ช่องว่างความสมบูรณ์และอัตราส่วนการประมาณ

เมื่อเราพิจารณาอัลกอริทึมการประมาณสำหรับปัญหาการย่อขนาดการรวมช่องว่างของการกำหนด IP สำหรับปัญหานี้จะให้อัตราส่วนการประมาณที่ต่ำกว่าสำหรับคลาสอัลกอริทึมบางอย่าง (เช่นการปัดเศษหรืออัลกอริธึมแบบสองเท่า) ในความเป็นจริงมีปัญหามากมายที่อัตราส่วนการประมาณที่ดีที่สุดตรงกับช่องว่างการรวม

อัลกอริทึมบางตัวอาจมีอัตราส่วนการประมาณที่ดีกว่าช่องว่างด้านการรวมสำหรับปัญหาบางอย่าง แต่ฉันไม่รู้ว่ามีตัวอย่างดังกล่าวอยู่หรือไม่ ถ้าคำตอบคือใช่คุณช่วยยกตัวอย่างได้ไหม

ฉันรู้ว่าปัญหาบางอย่างยอมรับสูตรทางคณิตศาสตร์หลายอย่าง ในกรณีเช่นนี้ให้พิจารณาสูตรทางคณิตศาสตร์ที่มีช่องว่างการรวมตัวน้อยที่สุดตราบใดที่มันสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม (บางทีสูตรบางสูตรอาจใช้ oracle แยก)

คำถามนี้เป็นคำถามที่เกี่ยวข้องกับ[คำถาม: ความสำคัญของการ integrality Gap]

— Snowie
แหล่งที่มา

ฉันเดาว่าเรขาคณิต TSP จะเป็นตัวอย่างของปัญหาดังกล่าว แต่ฉันไม่มีการอ้างอิงใด ๆ

— Jukka Suomela

และปัญหาที่ยอมรับ PTAS โดยใช้กลยุทธ์การย้ายคืออะไร มีผู้ใดบ้างที่มีสูตร IP ที่มีช่องว่างการบูรณาการขนาดเล็กตามอำเภอใจ?

— Jukka Suomela

@Jukka geometric TSP เป็นตัวอย่างที่ดี ตัวอย่างช่องว่าง 4/3 integrality เป็นที่สั้นที่สุดเส้นทางเมตริกในกราฟระนาบและมันควรจะเป็นไปได้ที่จะกลายเป็นตัวอย่างของยุคลิด TSP หรือ

ช้อนชาในเครื่องบินด้วย

ช่องว่าง

ℓ_{1}

$\ell_1$

1 + ϵ

$1+\epsilon$

— Luca Trevisan

ฉันได้ยินมาว่ามันเป็นคำถามเปิดที่น่าสนใจว่า PTASs สำหรับปัญหาเกี่ยวกับกราฟระนาบสามารถรับรู้ได้โดยใช้จำนวนคงที่ของ Sherali-Adams หรือการผ่อนคลาย Lasserre (ที่ค่าคงที่ขึ้นอยู่กับการปันส่วนโดยประมาณที่เราต้องการให้บรรลุ) ควรรู้หรืออย่างน้อยก็พิสูจน์ได้ด้วยเทคนิคปัจจุบันว่าปัญหากราฟที่มี PTAS ในกราฟหนาแน่น (เช่นตัดสูงสุด) ก็มีตระกูลพหุนาม การผ่อนคลายขนาดที่มีช่องว่างเล็ก ๆ บูรณาการโดยพลการ

— Luca Trevisan

คำถามที่เกี่ยวข้อง: มีปัญหาใด ๆ ที่พิสูจน์ได้ว่า LP ขนาดพหุนามใด ๆ ไม่สามารถให้อัตราส่วนการประมาณที่รู้จักกันดีในปัจจุบันได้หรือไม่? เป็นไปได้หรือไม่ที่จะพิสูจน์สิ่งเหล่านี้แม้จะมี LP บางประเภทที่ถูก จำกัด

— Danu

คำตอบ:

ตามที่ระบุไว้มีตัวอย่างค่อนข้างน้อย

ตัวอย่างคลาสสิกคือการจับคู่สูงสุดที่การผ่อนคลาย "ธรรมชาติ" (ไม่มีข้อ จำกัด ที่แปลก) มีช่องว่าง 2 ในขณะที่แน่นอนว่าอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพ อันนี้ยังไม่ผ่านการรับรองอย่างเต็มที่เนื่องจากมี LP ขนาดเอ็กซ์โพเนนเชียลซึ่งสามารถแก้ไขได้ผ่านรูปไข่

สถานที่ที่น่าสนใจคือสถานที่ตั้งของสิ่งอำนวยความสะดวก ที่นี่การพักผ่อนตามธรรมชาติมีช่องว่างการผสานรวมที่ไร้ขีด จำกัด อัลกอริธึมการค้นหาในท้องถิ่นให้การประมาณค่าปัจจัยคงที่

อีกคนหนึ่งที่น่าสนใจมาก (แม้ว่ามันจะเป็นปัญหาสูงสุดก) บทความนี้: http://www.cis.upenn.edu/~sanjeev/postscript/FOCS09_MaxMin.pdf ที่นี่ LP มีช่องว่างขนาดใหญ่และอัลกอริทึมที่ใช้ LP นั้นสามารถทำได้ดีกว่า

— Kunal
แหล่งที่มา

ขอบคุณมาก. คำตอบนี้มีสิ่งที่ฉันกำลังมองหาโดยเฉพาะกระดาษ FOCS ที่เขียนโดย Chakrabarty และคณะ (บทความนี้สนใจฉันมาก) ดังนั้นฉันจึงตั้งคำตอบนี้เป็นที่ยอมรับ ฉันยังคงมองหาตัวอย่างเพิ่มเติมและใครก็ตามที่สามารถยกตัวอย่างอื่น ๆ จะได้รับการชื่นชมอย่างมาก

— Snowie

มีตัวอย่างหลายอย่างที่ semidefinite การเขียนโปรแกรมช่วยให้การประมาณที่เหนือกว่าช่องว่าง integrally รู้จักสำหรับการพักผ่อนการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

ตัวอย่างเช่นการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นมาตรฐานของ max cut มีการบูรณาการช่องว่างที่ 1/2 และนี่เป็นความจริงแม้กระทั่งสำหรับการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น (cf de la Vega-Kenyon และ Schoenebeck-Trevisan-Tulsiani) แต่ Goemans -Williamson SDP อัลกอริทึมมีประมาณ. 878 ...

$\Omega(\log n)$ $O(\sqrt{\log n})$

บางทีอาจเป็นที่รู้จักกันดี Karloff และ Zwick แสดงให้เห็นว่าการใช้ SDP สามารถประมาณ 3SAT สูงสุดในรุ่นที่อนุประโยคมี 1, 2 หรือ 3 ตัวอักษรภายใน 7/8 ในขณะที่ Goemans และ Williamson ได้ศึกษาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นที่พวกเขา ใช้เพื่อพิสูจน์ 3/4 ประมาณ (Yannakakis ได้ประมาณ 3/4 ก่อนหน้านี้โดยวิธีการอื่น ๆ ) และการผ่อนคลายของ Goemans-Williamson LP ของ Max 3SAT นั้นง่ายต่อการมองเห็นว่ามีช่องว่าง integrality 3/4

— Luca Trevisan
แหล่งที่มา

นอกจากนี้ยังมีผลลัพธ์โดย Grant ในการแก้ไขระบบเชิงเส้นบน GF_2 สำหรับระบบสมการที่มีทางออกที่ดีคุณจะมีช่องว่างในการรวม SDP (ในรูปแบบที่แข็งแกร่งมาก) เป็น 2 ในขณะที่คุณสามารถใช้การกำจัดแบบเกาส์เพื่อแก้ปัญหาได้อย่างแน่นอน

— ยี่หวู่
แหล่งที่มา