ปัญหาการเชื่อมต่อ Flip ขั้นต่ำ

ฉันกำหนดปัญหาต่อไปนี้ในวันนี้ขณะเล่นกับ GPS นี่มันคือ:

ให้เป็นกราฟดังกล่าวว่าถ้าE = ( U , V ) ∈ Eแล้ว( โวลต์, ยู) ∉ EคือGเป็นทิศทางของกราฟไม่มีทิศทางพื้นฐาน พิจารณาการดำเนินการดังต่อไปนี้:$G(V,E)$$e=(u,v) \in E$$(v,u) \notin E$$G$

• : แทนที่ edge ( u , v )ด้วย edge ( v , u $Flip(u,v)$$(u,v)$$(v,u)$
• : สร้าง edge ( u , v ) undirected$undirect(u,v)$$(u,v)$

ปล่อยให้เป็นสองจุดยอดพิเศษ พิจารณาปัญหาการปรับให้เหมาะสมต่อไปนี้:$s,t \in V$

• Min-พลิก ST-การเชื่อมต่อ: ให้และสองจุดs , เสื้อพบจำนวนขั้นต่ำของขอบที่จะต้องมีการพลิกเพื่อให้เส้นทางกำกับจากsไปที$G$$s,t$$s$$t$
• การเชื่อมต่อที่แข็งแกร่งแบบ Min-Flip: เมื่อได้รับจำนวนขั้นต่ำที่ต้องพลิกเพื่อทำให้Gเชื่อมต่อได้อย่างแข็งแกร่ง ถ้ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะทำให้การเชื่อมต่อGอย่างยิ่งโดยการพลิกขอบแล้วเอาท์พุท NO$G$$G$$G$
• การเชื่อมต่อที่แรงสุด ๆ แบบไม่ต้องบอกทิศทาง: เมื่อได้รับจำนวนขั้นต่ำที่ต้องทำการยกเลิกการเชื่อมต่อเพื่อให้Gเชื่อมต่อได้อย่างแข็งแกร่ง$G$$G$

โปรดทราบว่าคุณไม่ได้รับอนุญาตให้เพิ่มขอบ "ใหม่" คุณกำลังแก้ไขขอบที่มีอยู่โดยใช้การดำเนินการด้านบนเท่านั้น ปัญหานี้เป็นที่รู้จักในวรรณคดีหรือไม่ ถ้าเป็นเช่นนั้นผลลัพธ์ที่รู้จักคืออะไร?

สรุป: ปัญหาสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามโดยค้นหาการวางแนวเชื่อมต่อที่มีต้นทุนต่ำสุด

รายละเอียดเพิ่มเติม: ทฤษฏีของ Robbinsบอกว่าขอบของกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางนั้นสามารถถูกปรับทิศทางเพื่อให้กราฟที่กำกับนั้นได้รับการเชื่อมต่ออย่างมากถ้าหากกราฟที่ไม่ได้ทำการเชื่อมต่อนั้นมีการเชื่อมต่อแบบ 2 ขอบ มีหลายนามสกุลและหนึ่งในนั้นกล่าวว่าการใช้อัลกอริธึมโฟลโฟดิโอโฟลไดโนโฟลเวลาเราสามารถแก้ปัญหาดังต่อไปนี้ในเวลาพหุนาม: เนื่องจากกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางด้วยค่าใช้จ่ายขอบ (สำหรับทั้งสองทิศทาง) กราฟเชื่อมต่ออย่างยิ่ง ตัวอย่างเช่นดูกระดาษของแฟรงก์ ขั้นตอนวิธีการเมื่อเร็ว ๆ นี้ที่ให้บริการโดยอิวาตะและโคบายาชิ

ผลลัพธ์นี้ควรมีประโยชน์สำหรับการแก้ปัญหาที่เกิดขึ้น ปัญหาแรกที่สามารถแก้ไขได้โดยวิธีการ Tomek เสนอ ดังนั้นเราจะเน้นปัญหาอื่น ๆ

สำหรับปัญหาที่สองเราใช้การสร้างกราฟแบบถ่วงน้ำหนักแบบเดียวกับ Tomek และหาการวางแนวเชื่อมต่อที่มีต้นทุนต่ำที่สุดในเวลาพหุนาม

สำหรับปัญหาที่สามเพื่อให้ทั้งสองทิศทางสำหรับแต่ละขอบเราทำซ้ำแต่ละขอบแล้วใช้โครงสร้างที่เหมือนกันและอัลกอริทึมเดียวกัน นี่คือการลดที่ถูกต้องเนื่องจากใช้ทิศทางเดียวกันสำหรับขอบที่ซ้ำกันจะไม่ส่งผลกระทบต่อการเชื่อมต่อที่แข็งแกร่ง

นี่คือคำตอบสำหรับปัญหาแรก:
พิจารณากราฟถ่วงน้ำหนักใหม่โดยที่E ′ = { ( u , v , 0 ) | ( u , v ) ∈ E } ∪ { ( v , u , 1 ) | ( u , v ) ∈ E } (น้ำหนักของขอบทั้งหมดที่อยู่ใน$G'=(V,E')$$E'=\{(u,v,0)|(u,v) \in E\} \cup \{(v,u,1)|(u,v)\in E \}$$G$เป็น 0 และน้ำหนักของขอบ 'กลับด้าน' คือ 1) ตอนนี้คุณเพียงแค่ต้องไปหาเส้นทางที่สั้นที่สุดจากไปที$s$$t$

การเชื่อมต่อ Min-Flip st นั้นสมบูรณ์แบบ NL หากคุณวลีปัญหาการตัดสินใจว่า "มีเส้นทางเซนต์ที่ต้องพลิกที่ขอบมากที่สุดหรือไม่" มันเป็นเรื่องยากเพราะมันมีการเชื่อมต่อเซนต์เป็นกรณีพิเศษสำหรับk = 0และมันอยู่ใน NL เพราะคุณสามารถเดาเส้นทางจากsถึงtที่ใช้ขอบพลิกบางและสำรวจมันทีละขอบทำให้เคาน์เตอร์ ตรวจสอบให้แน่ใจว่าไม่มีการย้อนกลับเกินขอบ$k$$k=0$$s$$t$$k$

ในหนังสือเล่มล่าสุดของฉันการเชื่อมต่อในการเพิ่มประสิทธิภาพ Combinatorial (Oxford University Press, 2011) ชุดรูปแบบกลางคือปัญหาการวางแนวกราฟรวมถึงรูปแบบที่กล่าวถึงข้างต้น เป็นที่ทราบกันว่ากราฟที่เชื่อมต่อกับขอบ 2k มีการวางแนวที่เชื่อมต่อกับ k-edge (นี่คือทฤษฎีบทของ Nash-Williams) หากกราฟไม่ได้เชื่อมต่อกับขอบ 2k อาจมีความสนใจในการตัดสินใจว่าเซตย่อย F ของขอบที่ได้รับนั้นดีหรือไม่ (ในแง่ที่ว่า F มีการวางแนวเพื่อให้กราฟผสมที่ได้นั้นเชื่อมโยงกับ k-edge) ในหนังสือฉันอธิบายว่าปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม แต่ฉันไม่ทราบวิธีการหาชุดหัวใจขั้นต่ำที่ดี

Andras Frank

Min-Flip st-connection Base: คำนวณจุดยอดทั้งหมดที่เข้าถึงได้จาก s (T) ถ้า t อยู่ใน T หยุด อุปนัย: พิจารณาจุดยอดทั้งหมดที่ไม่ได้อยู่ใน T ที่อยู่ติดกับ T ด้วยการกดหนึ่งครั้งแล้วเรียก U นี้คำนวณจุดยอดที่เข้าถึงได้จาก U เรียก V นี้ถ้า t เป็น V หยุดมิฉะนั้นเพิ่ม V เป็น T และดำเนินการต่อ

การเชื่อมต่อที่รัดกุมขั้นต่ำคุณต้องหมายถึงยกเลิกการเชื่อมต่อโดยตรงเนื่องจากคุณจะมีปัญหากับ: A -> B