มีการเชื่อมต่อใด ๆ ระหว่างบรรทัดฐานเพชรและระยะทางของรัฐที่เกี่ยวข้องหรือไม่?

ในทฤษฎีข้อมูลควอนตัมระยะห่างระหว่างสองช่องควอนตัมมักถูกวัดโดยใช้บรรทัดฐานเพชร นอกจากนี้ยังมีอีกหลายวิธีในการวัดระยะทางระหว่างสองสถานะควอนตัมเช่นระยะการติดตามความเที่ยงตรง ฯลฯJamiołkowski isomorphismเป็นคู่ระหว่างช่องควอนตัมและสถานะควอนตัม

นี่เป็นเรื่องที่น่าสนใจสำหรับฉันอย่างน้อยที่สุดเพราะบรรทัดฐานของเพชรนั้นยากที่จะคำนวณได้และJamiołkowski isomorphism ก็ดูเหมือนจะบ่งบอกความสัมพันธ์ระหว่างการวัดระยะห่างของช่องควอนตัมและสถานะควอนตัม ดังนั้นคำถามของฉันคือสิ่งนี้: มีความสัมพันธ์ที่รู้จักกันระหว่างระยะทางในบรรทัดฐานเพชรและระยะห่างระหว่างรัฐที่เกี่ยวข้อง (ในบางวัด)?

quantum-computing it.information-theory quantum-information

— Joe Fitzsimons
แหล่งที่มา

ฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งที่คุณหมายถึงโดย "บรรทัดฐานเพชรเป็นเรื่องยากที่จะคำนวณ" ถ้าคุณได้รับช่องควอนตัมเป็นเมทริกซ์ที่ชัดเจน เป็นโปรแกรม semidefinite ดูมาตรา 20.4 ของบันทึกการบรรยายโดยจอห์น Watrous ในความหมายนั้นบรรทัดฐานเพชรมีวิธีการคำนวณที่มีประสิทธิภาพ

— Tsuyoshi Ito

@ ซึโยชิ: ฉันแค่อ้างถึงการเพิ่มประสิทธิภาพโดยนัย ฉันไม่ได้หมายถึงการคำนวณอย่างหนัก แต่ค่อนข้างอึดอัดที่จะทำงานกับ

— Joe Fitzsimons

นี่เป็นบันทึกการบรรยายที่ดีมาก

— Suresh Venkat

@Suresh @Tsuyoshi: ใช่พวกเขาเป็นโน้ตที่ยอดเยี่ยม แต่ฉันไม่คิดว่าพวกเขาจะตอบคำถามนี้โดยเฉพาะ

— Joe Fitzsimons

@TsuyoshiIto: ด้วยเหตุผลบางอย่างส่วนสุดท้ายในสไลด์ QIP คือ 20.3 คุณมีการบรรยายที่สมบูรณ์มากกว่านี้ไหม?

— Artem Oboturov

คำตอบ:

สำหรับช่องควอนตัมให้เราเขียนเพื่อแสดงสถานะที่เกี่ยวข้อง: $\Phi$ $J(\Phi)$ ที่นี่เราจะสมมติว่าช่องทางที่แผนที่(เช่นเมทริกซ์ที่ซับซ้อน) เพื่อสำหรับสิ่งที่ทางเลือกของจำนวนเต็มบวกและคุณชอบ เมทริกซ์

J (Φ) = \frac{1}{n} \sum_{1 \leq i, j \leq n} Φ (| i ⟩ ⟨ j |) \otimes | i ⟩ ⟨ j | .

$J(\Phi) = \frac{1}{n} \sum_{1\leq i,j \leq n} \Phi(|i \rangle \langle j|) \otimes |i \rangle \langle j|.$

M_{n} (C)

$M_n(\mathbb{C})$

n \times n

$n\times n$

M_{m} (C)

$M_m(\mathbb{C})$

n

$n$

m

$m$

J (Φ)

$J(\Phi)$ บางครั้งเรียกว่า Choi matrix หรือ Choi-Jamiolkowski ที่เป็นตัวแทนของ

แต่บ่อยครั้งกว่าที่คำเหล่านั้นถูกใช้เมื่อ

Φ

$\Phi$

ปรับมาตรฐาน

\frac{1}{n}

$\frac{1}{n}$

ทีนี้สมมติว่าและเป็นช่องควอนตัม เราอาจกำหนด "เพชรระยะบรรทัดฐาน" ระหว่างพวกเขาเป็น $\Phi_0$ $\Phi_1$ ที่หมายถึงช่องตัวตนจากเพื่อตัวเองหมายถึงบรรทัดฐานการติดตามและ supremum นั้นถูกยึดครองทั้งหมดและเมทริกซ์ความหนาแน่นทั้งหมดเลือกจาก

‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} = sup_{ρ} ‖ (Φ_{0} \otimes {Id}_{k}) (ρ) - (Φ_{1} \otimes {Id}_{k}) (ρ) ‖_{1}

$\| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} = \sup_{\rho} \: \| (\Phi_0 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho) - (\Phi_1 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho) \|_1$

{Id}_{k}

$\operatorname{Id}_k$

M_{k} (C)

$M_k(\mathbb{C})$

‖ \cdot ‖_{1}

$\| \cdot \|_1$

k \geq 1

$k \geq 1$

ρ

$\rho$

ρ )

supremum เกิดขึ้นเสมอที่จะประสบความสำเร็จในการเลือกบาง

และบางส่วนอันดับ 1 ความหนาแน่นของเมทริกซ์

M_{n k} (C) = M_{n} (C) \otimes M_{k} (C)

$M_{nk}(\mathbb{C}) = M_n(\mathbb{C}) \otimes M_{k}(\mathbb{C})$

k \leq n

$k\leq n$

ρ

$\rho$

(โปรดทราบว่าคำจำกัดความด้านบนใช้ไม่ได้กับการจับคู่โดยพลการเฉพาะในรูปแบบสำหรับแผนที่เชิงบวกอย่างสมบูรณ์และ $\Phi = \Phi_0 - \Phi_1$ $\Phi_0$ $\Phi_1$ สำหรับแมปทั่วไป supremum จะนำไปฝึกอบรมทั้งหมดที่มีร่องรอยบรรทัดฐาน 1. ตรงข้ามกับเมทริกซ์ความหนาแน่น)

หากคุณไม่มีข้อสันนิษฐานเพิ่มเติมเกี่ยวกับช่องทางใด ๆ คุณไม่สามารถพูดมากเกินไปเกี่ยวกับว่าบรรทัดฐานเหล่านี้เกี่ยวข้องกับขอบเขตที่หยาบเหล่านี้ได้อย่างไร: สำหรับความไม่เท่าเทียมกันครั้งที่สองเราจะต้องเลือกตัวเลือกที่เฉพาะเจาะจงเป็นหลัก

\frac{1}{n} ‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} \leq ‖ J (Φ_{0}) - J (Φ_{1}) ‖_{1} \leq ‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} .

$\frac{1}{n} \| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} \leq \| J(\Phi_0) - J(\Phi_1) \|_1 \leq \| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond}.$

มากกว่าการ supremum มากกว่าทุกρ

ความไม่เท่าเทียมแรกคือการเสนอราคาที่รุนแรงขึ้น แต่มันจะเป็นคำถามที่ได้รับมอบหมายที่สมเหตุสมผลสำหรับหลักสูตรระดับบัณฑิตศึกษาเกี่ยวกับข้อมูลควอนตัม (ณ จุดนี้ฉันควรจะขอบคุณสำหรับคำถามของคุณเพราะฉันตั้งใจที่จะใช้คำถามนี้ในการเสนอฤดูใบไม้ร่วงของหลักสูตรทฤษฎีข้อมูลควอนตัมของฉัน)

ρ = \frac{1}{n} \sum_{1 \leq i, j \leq n} | i ⟩ ⟨ j | \otimes | i ⟩ ⟨ j |

$\rho = \frac{1}{n} \sum_{1\leq i,j \leq n} |i \rangle \langle j| \otimes |i \rangle \langle j|$

ρ

$\rho$

คุณสามารถบรรลุความไม่เท่าเทียมกันทั้งการเลือกที่เหมาะสมของช่องและแม้ภายใต้สมมติฐานเพิ่มเติมที่ช่องทางที่มีความแตกต่างได้อย่างสมบูรณ์แบบ (หมายถึง ) $\Phi_0$ $\Phi_1$ $\| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} = 2$

— John Watrous
แหล่งที่มา

ขอบคุณ John ที่ตอบคำถามของฉันได้อย่างสมบูรณ์แบบและช่วยให้ฉันประหยัดเวลาได้มาก

— Joe Fitzsimons

คุณอาจต้องการดูการวัดระยะทางเพื่อเปรียบเทียบกระบวนการควอนตัมจริงและอุดมคติ arXiv: quant-ph / 0408063ซึ่งให้ภาพรวมของการวัดระยะทางสำหรับช่องควอนตัมและความสัมพันธ์ของพวกเขา

พวกเขาใช้คำว่าระยะทาง Sสำหรับระยะทางเพชรและระยะทาง Jสำหรับระยะการติดตามของผู้ประกอบการJamiołkowskiที่เกี่ยวข้องกับช่องทาง

— Antonio Valerio Miceli-Barone
แหล่งที่มา

ฉันชอบนึกถึงความไม่เท่าเทียมแรกที่ Watrous เขียนในแง่ของการเคลื่อนย้ายช่องทางที่น่าจะเป็น หากคุณตีความบรรทัดฐานเพชรเป็นตัวชี้วัดของความน่าจะเป็นข้อผิดพลาดที่เล็กที่สุดในการแบ่งแยกช่องและและบรรทัดฐานร่องรอยเป็นเทียบเท่าสำหรับรัฐ Jamiolkowski ของพวกเขาคุณก็สามารถใช้กลยุทธ์ที่ดีที่สุดสำหรับช่องทางที่มาจากรัฐที่สอดคล้องกันของพวกเขาด้วย $\Phi_0$ $\Phi_1$ $\frac{1}n$ น่าจะประสบความสำเร็จ การวางสิ่งนี้อย่างจริงจังอาจเป็นวิธีการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน

นอกจากนี้วิธีคิดเช่นนี้แสดงให้เห็นว่าหากช่องทางสามารถเคลื่อนย้าย telepositically ได้อย่างแน่นอน (เช่นช่องทาง Pauli) จากนั้นบรรทัดฐานเพชรของพวกเขาจะเท่ากับระยะการติดตามของ Jamiolkowski

— อเล็กซ์ Monras
แหล่งที่มา