ปัญหาเชิงเรขาคณิตที่เกิดจากปัญหา NP-Complete ใน

37

ปัญหาทางเรขาคณิตเป็นเรื่องง่ายเมื่อพิจารณาในแต่ NP-complete ในสำหรับ (รวมถึงหนึ่งในปัญหาที่ฉันโปรดปรานฝาครอบดิสก์ยูนิต) $R^1$ $R^d$ $d\geq2$

ไม่มีใครรู้ปัญหาที่ polytime สามารถแก้ไขได้สำหรับและแต่ NP-complete สำหรับหรือไม่? $R^1$ $R^2$ $R^d,d\geq3$

โดยทั่วไปแล้วมีปัญหาอะไรบ้างที่ NP-complete สำหรับแต่ Polytime สามารถแก้ไขได้สำหรับที่ ? $R^k$ $R^{k-1}$ $k\geq3$

cc.complexity-theory reference-request cg.comp-geom

— บ็อบเฟรเซอร์
แหล่งที่มา

คือการจับคู่ 3 มิติเรขาคณิต?

— Jukka Suomela

1

ไม่ได้จริงๆ "3 มิติ" เป็นคาร์ทีเซียนไม่ใช่ความรู้สึกแบบยุคลิด

— Suresh Venkat

25

ตั้งฝาครอบด้วยครึ่งช่องว่าง

เมื่อกำหนดคะแนนในเครื่องบินและชุด halfplanes คำนวณจำนวน halfplanes ขั้นต่ำที่ครอบคลุมชุดเซตสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามในเครื่องบิน อย่างไรก็ตามปัญหาคือ NP ยากในแบบ 3 มิติ (มันยากกว่าการค้นหาการปกปิดขั้นต่ำโดยเซตย่อยของดิสก์ที่มีคะแนนเป็น 2d) ในแบบ 3 มิติคุณจะได้รับ halfspaces และคะแนนย่อยและคุณกำลังมองหาจำนวน halfspaces ขั้นต่ำที่ครอบคลุมคะแนน

อัลกอริทึม polytime ใน 2d อธิบายไว้ที่นี่: http://valis.cs.uiuc.edu/~sariel/papers/08/expand_cover/

— Sariel Har-Peled
แหล่งที่มา

ฉันค่อนข้างเขินอายที่ฉันไม่ทราบผลลัพธ์นี้เนื่องจากปัญหาที่ฉันทำงานอยู่นั้นอยู่ใกล้แค่ไหน :-) นี่เป็นคำตอบที่ฉันหวังไว้เช่นกัน เมื่อคุณพูดว่ามันยากกว่าฝาครอบดิสก์ในแบบ 2D ฉันคิดว่าคุณหมายความว่ามันเป็น APX-hard?

— Bob Fraser

1

ปัญหา 2 มิติคือพหุนาม อีกอันคือ NP-Hard อย่างไรก็ตามฉันไม่คิดว่าปัญหา 3 มิตินั้นจะยากสำหรับ APX มีเหตุผลที่ดีที่จะเชื่อว่าอาจมี PTAS ได้จากการค้นหาในพื้นที่ ...

— Sariel Har-Peled

... และยิ่งยากขึ้นฉันหมายความว่าปัญหาดิสก์สามารถยกได้ (เช่นลดลง) ไปยังปัญหา halfspaces ในแบบ 3 มิติ

— Sariel Har-Peled

29

มันไม่ได้เป็นสิ่งที่คุณถามเพราะรุ่น 3 มิตินั้นยากกว่าปัญหา NP-complete แต่: การค้นหาเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดสองจุดท่ามกลางสิ่งกีดขวางรูปหลายเหลี่ยมบนเครื่องบินอยู่ในเวลาพหุนาม (ส่วนใหญ่สร้างกราฟการมองเห็นของอาคารทั้งสอง และจุดยอดรูปหลายเหลี่ยมและใช้ Dijkstra นอกจากนี้ยังมีอัลกอริทึม O (n log n) ที่มีความซับซ้อนมากขึ้นเนื่องจาก Hershberger และ Suri, SIAM J. Comput. 1999) แต่การค้นหาเส้นทางที่สั้นที่สุดท่ามกลางสิ่งกีดขวางรูปทรงหลายเหลี่ยมใน 3 มิติ และ Reif, FOCS 1987)

— David Eppstein
แหล่งที่มา

10

คุณแน่ใจเกี่ยวกับกรณีภาพถ่ายหรือไม่? อัลกอริทึมที่คุณอ้างถึงจำเป็นต้องใช้เลขคณิตจริงที่แน่นอน! cstheory.stackexchange.com/questions/4034/…

— Jeffε

เอ้อ จุดดี. และฉันไม่สามารถออกไปได้โดยบอกว่าใช้จุดลอยตัวและค่าประมาณเนื่องจากปัญหา 3d สามารถประมาณได้ดี อุ่ย ฉันคิดว่ามันมี "ความจริงทางคณิตศาสตร์ที่แน่นอน" ซึ่งหนึ่งในนั้นคือพหุนามและอีกอันนั้นยาก แต่คุณก็พูดถูกมันเป็นอีกวิธีที่มันไม่ตอบคำถาม

— David Eppstein

6

มันน่าสนใจจริงๆ ผลรวมของปัญหารากที่สองคืบคลานเข้ามาเป็นจำนวนของปัญหาใน cg ที่ปัญหาจะง่ายยกเว้นสำหรับรายละเอียดนี้ มันยอดเยี่ยมในทางเพราะมันเป็นหนึ่งในปัญหาเหล่านี้ที่คุณต้องโน้มน้าวให้คนอื่นเห็นว่ามันยาก ขอบคุณสำหรับคำแนะนำ

— Bob Fraser

20

รูปหลายเหลี่ยมที่ไม่นูนใด ๆ ในเครื่องบินสามารถถูก triangulated ในเวลา O (n) โดยไม่มีคะแนนสทิเนอร์ นั่นคือจุดสุดยอดของสมการทุกรูปเป็นจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยม ยิ่งกว่านั้นสามเหลี่ยมทุกสามเหลี่ยมมีสามเหลี่ยม n-2 ทุกประการ

อย่างไรก็ตามการพิจารณาว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมที่ไม่นูนใน R ^ 3 สามารถถูก triangulated โดยไม่มีคะแนน Steiner หรือไม่คือ NP-complete ผลลัพธ์ความกระด้าง NP ถือได้แม้ว่าคุณจะได้รับสมการหนึ่งจุดด้วยสทิเนอร์หนึ่งจุดดังนั้นแม้จะประมาณจำนวนสทิเนอร์ขั้นต่ำที่ต้องการคือ NP-hard [Jim Ruppert และ Raimund Seidel ในความยากลำบากในการวิเคราะห์รูปทรงสามมิติแบบสามมิติ Nonconvex การคำนวณแบบแยก Geom 1992]

ถ้ารูปหลายเหลี่ยมที่ให้นั้นนูนออกมาการหารูปสามเหลี่ยมง่าย แต่การหารูปสามเหลี่ยมที่มีจำนวนเตตราดราต่ำสุดคือ NP-hard [Alexander Below, Jesús de Loera และJürgen Richter-Gebert ความซับซ้อนของการหา triangulations เล็ก ๆ นูน 3 J. Algorithms 2004]

— Jeffε
แหล่งที่มา

2

ขอบคุณสำหรับคำแนะนำเจฟฟ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันคิดว่าผลลัพธ์สุดท้ายที่คุณพูดถึงน่าสนใจ เป็นเรื่องที่น่าแปลกใจที่ในขณะที่อยู่บนเครื่องบินจำนวนของสิ่งเรียบง่ายที่ประกอบเป็นรูปหลายเหลี่ยมเป็นค่าคงที่ แต่สิ่งนี้ไม่ได้อยู่ในมิติที่สูงกว่าและในความเป็นจริงยากที่จะปรับให้เหมาะสม ตรงนี้เป็นคำตอบที่ฉันหวังไว้

— Bob Fraser

16

$d$ $d \le 3$ $d \ge 4$

— โยชิโอะโอกาโมโตะ
แหล่งที่มา

2

\exists R

$\exists\mathbb{R}$

ฉันไม่เคยเห็นปัญหานี้มาก่อนขอบคุณ

— Bob Fraser

อีกครั้งเช่นเดียวกับคำตอบของ David Eppstein ยากกว่า (อาจ) กว่าปัญหา NP-complete

— Peter Shor

11

การตัดสินใจว่าพื้นที่ตัวชี้วัดสามารถฝังลงในมิติของไอโซโทปเป็น R ^ 2 ได้ง่ายหรือไม่ อย่างไรก็ตามมันเป็นเรื่องยากที่จะตัดสินใจเลือกความสามารถในการฝัง R ^ 3

$\ell_\infty^2$ $\ell_\infty^3$

กระดาษ

— Zouzias
แหล่งที่มา

นั่นเป็นตัวอย่างที่ดี

— Suresh Venkat

-2

$R^2$ $R^3$ $Z^2$ $Z^3$

$k = 2$ $Z^2$ $Z^k$ $k > 2$ .

— Kaushik Shankar
แหล่งที่มา

การบอกว่า 2SAT คือ "ใน" R ^ 2 หมายความว่าอย่างไร

— Suresh Venkat

R^{2}

$R^2$

11

-1: ฉันไม่เห็นว่า 2SAT อยู่ใน R ^ 2 ได้อย่างไร ฉันไม่เห็นว่า 2SAT เป็น "ปัญหาเชิงเรขาคณิต" อย่างไร

— Robin Kothari

ฉันขอโทษที่ไม่ได้นำเสนอปัญหาทางเรขาคณิต แต่ถึงแม้ว่าชื่อเรื่องจะถามเกี่ยวกับปัญหาทางเรขาคณิต แต่คำถามสองข้อในความคิดเห็นไม่ได้ระบุว่าเป็นปัญหาเชิงเรขาคณิต นอกจากนี้ความพึงพอใจแบบ 2 มิติยังมีการแสดงกราฟที่รู้จักกันในชื่อการจับคู่แบบ 2 มิตินั่นคือใน P โดยที่ความพึงพอใจแบบ 3 มิตินั้นสอดคล้องกับการจับคู่แบบ 3 มิติซึ่งเป็น NP

— Kaushik Shankar

@ Robin ฉันไปข้างหน้าและชี้แจงในความคิดเห็นเดิมของฉัน

— Kaushik Shankar