เส้นทางขั้นต่ำที่ครอบคลุมถึงปัญหา

เรากำลังทำงานในคอมพิวเตอร์ที่มีการแจกจ่ายและเราพบปัญหาความซับซ้อนซึ่งจะช่วยลดปัญหาให้น้อยที่สุด ขณะนี้เราไม่ทราบวิธีการแก้ไข ปัญหาดังต่อไปนี้:

ให้เป็นจำนวนเต็มและให้เป็นกราฟที่มี $k$ $Z_k$ จุดยอด เราป้ายแต่ละจุดสุดยอดกับคู่ดังกล่าวที่kต่อจากนี้เราตั้งชื่อจุดยอดโดยใช้ป้ายกำกับ ชุดของขอบในถูกกำหนดดังนี้: } $\frac{k(k+1)}{2}$ $(i,j)$ $1 \leq i \leq j \leq k$ $Z_k$ $\{ ((i,j),(i',j')) | i' >i \land j' \geq i \}$

เส้นทางที่ครอบคลุมน้อยที่สุดของคืออะไร? $Z_k$

การอ่าน "ปัญหาเกี่ยวกับเส้นทางบนในกราฟและแอปพลิเคชันสำหรับการทดสอบโปรแกรม" โดย Ntafos และคณะ เราได้เห็นแล้วว่าเส้นทางที่เล็กที่สุดที่ครอบคลุมนั้นเท่ากับส่วนสำคัญที่สุดของเซตยอดที่ไม่มีใครเทียบได้ เรากำลังคิดเกี่ยวกับชุดต่อไปนี้: ซึ่งมีความสำคัญของ $S= \{ (i,j) : i \geq k/2 \land j < k/2 \}$ . $\frac{k^2}{4}-\frac{k}{2}$

ขอแสดงความนับถือ

ปิแอร์

graph-theory co.combinatorics application-of-theory

— ปิแอร์
แหล่งที่มา

j^{'} \geq j

$j' \ge j$

j^{'} \geq i

$j' \ge i$

Z_{k}

$Z_k$

ดูเหมือนกราฟของคุณจะเป็น DAG ที่ปิดต่อเนื่องใช่มั้ย ถ้าเป็นเช่นนั้น (และนี่อาจเป็นการปรับปรุงสิ่งที่คุณพูดในการอ้างอิงของ Ntafos et al) จำนวนขั้นต่ำของเส้นทางที่จำเป็นในการครอบคลุม DAG เป็นเพียงจำนวนสูงสุดขององค์ประกอบที่ไม่มีใครเทียบได้จำนวนคู่ นี้คือทฤษฎีบท Dilworth ของ

ตัวอย่างของคุณอาจง่ายพอที่จะระบุชุดที่เปรียบมิได้สูงสุดนี้โดยตรง แต่โดยทั่วไปแล้วมันเป็นไปได้ที่จะหาชุดนี้ในเวลาพหุนามโดยใช้อัลกอริทึมที่อยู่ในการจับคู่กราฟ ส่วน "พิสูจน์ผ่านทฤษฎีบทของKönig" ในบทความ Wikipedia เกี่ยวกับทฤษฎีบทของ Dilworth อธิบายว่า

— David Eppstein
แหล่งที่มา