มีอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพในการรักษาข้อมูลการเชื่อมต่อสำหรับ DAG ต่อหน้า / ลบหรือไม่?

ด้วยกราฟ acyclic โดยตรงเป็นไปได้หรือไม่ที่จะสนับสนุนการดำเนินการต่อไปนี้ได้อย่างมีประสิทธิภาพ?$G(V,E)$

• : กำหนดถ้ามีเส้นทางใน Gจากโหนดไปยังโหนด$isConnected(G,a,b)$$G$$a$$b$
• : เพิ่มขอบจาก aถึง bในกราฟ$link(G,a,b)$$a$$b$$G$
• : ลบขอบจาก aถึง bใน$unlink(G,a,b)$$a$$b$$G$
• : เพิ่มจุดสุดยอดไปที่ G$add(G,a)$
• : ลบจุดสุดยอดออกจาก G$remove(G,a)$

หมายเหตุเล็กน้อย:

• ถ้าเราไม่ได้รับอนุญาตดูเหมือนว่ามันจะเป็นเรื่องง่ายที่จะรักษาข้อมูลการเชื่อมโยงโดยใช้เคล็ดชุดชนิดโครงสร้างข้อมูล$unlink$
• เห็นได้ชัดว่าอาจจะดำเนินการโดยใช้ความลึกหรือกว้างแรกค้นหาโดยใช้แทนตัวชี้ตามที่ไร้เดียงสาของกราฟ แต่นี่ไม่มีประสิทธิภาพ$isConnected$

ฉันหวังว่าจะตัดจำหน่ายค่าคงที่หรือเวลาลอการิทึมสำหรับการดำเนินการทั้งสามนี้ เป็นไปได้ไหม

ปัญหาที่คุณอธิบายไว้คือความสามารถในการเข้าถึง DAG แบบไดนามิกอย่างสมบูรณ์ (เรียกอีกอย่างว่าการปิด Transitive แบบไดนามิกอย่างสมบูรณ์ใน DAG) มันเรียกว่าไดนามิกอย่างเต็มที่เนื่องจากผู้คนยังศึกษารุ่นที่มีความเป็นไปได้ในการลบเท่านั้น (จากนั้นจะเรียกว่าการเข้าถึงได้แบบลดลง) และตำแหน่งที่แทรกได้เท่านั้น (เรียกว่าการเข้าถึงได้เพิ่มขึ้น)

มีการแลกเปลี่ยนไม่กี่ครั้งระหว่างเวลาอัปเดตและเวลาคิวรี ให้คือจำนวนขอบและnจำนวนจุดยอด สำหรับ DAGs Demetrescu และ Italiano (FOCS'00) ให้โครงสร้างข้อมูลแบบสุ่มซึ่งรองรับการอัปเดต (การแทรกขอบหรือลบ) ในเวลา O ( n 1.58 ) และเวลาสอบถามการเข้าถึงได้ใน O ( n 0.58 ) เวลา (สนับสนุนการแทรก / ลบโหนด) , ใน O (1) เวลา); ผลลัพธ์นี้ขยายโดย Sankowski (FOCS'04) เพื่อทำงานกับกราฟกำกับทั่วไป นอกจากนี้สำหรับ DAG, Roditty (SODA'03) แสดงให้เห็นว่าคุณสามารถรักษาเมทริกซ์การปิดสกรรมกริยาได้ในเวลารวม O ( m n + I · n 2 + D ) โดยที่$m$$n$$n^{1.58}$$n^{0.58}$$mn+I·n^2+D$คือจำนวนการแทรก, Dจำนวนการลบและแน่นอนเวลาการสืบค้นคือ O ( 1 )$I$$D$$1$

สำหรับกราฟที่กำกับทั่วไปจะทราบเวลา (อัปเดตแบบสอบถาม) ต่อไปนี้: (O ( ), O (1)) (Demetrescu และ Italiano FOCS'00 (ตัดจำหน่าย), Sankowski FOCS'04 (กรณีที่แย่ที่สุด)), ( O ( m $n^2$ ),O($m\sqrt{n}$ )) (Roditty, Zwick FOCS'02), (O (m+nบันทึกn), O (n)) (Roditty, Zwick STOC'04), (O (n 1.58 ), O (n 0.58 )) และ (O (n 1.495 ), O (n 1.495 )) โดย Sankowski (FOCS'04)$O(\sqrt{n}$$m+n\log n$$n$$n^{1.58}$$n^{0.58}$$n^{1.495}$$n^{1.495}$

การได้รับเวลาสอบถามแบบ polylogarithmic โดยไม่เพิ่มเวลาการอัปเดตมากเกินไปเป็นปัญหาเปิดที่สำคัญแม้แต่สำหรับ DAG

ผมคิดว่าผลลัพธ์ที่ดีที่สุดเพื่อให้ห่างไกลจะกล่าวถึงใน"mantaining แบบไดนามิกสำหรับเมทริกซ์อย่างเต็มที่แบบไดนามิกสกรรมกริยาปิด" บทความนั้นกล่าวถึงอัลกอริทึมแบบสุ่มด้วยเวลาสอบถามข้อมูลและเวลาอัปเดตO ( n 1.58$O(n^{0.58})$$O(n^{1.58})$

(สิ่งนี้ครอบคลุมเฉพาะรุ่นแรกของคำถามของคุณโดยมีlinkและunlinkไม่มีaddและremove)