ความแข็งของปัญหา FPT

ปก Vertex สามารถลดได้อย่างง่ายดายเป็นชุดอิสระและในทางกลับกัน

อย่างไรก็ตามในบริบทของความซับซ้อนที่กำหนดพารามิเตอร์ชุดอิสระนั้นยากกว่า Vertex Cover เคอร์เนลกับจุดที่มีอยู่สำหรับ Vertex ปก แต่ชุดอิสระW 1ยาก$2k$

ลักษณะของชุดอิสระมีการเปลี่ยนแปลงในบริบทของ FPT อย่างไรและเพราะเหตุใด

แนวคิดหลักของคำตอบ: ถ้าเราลดอินสแตนซ์ของการตั้งค่าแบบอิสระให้เป็นพารามิเตอร์ Vertex Cover แล้วพารามิเตอร์ที่เราลงท้ายด้วยขึ้นอยู่กับขนาดของกราฟและไม่เพียง แต่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์อินพุต ตอนนี้สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม

อย่างที่คุณทราบปัญหาของตัวแปรที่คือใน FPT (สม่ำเสมอ) หากมีอัลกอริทึมที่ตัดสินว่าอินพุตมีอยู่ในในเวลาสำหรับ ฟังก์ชั่นบางฉ( x , k ) Q f ( k ) | x | O ( 1 )$Q$$(x,k)$$Q$$f(k) |x|^{O(1)}$$f$

เนื่องจากคุณสามารถตัดสินใจได้ว่ากราฟมีขนาดจุดยอดปกโดยการเลือกขอบและแยกจุดปลายทั้งสองของมันที่จะใส่ลงในฝาครอบจุดสุดยอดการแยกนี้จะไปเพียงลึก (อื่นคุณใส่มากกว่าจุดยอดในหน้าปก) และสามารถวิ่งได้อย่างง่ายดายในเวลา ; จึง -Vertex ปกคลุมอยู่ในเอฟพีทีk k k O ( 2 k n 2 ) $G$$k$$k$$k$$O(2^k n^2)$$k$

ทีนี้สมมติว่าเราต้องการลองใช้อัลกอริทึมนี้เพื่อแสดงให้เห็นว่าชุดอิสระแบบมีพารามิเตอร์อยู่ใน FPT สมมติว่าเราได้กราฟที่ยอดและต้องการตัดสินใจว่ามันมีขนาดของชุดเป็นอิสระหรือไม่ นี่เทียบเท่ากับการถามว่ามีจุดยอดปกขนาดหรือไม่ ดังนั้นเราจึงใช้วิธีดังกล่าวข้างต้นของเราในการคำนวณคำตอบในเวลา สำหรับอัลกอริธึม FPT ของเราฟังก์ชันเลขชี้กำลังในเวลาทำงานอาจขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ซึ่งคือแต่อาจไม่ขึ้นอยู่กับขนาดของอินพุตซึ่งก็คือ ; แต่วิธีที่เราร่างใช้การอธิบายเวลาในn ℓ G n - ℓ O ( 2 n - ℓ n 2 ) ℓ n n - $G$$n$$\ell$$G$$n - \ell$$O(2^{n - \ell} n^2)$$\ell$$n$$n - \ell$และดังนั้นจึงไม่ได้เป็นพารามิเตอร์เอฟพีทีด้วยความเคารพพารามิเตอร์ℓนี่คือเหตุผลที่ความจริงที่ว่า Vertex Cover อยู่ใน FPT ไม่ได้หมายความว่าชุดอิสระอยู่ใน FPT$\ell$

ฉันจะไม่พูดว่า 'ธรรมชาติ' ของปัญหามีการเปลี่ยนแปลงอะไรก็ตามที่ควรจะหมายถึง การเปลี่ยนแปลงทั้งหมดนั้นคือพารามิเตอร์นั่นคือวิธีที่คุณวัดความยากของปัญหา

กราฟที่มีจุดสุดยอดที่มีขนาดสูงสุดมีโครงสร้างดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะลดขนาดได้อย่างมีประสิทธิภาพ: เราสามารถหาขนาดที่ตรงกันสูงสุดได้อย่างมากที่kและกราฟที่เหลือเป็นชุดขนาดอิสระอย่างน้อยที่สุดn - 2 k ใช้การลดกฎระเบียบเช่นการลดมงกุฎจำนวนจุดสามารถลดลงได้อย่างมากที่สุด2 k$k$$k$$n-2k$$2k$

ในทางกลับกันกราฟที่มีขนาดจุดสุดยอดที่มากที่สุด (หรือเทียบเท่าที่ปรึกษาอิสระสูงสุดมีขนาดอย่างน้อยk ) ดูเหมือนจะไม่มีโครงสร้างอย่างง่าย สิ่งนี้สามารถทำให้แม่นยำได้เมื่อคุณชี้ให้เห็น: โครงสร้างของมันช่วยให้เราเข้ารหัสW [ 1 ] -ปัญหาได้$n-k$$k$$W[1]$

ต่อไปนี้อาจให้สัญชาตญาณความแตกต่าง เซตย่อยของจุดยอด S คือหน้าปกของ G = (V, E) ถ้าหาก VS เป็นชุดที่เป็นอิสระดังนั้นหาก MVC เป็นขนาดของฝาครอบจุดยอดขั้นต่ำ MIS = | V | -MVC คือขนาดของ ชุดอิสระสูงสุด อัลกอริธึม FPT ที่ทำพารามิเตอร์โดย X ช่วยให้รันไทม์แบบเอ็กซ์โปเนนเชียลเป็นฟังก์ชันของ X กราฟแบบสุ่มบนจุดยอดที่มีความน่าจะเป็นครึ่งหนึ่งมีค่าความน่าเป็น MIS สูงขนาดประมาณ 2logn และ MVC ดังนั้นอย่างน้อยสำหรับกราฟเหล่านี้อัลกอริทึม FPT ที่กำหนดพารามิเตอร์โดย MVC จะช่วยให้มีเวลามากกว่าหนึ่งพารามิเตอร์ที่จัดทำโดย MIS

แม้ว่าฉันจะเห็นด้วยกับสิ่งที่คนอื่นพูด แต่ฉันก็พบว่ามีประโยชน์เมื่อคิดเกี่ยวกับสิ่งเหล่านี้คือการสร้างปัญหาใหม่ให้เป็นปัญหาการรับรู้กล่าวคือ "กราฟอินพุตอยู่ในครอบครัวของกราฟที่มีจุดสุดยอดมากที่สุดหรือไม่?" / "กราฟอินพุตอยู่ในตระกูลของกราฟที่ตั้งค่าอย่างน้อย k อย่างอิสระหรือไม่"

$O(k^2+2^k\log n)$$O(n^2)$$k^2$

ดังนั้นสำหรับฉันนี่คือคำอธิบายที่เข้าใจง่ายอย่างหนึ่งว่าทำไมฉันจึงคาดหวังว่ามันจะง่ายต่อการรับรู้จุดสุดยอดขนาดเล็กกว่าชุดอิสระขนาดเล็ก แน่นอนว่ามันควรจะเห็นได้ชัดว่าความคิดข้างต้นอยู่ใกล้กับการโต้เถียงอย่างเป็นทางการและฉันเดาว่าในตอนท้ายของวันหลักฐานที่น่าเชื่อที่สุดว่าจริง ๆ แล้วมันยากที่จะจำได้ว่าชุดอิสระขนาด k เป็นความแข็ง W อิสระ ตั้ง!

นี่เป็นคำตอบที่ตรงไปตรงมาและอาจไม่ได้ตอบคำถามของคุณ แต่ FPT และลำดับชั้น W มีการเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับการประมาณ (ปัญหา FPT มักจะมี PTAS ฯลฯ ) ในบริบทนั้นโปรดทราบว่าสำหรับกราฟใด ๆ VC = n - MIS และการประมาณสำหรับ VC ไม่ได้ให้การประมาณสำหรับ MIS นี่คือสาเหตุที่คุณต้องมีการลด L เพื่อการประมาณ ฉันสงสัยว่ามีแนวคิด "การลดการสงวนเคอร์เนล" ที่เทียบเท่าสำหรับความซับซ้อนที่กำหนดพารามิเตอร์เช่นกัน