ฟังก์ชันที่คำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพเป็นตัวอย่างตอบโต้การคาดคะเน Mobius ของ Sarnak

เมื่อเร็ว ๆ นี้Gil KalaiและDick Liptonทั้งคู่เขียนบทความที่น่าสนใจเกี่ยวกับการคาดเดาที่น่าสนใจที่เสนอโดย Peter Sarnak ผู้เชี่ยวชาญด้านทฤษฎีจำนวนและสมมติฐานของ Riemann

การคาดคะเน ให้เป็นฟังก์ชั่นMöbius สมมติว่าเป็นฟังก์ชั่นด้วยการป้อนข้อมูลในรูปแบบของการแสดงไบนารีของแล้ว $\mu(k)$ $f: \mathbb{N} \to \{-1,1\}$ $\mathsf{AC}^0$ $k$ $k$
$\sum_{k \leq n} μ (k) \cdot f (k) = o (n) .$ $\sum_{k \leq n} \mu(k) \cdot f(k) = o(n) \text.$

โปรดทราบว่าถ้าดังนั้นเรามีรูปแบบของทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ $f(k) = 1$

UPDATE : Ben Green ใน MathOverflow จัดทำกระดาษสั้นที่อ้างว่าพิสูจน์การคาดเดา ลองดูที่กระดาษ

ในทางกลับกันเรารู้ว่าโดยการตั้งค่า (ด้วยการปรับเปลี่ยนเล็กน้อยดังนั้นช่วงอยู่ใน $f(k) = \mu(k)$ $\\{-1,1\\}$ ) รวมส่งผลให้มีการประมาณ มีขอบเขตบนที่สามารถคำนวณได้ในดังนั้นข้อ จำกัด ที่เสนอบนในการคาดเดาไม่สามารถผ่อนคลายกับฟังก์ชัน . คำถามของฉันคือ:

\sum_{k \leq n} μ (k)^{2} = Ω (n) .

$\sum_{k \leq n} \mu(k)^2 = \Omega(n) \text.$

μ (k)

$\mu(k)$

U P \cap c o U P \subseteq N P \cap c o N P

$\mathsf{UP} \cap \mathsf{coUP} \subseteq \mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$

f (k)

$f(k)$

N P

$\mathsf{NP}$

อะไรคือสิ่งที่ต่ำสุดซับซ้อนระดับขณะนี้เราทราบเช่นว่าฟังก์ชั่นในตอบสนองการประมาณ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากนักทฤษฎีบางคนเชื่อว่าการคำนวณไม่ได้อยู่ในเราสามารถให้ฟังก์ชันอื่น ๆ $\mathsf{C}$ $f(k)$ $\mathsf{C}$
$\sum_{k \leq n} μ (k) \cdot f (k) = Ω (n) ?$ $\sum_{k \leq n} \mu(k) \cdot f(k) = \Omega(n) \text{?}$ $\mu(k)$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$ $f(k)$ ซึ่งหมายถึงการเติบโตเชิงเส้นในการรวม? จะได้รับขอบเขตที่ดียิ่งขึ้นหรือไม่

— เซียน - จื้อฉาง張顯之
แหล่งที่มา

คลาสควอนตัมบางอย่างเช่น P ^ {BQNC} ก็ควรทำงานเช่นกันเนื่องจากแฟคตอริ่งอยู่ในคลาสนั้น

— Robin Kothari

f (k) = k_{i}

$f(k) = k_i$

i

$i$

@Emanuele เป็นคำถามที่ดี ฟังก์ชั่นตัวบ่งชี้ของ i-th บิตในการแทนเลขฐานสองของ k เป็นเชิงเส้น "วงเล็บโพลิโนเมียล" แต่มันมีค่าสัมประสิทธิ์สูงมากดังนั้นมันอาจไม่ปฏิบัติตามจากทฤษฎีบทกรีนเต่าในความสัมพันธ์ของ - ขั้นตอนที่ไม่มีผล nilsequences ขั้นตอนที่ถูกผูกไว้มีพหุนามขอบเขตการศึกษาระดับปริญญาเป็นกรณีพิเศษ แต่ผลลัพธ์ของพวกเขาอาจมีข้อ จำกัด บางอย่างเกี่ยวกับขนาดของสัมประสิทธิ์

— Luca Trevisan

f \in N C^{0}

$f \in NC^0$

f

$f$

{- 1, 0, 1}

$\{-1,0,1\}$

{- 1, 1}

$\{-1,1\}$