NP-hardness ของกรณีพิเศษของการแบ่งพาร์ติชัน

พิจารณาปัญหาต่อไปนี้

ด้วยชุดของจำนวนบวกซึ่งเป็นค่าคงที่เราต้องการแบ่งพาร์ติชันของเซตเป็น ส่วนย่อยของขนาดเพื่อให้ผลิตภัณฑ์ของผลรวมของแต่ละชุดย่อย ถูกขยายให้ใหญ่สุด $n = k m$ $\{ a_1, \dots, a_n \}$ $k \ge 3$ $m$ $k$

ปัญหาค่อนข้างคล้ายกับการแบ่งพาร์ติชัน way ที่รู้จักกันดียกเว้นเรามีข้อ จำกัด เกี่ยวกับจำนวนของหมายเลขในแต่ละพาร์ติชัน สำหรับสามารถเสนออัลกอริทึมพหุนามแบบง่าย ๆ ดังต่อไปนี้ $m$ $k = 2$

ตัวเลขสมมติจะถูกเรียงลำดับคือ nแล้วสำหรับกำหนด จะเซตสำหรับ , กำหนดให้เซต 1 $a_1<a_2<...<a_n$ $i≤m$ $a_i$ $i$ $i>m$ $n−i+1$

มันไม่ยากที่จะดูว่าทำไมอัลกอริทึมทำงาน เพียงแค่เลือกถังขยะสองถัง การสลับใด ๆ ในหมายเลขจะไม่เพิ่มจำนวนของผลิตภัณฑ์

แต่สำหรับใหญ่กว่าฉันสงสัยว่าปัญหาจะสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามหรือไม่? ฉันจะต้องขอบคุณเช่นกันหากใครบางคนสามารถแสดงให้เห็นว่ามันเป็น np-hardness $k$

หมายเหตุ: ฉันพบปัญหาในขณะที่ฉันกำลังทำงานกับปัญหาการตั้งเวลาในเครือข่ายไร้สาย ฉันพบอัลกอริทึมฮิวริสติกที่ดีเพื่อแก้ปัญหา แต่หลังจากนั้นไม่นานฉันคิดว่าปัญหาอาจน่าสนใจในทางทฤษฎี

— ฮีเลียม
แหล่งที่มา

k = 2

$k=2$

@Mohsen ขอบคุณ ฉันขอแนะนำให้คุณใส่ความคิดเห็นเหล่านี้เกี่ยวกับแรงบันดาลใจภูมิหลังและสิ่งที่คุณรู้เกี่ยวกับกรณี k = 2 ในคำถาม นั่นอาจทำให้คนอื่นสนใจ

— Kaveh

สัญชาตญาณของฉันคือผลผลิตของผลรวมของแต่ละเซตย่อยจะถูกขยายให้ใหญ่สุดเมื่อผลรวมมีค่าเท่ากันหรือความแตกต่างของจำนวนคู่ที่มากที่สุดนั้นน้อยที่สุด ภายใต้สมมติฐานนี้เราได้รับการลดลงอย่างง่ายดายจาก 3 พาร์ติชันซึ่งเป็น NP-complete (สำหรับ k = 3)

— Mohammad Al-Turkistany

(ฉันลบความคิดเห็นสองข้อที่ฉันโพสต์เมื่อไม่กี่ชั่วโมงก่อนเพื่อเขียนให้ถูกต้องมากขึ้น) ตามที่ชาวตุรกีแนะนำปัญหาพาร์ติชัน k สามารถลดปัญหานี้ได้และดังนั้นปัญหานี้จึงเป็นปัญหาสำหรับทุกค่าคงที่k≥3 คุณสมบัติที่เกี่ยวข้องเพียงอย่างเดียวคือจำนวนสูงสุดของผลรวมของผลิตภัณฑ์นั้นคืออย่างน้อย (∑a_i / k) ^ m ถ้าหากสามารถแบ่งพาร์ติชั่นเป็น m ได้แต่ละชุดจะมีขนาด k ซึ่งผลรวมจะเท่ากันทั้งหมด ผลิตภัณฑ์ไม่ได้ถูกขยายให้ใหญ่ที่สุดเสมอโดยพาร์ติชั่นที่ลดความแตกต่างของจำนวนคู่สูงสุด แต่ก็ไม่เกี่ยวข้องตราบใดที่เราพิจารณาปัญหาที่แน่นอน (เพิ่มเติม)

— Tsuyoshi Ito

(ต่อ) หากคุณต้องการให้อินพุตเป็นชุดแทนที่จะเป็นชุดมัลติเซตการลดลงนี้ยังคงใช้ได้เนื่องจากปัญหา k-partition ยังคง NP-complete แม้จะมีชุด แต่ต้องระวังเพราะหลักฐานการพิสูจน์ความสมบูรณ์แบบ NP ของปัญหา 3 พาร์ติชันจะทำงานก็ต่อเมื่ออินพุตได้รับอนุญาตให้มีจำนวนเต็มที่เท่ากันมากกว่าหนึ่งครั้ง ดูการคำนวณความซับซ้อนของปัญหา 3 พาร์ติชันด้วยตัวเลขที่แตกต่าง (ข้อควรระวัง: การโปรโมตตนเอง)

— Tsuyoshi Ito

(นี่เป็นความคิดเห็นของฉันเกี่ยวกับคำถามที่มีรายละเอียดเพิ่มเติม)

ในฐานะที่เป็น turkistany ปัญหาในความคิดเห็นในคำถามที่ว่าปัญหานี้เป็นปัญหา NP-ยากสำหรับทุกคนคงk ≥3จากการลดลงจากที่kปัญหา -partition การลดจะไม่เปลี่ยนอินสแตนซ์เลย: เพียงแค่ทราบว่าผลรวมสูงสุดของผลิตภัณฑ์นั้นคืออย่างน้อย (∑ a _i / k ) ^mหากและถ้าหากสามารถแบ่งพาร์ติชั่นเป็นm ได้แต่ละชุดมีขนาดkซึ่งเป็นผลรวม ทั้งหมดเท่ากัน

โปรดทราบว่าการป้อนข้อมูลไปยังปัญหาk -partition มักจะถูกกำหนดให้เป็นหมายเลขกิโลเมตรซึ่งอาจไม่ชัดเจนทั้งหมดและนี่เป็นสิ่งสำคัญในการพิสูจน์มาตรฐานของความสมบูรณ์แบบ NP (เช่นหนึ่งในGarey และ Johnson ) ดังนั้นการลดลงข้างต้นเพียงพิสูจน์ความแข็ง NP ของการวางนัยทั่วไปเล็กน้อยของปัญหาปัจจุบันที่อินพุตได้รับอนุญาตให้เป็นชุดมัลติเซ็ตแทนชุด อย่างไรก็ตามช่องว่างนี้สามารถเติมได้เนื่องจากปัญหาk -partition ยังคงเป็นปัญหาที่สมบูรณ์แม้ว่าตัวเลขในอินพุตจะต้องแตกต่างกันทั้งหมด ดู [HWW08] สำหรับกรณีของk = 3 (ดูคำตอบของ Serge Gaspersคำถามอื่น) ซึ่งสามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายสำหรับค่าk ที่มากขึ้น

นอกจากนี้ทุกสิ่งที่ระบุไว้ที่นี่ยังคงเป็น NP-complete / NP-hard แม้ว่าตัวเลขในอินพุตจะได้รับเป็นค่าเดียว

[HWW08] Heather Hulett, Todd G. Will, Gerhard J. Woeginger การหาปริพันธ์หลายระดับเพื่อให้ได้ปริญญา: การทำให้เป็นเรื่องง่ายที่สุดการย่อขนาดนั้นทำได้ยาก จดหมายงานวิจัยปฏิบัติการ , 36 (5): 594–596, ก.ย. 2008 http://dx.doi.org/10.1016/j.orl.2008.05.004

— Tsuyoshi Ito
แหล่งที่มา