ขอบเขตรันไทม์ใน P สามารถตัดสินใจได้หรือไม่? (คำตอบ: ไม่)

คำถามที่ถามคือคำถามต่อไปนี้สามารถตัดสินใจได้หรือไม่:

ปัญหา   ป.ร. ให้ไว้เป็นจำนวนเต็ม$k$และเครื่องทัวริง$M$สัญญาว่าจะอยู่ใน P เป็นรันไทม์ของ$M$ ${O}(n^k)$ที่เกี่ยวกับระยะเวลาในการป้อนข้อมูล$n$ ?

คำตอบที่แคบของ "ใช่", "ไม่" หรือ "เปิด" เป็นที่ยอมรับ (มีการอ้างอิงภาพร่างหลักฐานหรือการทบทวนความรู้ที่มีอยู่ในปัจจุบัน) แต่คำตอบที่กว้างกว่าก็ยินดีต้อนรับเช่นกัน

ตอบ

Emanuele Viola ได้โพสต์หลักฐาน ว่าคำถามนั้นไม่สามารถตัดสินใจได้ (ดูด้านล่าง)

พื้นหลัง

สำหรับฉันคำถามนี้เกิดขึ้นตามธรรมชาติในการแยกวิเคราะห์คำตอบของคำถามของ Luca Tevisan คำถามruntimes สำหรับ P ต้องการทรัพยากร EXP ในขอบเขตบนหรือไม่ …รู้จักตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมหรือไม่

คำถามยังเกี่ยวข้องกับคำถาม MathOverflow: อะไรคือปัญหาทัวริลที่น่าสนใจที่สุดในคณิตศาสตร์? ในรูปแบบที่คำว่า "คณิตศาสตร์" ถูกเปลี่ยนเป็น "วิศวกรรม" ในการรับรู้ว่าการประเมินแบบรันไทม์เป็นปัญหาทางวิศวกรรมที่แพร่หลายที่เกี่ยวข้องกับ (ตัวอย่าง) ทฤษฎีการควบคุมและการออกแบบวงจร

ดังนั้นวัตถุประสงค์ที่กว้างในการถามคำถามนี้คือการได้รับการชื่นชมที่ดีขึ้น / สัญชาตญาณเกี่ยวกับการใช้งานจริงของการประเมินรันไทม์ในคลาสความซับซ้อน P เป็นไปได้ (นั่นคือต้องใช้ทรัพยากรการคำนวณใน P เพื่อประเมิน) เทียบกับ ต้องใช้ทรัพยากรการคำนวณใน EXP เพื่อประมาณค่า) และไม่สามารถตัดสินใจได้อย่างเป็นทางการ

--- แก้ไข (โพสต์คำตอบ) ---

ฉันได้เพิ่มทฤษฏีของ Violaให้กับวิกิชุมชน MathOverflow "ปัญหาที่น่าสนใจ มันเป็นผลงานชิ้นแรกของวิกิที่เกี่ยวข้องกับความซับซ้อนระดับ P; สิ่งนี้พิสูจน์ให้เห็นถึงความแปลกใหม่ธรรมชาติและขอบเขตของทฤษฎีบทของไวโอล่า (และ IMHO ที่มีความสวยงามด้วย)

--- แก้ไข (โพสต์คำตอบ) ---

เอกสารทางกฎหมายของ Juris Hartmanis ความเป็นไปได้และคุณสมบัติความซับซ้อนที่พิสูจน์ได้ (1978) ครอบคลุมเนื้อหาส่วนใหญ่เหมือนกับหลักฐานของ Emanuele Viola

$(M,x)$$M'$$n$$M$$x$$n$$M$$n^2$$n^3$

$M$$x$$t=O(1)$$M'$$O(n^2)$$M$$M'$$n^3$

$M$$x$$M'$$O(n^2)$$O(n^3)$

นี่คือการปรับปรุงคำตอบของ Emanuele Viola โดยมีเป้าหมายเพื่อให้เข้าใจได้ง่ายขึ้น

$P$$H$

$(M, x)$$M(x)\downarrow$$M$$x$$M^*$

M*(y) = {
  n := |y|
  Simulate M(x) for n steps
  if ( M(x) has halted )
    Execute n*n arbitrary steps
  else
    Execute n*n*n arbitrary steps
}

ตอนนี้เราสังเกตผลกระทบต่อไปนี้:

$\begin{align*} M(x) \downarrow \quad &\Rightarrow \exists n_0 \in \mathbb{N} : M \text{ halts on } x \text{ after at most } n_0 \text{ steps} \\ &\Rightarrow \forall y : n \geq n_0 \Rightarrow M^*(y) \text{ executes } n^2 \text{ arbitrary steps} \\ &\Rightarrow T_{M^*}(n) \in \mathcal{O}(n^2) \end{align*}$

และ

$\begin{align*} M(x) \uparrow \quad &\Rightarrow \forall n \in \mathbb{N} : M \text{ does not halt on } x \text{ in less than } n \text{ steps} \\ &\Rightarrow \forall y : M^*(y) \text{ executes } n^3 \text{ arbitrary steps} \\ &\Rightarrow T_{M^*}(n) \in \Omega(n^3) \end{align*}$

$H(M,x) \Leftrightarrow P(M^*,2)$$P$$H$$\square$

$n \mapsto C \cdot n + D$$C, D \in \mathbb{N}$

$Cn+D$

ปัญหาได้รับการแก้ไขในบทความของฉัน " เนื้อหาในมิติของทฤษฎีบทข้าว " POPL'2008 ที่ฉันพิสูจน์ว่าไม่มี "กลุ่มความซับซ้อน" ที่ถอดรหัสได้ Clique ซับซ้อนคือคลาสของโปรแกรมที่ปิดโปรแกรม wrt ที่มีพฤติกรรมและความซับซ้อนคล้ายกัน ฉันยังให้เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับคุณสมบัติแบบกึ่งตัดสินใจได้

โปรแกรมที่ทำงานใน O (n ^ k) เป็นกลุ่มที่ซับซ้อนตามความหมายข้างต้นดังนั้นเซตนี้จึงไม่สามารถตัดสินใจได้

ผลลัพธ์ได้ถูกขยายไปยังการตั้งค่า subrecursive เมื่อเร็ว ๆ นี้ (เช่น P) โดย Mathieu Hoyrup: คุณสมบัติ decidable ของฟังก์ชัน subrecursive (ICALP 2016)

เพื่อเพิ่มคำตอบก่อนหน้าปัญหานี้ไม่เพียง แต่ไม่สามารถตัดสินใจได้ แต่เสร็จสมบูรณ์ดังนั้นจึงไม่สามารถตัดสินใจได้แม้ว่า decider จะมี oracle สำหรับปัญหาการหยุดชะงัก $Σ^0_2$

เพื่อชี้แจงความครบถ้วนสมบูรณ์ในขณะที่เงื่อนไขสัญญา P-time นั้นยังสมบูรณ์ - มีชุดของรหัสซึ่งเครื่องทั้งหมดในเป็นเวลาพหุนามและคำถามคือที่สมบูรณ์แบบบนS$Σ^0_2$$S$$S$$O(n^2)$$Σ^0_2$$S$

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้เลือกสมบูรณ์ ,พร้อมพหุนามคำนวณเวลา (สำหรับเลขฐานสอง)$Σ^0_2$$φ$$φ(x) ⇔ ∃k ∀m \, ψ(x,k,m)$$ψ$

จากนั้นจะถือ iff เครื่องต่อไปนี้คือโดยที่คือความยาวอินพุต (เครื่องจะคำนึงถึงความยาวอินพุตเท่านั้น):$φ(x)$$O(n^2)$$n$

สำหรับใน 0 ถึง :     ถ้า : # ทดสอบโดยใช้ loop         halt     รอขั้นตอน หยุด$k$$n$
$∀m<n \, ψ(x,k,m)$

$n^2$

โปรดทราบว่าสำหรับทุกที่ไม่มากเกินไปขนาดเล็กไม่ว่าจะเป็นโปรแกรมที่มักจะหยุดใน (ตัวอย่าง)ขั้นตอนคือสมบูรณ์ แต่ถามเกี่ยวกับขอบเขตในลักษณะที่มีประสิทธิภาพจะช่วยให้ -completeness≤ n 2 + c Π 0 1 Σ 0 $c$$≤n^2+c$$Π^0_1$$Σ^0_2$

นี่คือการวิเคราะห์ / มุม / ผลลัพธ์ใหม่ ๆ ที่เป็นระบบมากกว่าเมื่อเร็ว ๆ นี้สำหรับคำถาม & ที่เกี่ยวข้องแนะนำแนวคิดของ "การตรวจสอบได้แบบอัลกอริทึม" และอะนาล็อกคล้ายข้าว -thm สำหรับทฤษฎีความซับซ้อน ส่วนที่เกี่ยวข้องจากบทคัดย่อมีดังนี้และมีอีกหลายทฤษฎีที่เกี่ยวข้องที่เกี่ยวข้องกับการพิสูจน์ของ P vs NP ฯลฯ

• ทำไมแนวคิดของความซับซ้อนในการคำนวณจึงเป็นเรื่องยากสำหรับคณิตศาสตร์ / Hromkovic ที่ตรวจสอบได้

  อันดับแรกเราพิสูจน์ทฤษฎีบทของไรซ์ว่าไม่สามารถพิสูจน์ได้โดยอ้างว่าปัญหาเชิงความหมายที่ไม่เกี่ยวกับโปรแกรมนั้นไม่สามารถแก้ไขได้เกือบทุกที่ในอัลกอริทึมตรวจสอบได้ "AV" - คณิตศาสตร์ เมื่อใช้สิ่งนี้เราจะแสดงให้เห็นว่ามีอัลกอริธึมมากมาย (โปรแกรมที่พิสูจน์ได้ว่าอัลกอริธึม) ซึ่งไม่มีหลักฐานพิสูจน์ว่าพวกเขาทำงานในเวลาพหุนามหรือพวกเขาไม่ทำงานในเวลาพหุนาม ...

  โปรดทราบว่าถ้า P! = NP สามารถพิสูจน์ได้ใน AV-Math ดังนั้นสำหรับแต่ละอัลกอริทึม A จะสามารถพิสูจน์ได้ว่า "A ไม่ได้แก้ปัญหาความพึงพอใจหรือ A ไม่ทำงานในเวลาพหุนาม" ที่น่าสนใจที่สุดเราแสดงให้เห็นว่ามีอัลกอริทึมที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าพวกเขาไม่ทำงานในเวลาพหุนามและพวกเขาไม่ได้แก้ปัญหาความพึงพอใจ ยิ่งไปกว่านั้นมีอัลกอริทึมที่ใช้แก้ปัญหา SATISFIABILITY ซึ่งไม่สามารถพิสูจน์ได้ในคณิตศาสตร์ AV ว่ามันไม่ทำงานในเวลาพหุนาม

  ยิ่งกว่านั้นเราแสดงให้เห็นว่า P = NP แสดงถึงการมีอยู่ของอัลกอริธึม X ซึ่งการอ้างสิทธิ์ "X แก้ความอิ่มตัวในเวลาพหุนาม" ไม่สามารถพิสูจน์ได้ในคณิตศาสตร์ AV

วิธีการแก้ปัญหาจาก Viola สามารถกำหนดให้เป็นแบบทั่วไปได้ทุกเวลา (เกินโพลี): คุณสามารถลดปัญหาการหยุดพักได้ดังนี้ รับอินสแตนซ์ (M, x) ของปัญหาการหยุดชะงักสร้างเครื่องใหม่ M ′ที่ทำงานดังต่อไปนี้: บนอินพุตของความยาว n, มันจำลอง M บน x สำหรับขั้นตอน f (n) หรือจนกระทั่ง M หยุดนิ่งโดยที่ f (n ) เป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นตามอำเภอใจ (มากกว่าค่าคงที่) ของ n (Obs.: M ′อ่านอินพุตทีละน้อยเพื่อหลีกเลี่ยงการเสียเวลาเชิงเส้น [O (n)] เพียงเพื่ออ่านอินพุตทั้งหมดโดยไม่จำเป็นหากมีขนาดใหญ่พอและหยุดพัก M)

ถ้า M หยุดการทำงานบน x มันทำได้ในขั้นตอน T = O (1) ดังนั้นเวลารันของ M ′จะเป็น O (1) ถ้า M ไม่หยุดทำงานดังนั้นเวลารันของ M ′คือ O (n ^ 2 * f (n))

ดังนั้นคุณสามารถตัดสินใจได้ว่า M ยอมรับ x โดยตัดสินใจว่าเวลารันของ M ′คือ O (1) หรือ O (n ^ 2 * f (n))

จากนั้นรหัสเสริมจาก Raphael สามารถสรุปได้ตาม:

ให้ (M, x) เป็นตัวอย่างของปัญหาการหยุดชะงักนั่นคือเราต้องตัดสินใจว่า M หยุดบน x หรือไม่ สร้าง Turing Machine ที่กำหนดขึ้นเอง (DTM) M * ที่ทำงานดังนี้:

1. M * (อินพุต) = {
2. n: = 0
3. อ่านสัญลักษณ์แรกจากอินพุต
4. ห่วง:
5. n: = n + 1
6. จำลอง M (x) สำหรับ f (n) ขั้นตอนหรือจนกระทั่ง M (x) หยุดการทำงาน
7. อ่านสัญลักษณ์ต่อไปจากอินพุต
8. วนซ้ำจนกว่า end_of_input หรือจนกว่า M (x) หยุดทำงาน
9. }

ตอนนี้เราสังเกตผลกระทบต่อไปนี้:

M หยุดการทำงานบน x หลังจากขั้นตอน k (ค่าคงที่) มากที่สุด => T (M *) = O (1) และ

M ไม่เคยหยุดอยู่กับที่ x => T (M *) = O (n ^ 2 * f (n))

ดังนั้นแม้จะตัดสินใจว่าเวลาในการทำงานของ DTM โดยพลการนั้นมากกว่าค่าคงที่หรือไม่นั้นก็ยากพอ ๆ กับปัญหาการหยุดชะงัก □