อัลกอริทึมโฮโลแกรม - ความเท่าเทียมของฐาน

ผมจะผ่าน Les องอาจของกระดาษน้ำเชื้อและผมก็มีช่วงเวลาที่ยากกับโจทย์ 4.3 ในหน้า 10 ของกระดาษ

ฉันไม่เห็นสาเหตุว่าทำไมในกรณีที่มีตัวกำเนิดที่มีค่าบางอย่างสำหรับมีพื้นฐานมีตัวกำเนิดบางตัวที่มีค่าเดียวกันสำหรับใด ๆ พื้นฐาน ( ) หรือ ( ) สำหรับการใด ๆF $valG$ $\{(a_1,b_1) \ldots (a_r,b_r)\}$ $valG$ $\{(xa_1,yb_1) \ldots (xa_r,yb_r)\}$ $1^{st} kind$ $\{(xb_1,ya_1) \ldots (xb_r,ya_r) \}$ $2^{nd} kind$ $x,y \in F$

จุดองอาจเหตุผลในวรรคก่อนหน้า - คือชนิดของการเปลี่ยนแปลงสามารถทำได้โดยการผนวกกับทุก input หรือ output โหนดขอบของน้ำหนัก1การแปลงชนิด Valiant กล่าวสามารถทำได้โดยต่อท้ายอินพุตหรือเอาท์พุตเชนโหนดที่มีความยาวถ่วงน้ำหนักโดยและตามลำดับ $1^{st}$ $1$ $2^{nd}$ $2$ $x$ $y$

ฉันไม่เข้าใจคำแถลงเหล่านี้จริงๆ บางทีพวกเขาจะมีความชัดเจนอยู่แล้ว แต่ถึงกระนั้นฉันก็ไม่สามารถมองเห็นได้ว่าทำไมการสร้างด้านบนช่วยให้ได้ค่าคาดว่าจะด้วยพื้นฐานเดียวกับพื้นฐานใหม่ซึ่งเป็นหนึ่งในประเภทข้างต้น $valG$

โปรดช่วยส่องสว่างพวกเขาให้ฉัน ในโน้ตอื่นมีการสำรวจฟรีแบบเทนเซอร์สำหรับอัลกอริทึมโฮโลแกรมที่มีให้ทางออนไลน์หรือไม่ ส่วนใหญ่ใช้เมตริกซ์ซึ่งทำให้ฉันตกใจ :-(

ดีที่สุด -Akash

ds.algorithms counting-complexity survey

— Akash Kumar
แหล่งที่มา

เทนเซอร์ (ในแง่นี้) เป็นเพียงอาร์เรย์ของตัวเลขดังนั้นฉันไม่คิดว่าคุณจะพบกับแบบสำรวจฟรีเทนเซอร์เว้นแต่ว่าพวกเขาจะไม่มีการคำนวณทั้งหมด

การดำเนินการ " " ทำให้ทั้งการดำเนินการของการเปลี่ยนแปลงพื้นฐานและการแนบแกดเจ็ตกับแต่ละโหนดเอาต์พุต (ในความเป็นจริงฉันชอบคิดว่าการเปลี่ยนแปลงของพื้นฐานเป็นการดำเนินการของอุปกรณ์ชนิดหนึ่ง) Letเป็น matchgate เครื่องกำเนิดไฟฟ้าที่มีลายเซ็นมาตรฐานGamma) นี่คืออาร์เรย์ของตัวเลขลายเซ็นในพื้นฐานใหม่ให้โดย $T^{\otimes k}$ $\Gamma$ $M_{i_1i_2\cdots i_k}=u(\Gamma)$ $2^k$

$(T^{\otimes k}M)_{i_1i_2\cdots i_k}:=\sum_{i_1',\cdots,i_k'} T_{i_1i_1'} \cdots T_{i_ki_k'} M_{i_1'i_2'\cdots i_k'}$

โดยที่คือเมทริกซ์แบบสองคูณสองโดยพื้นฐานใหม่ $T$

Letจะ matchgate ที่เกิดขึ้นโดยการเพิ่มจุดใหม่เพื่อการเหล่านี้จะเป็นผลใหม่และเชื่อมต่อไปยังผลที่เก่าริมน้ำหนักxแล้วลายเซ็นใหม่คือที่เป็นเมทริกซ์{pmatrix} จากนั้นถ้าคุณดำเนินการเปลี่ยนแปลงพื้นฐานคุณจะได้รับลายเซ็น M $\Gamma'$ $k$ $\Gamma$ $x$ $C^{\otimes k}M$ $C_{ij}$ $\begin{pmatrix}0&x\\1&0\end{pmatrix}$ $TC^{-1}$ $T^{\otimes k}M$

— Colin McQuillan
แหล่งที่มา

ขอโทษที่ตอบช้าฉันถูกครอบครองในวันนี้ ฉันกลัวเนื่องจากความเข้าใจ จำกัด ของเทนเซอร์ฉันยังไม่เข้าใจคุณ ฉันเคยคิดว่าลายเซ็นของ matchgate เครื่องกำเนิดไฟฟ้าในพื้นฐานใหม่มาจากลายเซ็นในแบบเก่าโดยวิธีแก้ปัญหาถึงGamma) ฉันคิดว่า Valiant พูดถึงในเขาว่าเขาเพียงต้องการแสดงเวกเตอร์ perfMatch เป็นผลรวมของสัมประสิทธิ์ wrt ไปยังพื้นฐานใหม่ ฉันไม่สามารถแน่ใจได้ว่าสำหรับพื้นหลังที่ขาดเทนเซอร์

S

$S$

u (Γ)

$u(\Gamma)$

S = S_{0}

$S = S_0$

T^{\otimes k} \times S = u (Γ)

$T^{\otimes k} \times S = u(\Gamma)$

v a l G (Γ, x)

$valG(\Gamma, x)$

— Akash Kumar

[Contd] นอกจากนี้ผมไม่สามารถที่จะทำตามตัวอย่างของคุณด้วย M คุณช่วยอธิบายเพิ่มเติมอีกหน่อยได้ไหม? ขอบคุณ - Akash

C^{\otimes k} M

$C^{\otimes k}M$

— Akash Kumar

ฉันมีความสุขที่จะพยายามทำอย่างละเอียด แต่ฉันอาจจะเพิ่มสัญกรณ์สับสน คุณสามารถตอบคำถามนี้ก่อน: ถ้าคุณเพิ่มขอบที่แต่ละโหนดผลลัพธ์คุณคิดว่าสิ่งนี้มีผลกระทบกับลายเซ็นหรือไม่ นอกจากนี้สามารถแสดงเป็น - ฉันจำไม่ได้ว่าค่าสัมประสิทธิ์ที่แท้จริงของควรเป็นอะไรในแง่ของ Valiant ของP_1

S_{0}

$S_0$

(T^{- 1})^{\otimes k} S

$(T^{-1})^{\otimes k} S$

T

$T$

n_{0}, n_{1}, p_{0}, p_{1}

$n_0,n_1,p_0,p_1$

— Colin McQuillan

ฉันจะพยายามแสดงความสับสนด้วยตัวอย่าง พิจารณาตัวสร้างซึ่งเป็นพา ธ ของความยาว 3 โดยที่ทั้ง 3 โหนดเป็นโหนด o / p ลายเซ็นมาตรฐานของเครื่องกำเนิดไฟฟ้านี้เป็น(0,1,1,0,1,0,0,1)และลายเซ็นของแกดเจ็ตที่มีการแก้ไขมี 3 โหนดใหม่ในแต่ละเชื่อมต่อกับโหนหนึ่ง o / p ในพื้นฐานมาตรฐานคือ1,1,1,0) คุณช่วยกรุณาทำต่อในตัวอย่างนี้ได้ไหม? ผมอยากจะเห็นวิธีการที่ไม่ดำเนินการกับGamma) ขอบคุณสำหรับความอดทนของคุณ

(0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1)

$(0,1,1,0,1,0,0,1)$

x (1, 1, 1, 1 1, 1, 1, 0)

$x(1,1,1,1\ 1,1,1,0)$

C^{\otimes 3} w h e r e

$C^{\otimes 3} where$

C = (0, 1)^{t} (x = 1, 0)^{t}

$C = (0,\ 1)^t (x=1,\ 0)^t$

u (Γ)

$u(\Gamma)$

— Akash Kumar

ให้เป็นเส้นทางการสั่งซื้อ 3. เรียกจุดยอด x, y, z โดยที่ y คือจุดยอดกึ่งกลาง มีการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบ iff Z คือ {x}, {z} หรือ {x, y, z} ดังนั้น(P_3) มีขอบแนบลายเซ็น(1,0,0,1,0,0,1,0)ลองคำนวณเช่นโดยใช้สูตรด้านบน

P_{3}

$P_3$

P_{3} ∖ Z

$P_3 \setminus Z$

u (P_{3}) = (0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1)

$u(P_3)=(0,1,0,0,1,0,0,1)$

(1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0)

$(1,0,0,1,0,0,1,0)$

(C^{\otimes 3} u (P_{3}))_{1, 2, 2} = 1

$(C^{\otimes 3} u(P_3))_{1,2,2}=1$

— โคลิน McQuillan