มี

ปัจจุบันการแก้ไขปัญหาที่ไม่สมบูรณ์ของหรือP S P A Cปัญหาที่ไม่สมบูรณ์ของEนั้นไม่สามารถทำได้ในกรณีทั่วไปสำหรับอินพุตที่มีขนาดใหญ่ อย่างไรก็ตามทั้งคู่สามารถแก้ไขได้ในเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียลและพื้นที่พหุนาม$NP$$PSPACE$

เนื่องจากเราไม่สามารถสร้างคอมพิวเตอร์แบบ nondeterministic หรือ 'lucky' มันสร้างความแตกต่างให้กับเราหรือไม่หากปัญหาคือ complete หรือP S P A C E- complete$NP$$PSPACE$

นี่เป็นคำถามที่ดีมากที่ฉันได้คิดเกี่ยวกับการเป็นจำนวนมาก: ไม่จริงที่ว่าเป็นปัญหาสมบูรณ์หรือP S P C Eที่สมบูรณ์จริงส่งผลกระทบต่อความซับซ้อนเวลากรณีที่เลวร้ายที่สุดของปัญหาได้หรือไม่ $NP$$PSPACE$ความแตกต่างดังกล่าวส่งผลกระทบต่อความซับซ้อนของ "กรณีทั่วไป" ของปัญหาในทางปฏิบัติจริงหรือไม่?

ปรีชาบอกว่าปัญหาที่สมบูรณ์เป็นหนักกว่า N Pสมบูรณ์หนึ่งโดยไม่คำนึงถึงสิ่งที่วัดความซับซ้อนที่คุณใช้ แต่สถานการณ์นั้นบอบบาง มันอาจจะเป็นเช่นที่ Q B F (วัดบูลีนสูตรบัญญัติ P S P C Eปัญหาที่สมบูรณ์) อยู่ในเวลา subexponential ถ้าหากว่า S T (Satisfiability ที่บัญญัติ N $PSPACE$$NP$$QBF$$PSPACE$$SAT$$NP$- ปัญหาที่สมบูรณ์) อยู่ในเวลาเอ็กซ์โปเนนเชียล (ทิศทางเดียวชัดเจน; อีกทิศทางหนึ่งจะเป็นผลลัพธ์ที่สำคัญ!) หากเป็นจริงแล้วอาจมาจากมุมมอง "ฉันแค่ต้องการแก้ปัญหานี้" ไม่ใช่เรื่องใหญ่เลยว่าปัญหาคือสมบูรณ์หรือN Pสมบูรณ์: วิธีใดขั้นตอนวิธีการ subexponential หนึ่งหมายถึงขั้นตอนวิธีการ subexponential อื่น ๆ$PSPACE$$NP$

ให้ฉันเป็นผู้สนับสนุนของปีศาจและให้คุณตัวอย่างที่ปัญหาหนึ่งที่เกิดขึ้นจะ "ยาก" กว่าที่อื่น ๆ แต่ก็กลายเป็น "น่าเชื่อมากขึ้น" กว่าอีกด้วย

ให้เป็นสูตรบูลีนบนตัวแปรnโดยที่nเป็นเลขคู่ สมมติว่าคุณมีตัวเลือกระหว่างสองสูตรที่คุณต้องการตัดสินใจ:$F(x_1,\ldots,x_{n})$$n$$n$

)$\Phi_1 = (\exists x_1)(\exists x_2)\cdots (\exists x_{n-1})(\exists x_{n})F(x_1,\ldots,x_{n})$

$\Phi_2 = (\exists x_1)(\forall x_2)\cdots (\exists x_{n-1}(\forall x_{n})F(x_1,\ldots,x_{n})$

(นั่นคือในตัวสลับปริมาณ)$\Phi_2$

คุณคิดว่าแบบใดที่แก้ง่ายกว่า สูตรประเภทหรือสูตรประเภทΦ 2 ?$\Phi_1$$\Phi_2$

ใครจะคิดว่าตัวเลือกที่ชัดเจนคือเนื่องจากมันเป็นเพียงN P- ที่สมบูรณ์ในการตัดสินใจในขณะที่Φ 2เป็นP S P A Cปัญหาที่สมบูรณ์E แต่ในความเป็นจริงตามอัลกอริทึมที่รู้จักกันดีของเราΦ $\Phi_1$$NP$$\Phi_2$$PSPACE$$\Phi_2$เป็นปัญหาที่ง่ายขึ้น เราไม่ทราบวิธีแก้สำหรับFทั่วไปในเวลาน้อยกว่า2 nขั้นตอน (ถ้าเราสามารถทำเช่นนี้เราจะมีขนาดสูตรใหม่ขอบเขตที่ต่ำกว่า!) แต่Φ 2จะสามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายสำหรับการใด ๆFในแบบสุ่มO $\Phi_1$$F$$2^n$$\Phi_2$$F$เวลาโดยใช้การค้นหาแผนผังเกมแบบสุ่ม! สำหรับการอ้างอิงดูบทที่ 2 ส่วน 2.1 ใน Motwani และ Raghavan$O(2^{.793 n})$

ปรีชาคือการเพิ่มตัวบ่งชี้สากลให้ จำกัด ปัญหาจริง ๆทำให้ง่ายต่อการแก้แทนที่จะยากกว่า อัลกอริธึมการค้นหาทรีเกมนั้นต้องอาศัยการสลับปริมาณและไม่สามารถจัดการปริมาณได้ตามอำเภอใจ ถึงกระนั้นประเด็นก็คือว่าบางครั้งปัญหาอาจทำให้ "ง่ายขึ้น" ภายใต้มาตรการซับซ้อนหนึ่งแม้ว่าพวกเขาอาจดู "ยาก" ภายใต้มาตรการอื่น

มันเป็นเรื่องสำคัญเพราะมีความเสี่ยงมากกว่าที่เราจะหาทางแก้ไขได้หรือไม่ สิ่งที่น่าสนใจอีกอย่างคือเราสามารถตรวจสอบโซลูชั่นได้หรือไม่ ความแตกต่างเชิงคุณภาพอื่น ๆ สามารถทำได้ระหว่างความยากลำบากของปัญหา แต่สำหรับNPกับคลาสความซับซ้อนที่ใหญ่กว่านี้จะเป็นสิ่งที่ฉันจะระบุว่าสำคัญที่สุด

สำหรับปัญหาในการตัดสินใจ - ปัญหาที่ทุกตัวอย่างมีคำตอบ' ใช่ ' หรือ ' ไม่ ' - NPเป็นชั้นของปัญหาอย่างแม่นยำซึ่งเราสามารถตรวจสอบหลักฐานได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยอ้างว่าอินสแตนซ์ที่กำหนดเป็นอินสแตนซ์ ' YES ' เรานำเสนอด้วยหนึ่ง ตัวอย่างเช่นหากคุณมีการกำหนดตัวแปรที่น่าพอใจสำหรับอินสแตนซ์ของ 3-SAT การกำหนดนั้นจะช่วยให้คุณพิสูจน์ได้อย่างมีประสิทธิภาพว่าอินสแตนซ์นั้นน่าพอใจ การมอบหมายที่น่าพอใจเช่นนั้นอาจหาได้ยาก แต่เมื่อคุณมีแล้วคุณสามารถพิสูจน์ให้คนอื่น ๆ เห็นว่าอินสแตนซ์นั้นน่าพอใจเพียงแค่ให้พวกเขาตรวจสอบวิธีการแก้ปัญหาที่คุณพบ

ในทำนองเดียวกันสำหรับcoNPมีหลักฐานที่ตรวจสอบได้อย่างมีประสิทธิภาพสำหรับ 'อินสแตนซ์ ' ไม่ '; และสำหรับปัญหาในNP  ∩  coNPคุณสามารถทำได้ทั้งสองอย่าง แต่สำหรับPSPACE - ปัญหาที่สมบูรณ์นั้นไม่มีขั้นตอนดังกล่าวอยู่เว้นแต่ว่าคุณจะสามารถพิสูจน์ความเท่าเทียมกันอันน่าทึ่งของคลาสความซับซ้อน

เราไม่ทราบวิธีการสร้างปัญหาหนัก ๆ โดยเฉลี่ยจากปัญหาที่สมบูรณ์แบบที่สุด (NP-case) แต่เราสามารถทำเช่นนี้เพื่อ PSPACE (ดูKöbler & Schuler (1998) ) เพื่อสร้างปัญหาแม้กระทั่งการกระจายที่สม่ำเสมอซึ่งไม่สามารถทำได้ แก้ไขในอินพุตส่วนใหญ่เว้นแต่ PSPACE ทั้งหมดนั้นง่ายต่อการคำนวณ

จากด้านการปฏิบัติเป็นสิ่งสำคัญที่ต้องจำไว้ว่า NP-Completeeness ไม่ใช่อุปสรรคสำหรับปัญหามากมายในทางปฏิบัติ เครื่องมือคู่ของนักแก้ปัญหา SAT และ CPLEX (สำหรับการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นจำนวนเต็ม) มีประสิทธิภาพเพียงพอและได้รับการออกแบบมาอย่างดีพอที่จะเป็นไปได้ในการแก้ปัญหา NP ปัญหาใหญ่โดยการกำหนดกรอบปัญหาเป็น ILP ที่เหมาะสมหรือลดลง SAT

ฉันไม่ได้ตระหนักถึงนักแก้ปัญหาที่ออกแบบมาอย่างดีในทำนองเดียวกันสำหรับปัญหาใน PSPACE

คุณอาจคิดอย่างนี้: ปัญหาทางคณิตศาสตร์มีข้อพิสูจน์ที่มนุษย์อ่านได้หรือว่าต้องใช้ "หลักฐานคอมพิวเตอร์" ตัวอย่าง: ตำแหน่งเริ่มต้นของตัวตรวจสอบคือเสมอ? (คำตอบ: ใช่) ตำแหน่งเริ่มต้นของหมากรุกเป็นผู้ชนะสำหรับคนผิวขาวหรือไม่? (คำตอบ: ไม่ทราบ แต่ศิษย์เก่าส่วนใหญ่คิดว่าเป็นการจับสลาก)

หลักฐานที่แสดงว่าตำแหน่งเริ่มต้นของตัวตรวจสอบในท้ายที่สุดต้องใช้เพื่อยอมรับว่าคอมพิวเตอร์ทำการตรวจสอบกรณีพิเศษจำนวนมากอย่างถูกต้อง หากมีหลักฐานเกี่ยวกับการเล่นหมากรุกอยู่ก็อาจจะทำให้ผู้อ่านต้องยอมรับว่าคอมพิวเตอร์มีการตรวจสอบอย่างถูกต้องมากยิ่งขึ้น และอาจเป็นไปได้ว่าไม่มีวิธีที่สั้นกว่าในการพิสูจน์ข้อความเหล่านั้น นั่นคือปัญหาใน PSPACE หากปัญหาคือ "เพียงแค่" ใน NP แล้ว (สังหรณ์ใจ) มนุษย์สามารถถือหลักฐานทั้งหมดในหัวของเขา / เธอ แน่นอนว่ามนุษย์นั้นอาจต้องเป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีความเชี่ยวชาญเป็นพิเศษ

$n^{1000000}$

นอกจากความคิดเห็นของ Suresh แล้วดูเหมือนว่าจะมีความแตกต่างในทางปฏิบัติ มีฮิวริสติกที่จัดการเพื่อใช้ประโยชน์จากโครงสร้างของอินสแตนซ์ SAT ที่ใช้งานได้จริงและได้รับประสิทธิภาพที่ยอดเยี่ยม (ฉันหมายถึงนักแก้ปัญหาการเรียนรู้ประโยคที่ขัดแย้งกันที่นี่) ฮิวริสติกเดียวกันไม่ได้ปรับปรุงประสิทธิภาพการทำงานที่คล้ายกันในตัวแก้ปัญหา QBF

ความแตกต่างระหว่างการพิสูจน์และการตรวจสอบยังปรากฏขึ้น นักแก้ปัญหา SAT บางคน (เช่น MiniSAT 1.14 และโฮสต์ของคนอื่น) สร้างหลักฐาน การพิสูจน์การผลิตในตัวแก้ปัญหา QBF ปัจจุบันนั้นไม่สำคัญ (ข้อความต่อไปนี้มาจากคำบอกเล่า) มีกรณีขนาดใหญ่ในการแข่งขัน QBF ซึ่งนักแก้ปัญหาจะเห็นผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน ในกรณีที่ไม่มีตัวแก้ไขการสร้างเราไม่ทราบว่าผลลัพธ์ใดถูกต้อง

ถ้าคุณดูที่การปฏิบัติจริงเกี่ยวกับ SAT และหมากรุกแล้วมันมีความแตกต่าง - ปัญหา NP-complete นั้นง่ายกว่าปัญหา PSPACE วันนี้นักแก้ปัญหา SAT สามารถรับมือกับตัวแปรกว่าพันตัวได้ แต่เครื่องมือหมากรุกที่ดีที่สุดในระยะเวลาเดียวกันสามารถคำนวณได้ต่ำกว่า 20 ครั้งเท่านั้น

ฉันเดาว่านี่เป็นเพราะโครงสร้างของปัญหา ใช่ถ้าคุณเพียงระบุวิธีแก้ปัญหา SAT ช้าสุด ๆ แต่เนื่องจากมันไม่มีการสลับปริมาณผู้คนจึงค้นพบโครงสร้างในสูตรและด้วยเหตุนี้จึงหลีกเลี่ยงการแจงนับจำนวนมาก ฉันคิดว่า Ryan Williams มองข้ามประเด็นนี้

ด้วยการสลับปริมาณให้ใช่มีวิธีการตัดแต่งกิ่งที่ชาญฉลาด แต่โครงสร้างยังไม่สมบูรณ์เท่ากับสูตร CNF

ให้ฉันทำนายอนาคต การแก้ SAT จะทำให้เป็น P โดยการตรวจสอบสูตรและหลีกเลี่ยงการค้นหาเป็นหลักในขณะที่หมากรุกจะทำให้มันเป็น P โดยใช้ประโยชน์จากการค้นหาในแผนผังเกม