือ FPT สำหรับกราฟของความกว้างกลุ่มขอบเขต ยกตัวอย่างเช่นดู Courcelle ของ "หลายตัวแปรพหุนาม interlace พหุนามและการคำนวณสำหรับกราฟของความกว้าง clique-width" ซึ่งพวกเขาคำนวณลักษณะทั่วไปของพหุนามอิสระ การเพิ่มสัมประสิทธิ์ของพหุนามอิสระให้จำนวนชุดอิสระ

กราฟที่มีระดับสูงสุด 3 สามารถมีความกว้างกลุ่มได้ไม่ จำกัด

การนับจำนวนชุดอิสระนั้นสามารถแยกได้เมื่อปัญหาแสดงถึง "การสลายตัวของความสัมพันธ์" Dror Weitz ( STOC'06 ) ให้ FPTAS ที่กำหนดขึ้นสำหรับการนับชุดอิสระถ่วงน้ำหนักบนกราฟระดับสูงสุด $d$ เมื่อน้ำหนัก $\lambda$ คือ

λ < \frac{(Δ - 1)^{Δ - 1}}{(Δ - 2)^{Δ}}

$\lambda<\frac{(\Delta-1)^{\Delta-1}}{(\Delta-2)^\Delta}$

_{(ที่มา: yaroslavvb.com )}

ชุดการนับจำนวนอิสระ (ไม่ถ่วงน้ำหนัก) ที่สอดคล้องกันสอดคล้องกับ $\lambda=1$ ดังนั้นอัลกอริธึมของเขาจึงให้ FPTAS สำหรับจำนวนจุดยอดครอบคลุมกราฟของระดับสูงสุด 5

อัลกอริธึมของเขานั้นขึ้นอยู่กับการสร้างต้นไม้เดินหลีกเลี่ยงตนเองในแต่ละจุดสุดยอดและตัดทอนต้นไม้นี้ด้วยความลึก $d$ . การแตกแขนงของการเดินหลีกเลี่ยงตัวเองกำหนดช่วงของ $\lambda$ สำหรับความลึกขนาดเล็ก $d$ ให้การประมาณที่ดีและสูตรข้างต้นได้มาจากการใช้ระดับสูงสุดของกราฟไปจนถึงขอบเขตบนของปัจจัยการแยกนี้

— Yaroslav Bulatov
แหล่งที่มา

ปัญหาในการทำงานกับ IS แทน VC คือกราฟประกอบอาจสูญเสียคุณสมบัติที่ดีบางอย่างที่ต้องการ: ตัวอย่างเช่น "ขอบเขตที่ระดับสูงสุด k" กลายเป็น "มีระดับอย่างน้อย nk" ซึ่งตอนนี้ขึ้นอยู่กับขนาดของอินสแตนซ์ อาจเกี่ยวข้องหรือไม่เกี่ยวข้องก็ได้

— András Salamon

@ Andrásเป็นชุดจุดสุดยอดที่ซับซ้อนไม่ใช่ชุดขอบ

— Tyson Williams