อะไรคือความยากลำบากในการรูทจากกราฟไปจนถึงไฮเปอร์กราฟกราฟ

10

มีหลายตัวอย่างใน combinatorics และวิทยาการคอมพิวเตอร์ที่เราสามารถวิเคราะห์ปัญหาทางทฤษฎีกราฟได้ แต่สำหรับไฮเปอร์กราฟของอะนาล็อกปัญหาเครื่องมือของเรายังขาดอยู่ ทำไมคุณคิดว่าปัญหามักจะยากกว่ากราฟเปอร์กราฟ 3 ชุดมากกว่ากราฟ 2 ชุด? ปัญหารากคืออะไร?

ประเด็นหนึ่งก็คือเรายังไม่มีความเข้าใจที่น่าพอใจเกี่ยวกับทฤษฎีกราฟิคสเปกตรัม โปรดอย่าลังเลที่จะเปิดเผยเพิ่มเติมเกี่ยวกับปัญหานี้ แต่ฉันก็กำลังหาเหตุผลอื่นที่ทำให้กราฟิควัตถุยากขึ้น

graph-theory co.combinatorics hypergraphs

— Arnab
แหล่งที่มา

ฉันสงสัยว่าสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับการอภิปรายเมื่อเร็ว ๆ นี้เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงในความซับซ้อนของปัญหาทางเรขาคณิตตั้งแต่ 2D เป็น 3D ( cstheory.stackexchange.com/questions/5251/ … ) เหตุผลที่ฉันพูดแบบนี้ก็คือคุณสามารถเชื่อมโยงขอบในกราฟ 2 ชุดกับสถานที่บนโครงตาข่าย 2 มิติในขณะที่กราฟไฮเปอร์ 3 ชุดจะมีไฮเปอร์ดอร์ที่สอดคล้องกับตำแหน่งในตาข่าย 3 มิติ

— Joe Fitzsimons

@ Joe Fitzsimons: จุดดี แต่แนวคิดและเทคนิคที่เป็นธรรมชาติในการตั้งค่ากราฟ (ไฮเปอร์) เช่นกราฟย่อยสีการแบ่งพาร์ติชัน ฯลฯ อาจไม่ใช่ธรรมชาติในการตั้งค่าทางเรขาคณิต นอกจากนี้ฉันเห็นด้วยกับคุณว่ามีการเปลี่ยนแปลง "สองถึงสาม" ในหลายพื้นที่

— arnab

2

คำถามของคุณยากเนื่องจากคำตอบที่น่าพอใจจะช่วยแก้ปัญหา P vs NP โปรดทราบว่าการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบนั้นง่ายสำหรับกราฟ 2 ชุดในขณะที่ยากสำหรับกราฟิคแบบ 3 ชุด

— Mohammad Al-Turkistany

ไฮเปอร์กราฟเป็นแนวคิดที่กำหนดไว้อย่างดีหรือไม่? (สำหรับสิ่งหนึ่งที่เว็บไซต์ตรวจการสะกดนี้ไม่ทราบเกี่ยวกับมัน :-) มันเป็นความสัมพันธ์ของความแปรปรวนแบบคงที่หรือตัวแปรหรือไม่?

— Tegiri Nenashi

ตกลงหลังจากเยี่ยมชมวิกิพีเดียฉันเห็นว่ามันไม่ใช่ความสัมพันธ์ แต่เป็นชุดครอบครัว คณิตศาสตร์กระแสหลักใช้แนวคิด "ไฮเปอร์กราฟ" นี้อย่างจริงจังหรือไม่?

— Tegiri Nenashi

8

ในคำถามนี้ฉันเข้าใจว่า "ความยากลำบาก" ไม่ได้หมายถึง "ยากที่จะคำนวณ" แต่เป็น "ยากที่จะเรียน"

ปัญหากราฟง่ายกว่า (อย่างน้อยสำหรับฉัน) ในการศึกษาเนื่องจากแนวคิดบางอย่างเกิดขึ้นที่เทียบเท่า กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าคุณต้องการสรุปคำถามสำหรับกราฟให้กับกราฟไฮเปอร์กราฟิคคุณต้องให้ความสนใจกับการสรุปที่ "ถูกต้อง" เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ

ตัวอย่างเช่นพิจารณาต้นไม้ สำหรับกราฟกราฟเป็นต้นไม้ถ้ามีการเชื่อมต่อและไม่มีวงจร สิ่งนี้เทียบเท่ากับการเชื่อมต่อและมีขอบ n-1 (โดยที่ n คือจำนวนจุดยอด) และเทียบเท่ากับที่ไม่มีวงจรและมีขอบ n-1 อย่างไรก็ตามสำหรับไฮเปอร์กราฟ 3 ชุดสมมติว่าไฮเปอร์กราฟ 3 ชุดเป็นต้นไม้ถ้ามันเชื่อมต่อกันและไม่มีวงจร แต่นี่ไม่เทียบเท่ากับการเชื่อมต่อและมีไฮเปอร์ด n-1 หรือไม่มีไฮดรอลิกและมีไฮดรอลิก n-1

ฉันเคยได้ยินความยากลำบากหลักในการพิสูจน์บทแทรกสำหรับกราฟิคที่เหมือนกันคือการหาคำจำกัดความที่ถูกต้องของระเบียบและแนวคิดที่เกี่ยวข้อง

เมื่อคุณต้องการพิจารณา "spectral hypergraph theory" คุณอาจลองดูเป็นเทนเซอร์หรือเป็น homology ถ้าคุณเห็นไฮเปอร์กราฟ k-uniform เป็น a (k-1) -imensional simplicial ซับซ้อนซึ่งพีชคณิตเชิงเส้นเกิดขึ้นโดยธรรมชาติ ฉันไม่ทราบว่าการวางแนว "ถูกต้อง" สำหรับจุดประสงค์ของคุณคืออะไรหรือเป็นไปได้ที่ไม่ถูก

— โยชิโอะโอกาโมโตะ
แหล่งที่มา

7

ฉันคิดว่านี่เป็นส่วนใหญ่เนื่องจาก "พลังลึกลับของ twoness" ของ Lawler (การสังเกตว่าปัญหาที่แปรผันหลายอย่างอยู่ใน P สำหรับ param = 2 และ NP-complete สำหรับparam≥3) กราฟเป็นสิ่งที่เชื่อมต่อจุดยอด 2 อันและกราฟระดับสูงเป็นสิ่งที่เชื่อมโยงจุดยอด k- tuples สำหรับk≥3

ดังนั้นเช่น 2-SAT อยู่ใน P และเป็นปัญหากราฟโดยหลักในขณะที่ 3-SAT เป็นปัญหาเกี่ยวกับกราฟไฮเปอร์ 3 ชุดและ NP-complete

— David Eppstein
แหล่งที่มา

1

เพื่อความแม่นยำยิ่งขึ้นฉันตั้งใจจะถามว่าใครสามารถระบุเหตุผลพื้นฐานบางอย่างว่าทำไมเทคนิคกราฟเชิงทฤษฎีสลาย ตัวอย่างเช่นเราไม่มีวิธีการเชิงเส้นพีชคณิตเชิงเส้นสำหรับไฮเปอร์กราฟกราฟเพราะอันดับเทนเซอร์ไม่เข้าใจดี (เช่นมันเป็นปัญหาที่ยากต่อการคำนวณ)

— arnab

1

เจตนาของคำตอบของฉันไม่มาก "ปัญหาเหล่านี้ยากสำหรับคอมพิวเตอร์ที่จะแก้ปัญหา" แต่ค่อนข้างจะมีความสัมพันธ์ที่ดีระหว่าง P / NPC และมี / ไม่มีลักษณะทางคณิตศาสตร์ที่ดี ดังนั้นปัญหาจึงยากที่จะศึกษาควบคู่ไปกับการเป็น NPC

— David Eppstein

7

ในบริบท นี้คำถามที่เพิ่งโพสต์ cstheory.stackexchange.com/questions/14950/..เป็นสิ่งที่น่าสนใจมาก: การรับรู้กราฟเส้นของ 2-hypergraphs คือกราฟเส้นของ (หลาย) กราฟอยู่ใน P ในขณะที่การรับรู้กราฟเส้นของ 3-hypergraphs ดูเหมือนจะเป็นปัญหาเปิด โปรดทราบว่าปัญหาการระบุลักษณะของกราฟ 3 มิติ (โดยห้ามกราฟย่อยย่อยที่ต้องห้าม) ยังคงเปิดอยู่ในขณะที่กราฟเส้นของกราฟ (หลายจุด) ยอมรับลักษณะเช่นนั้นหลายประการ

— vb le

5

อีกเหตุผลหนึ่งคือเรามีความรู้ในความสัมพันธ์แบบไบนารีมากกว่าความสัมพันธ์แบบ n-ary อื่น ๆ สำหรับ n มากกว่า 2

โดยปกติเราพิจารณาความสัมพันธ์แบบไบนารีระหว่างวัตถุเช่นคำคุณศัพท์การแยกที่ไม่ว่างเปล่าความเท่าเทียม ฯลฯ ดังนั้นเราสามารถกำหนดกราฟในแง่ของความสัมพันธ์แบบไบนารีและแม้แต่กำหนดกราฟตามความสัมพันธ์แบบไบนารีบนกราฟอื่น (ตัวอย่างเช่นกราฟเส้นต้นไม้ก๊กการสลายตัวของต้นไม้ ... )

แต่สำหรับความสัมพันธ์แบบ n-ary อื่น ๆ เราไม่มีความเข้าใจมากนัก ตัวอย่างเช่นใช้เวลาพอสมควรในการสร้างความสัมพันธ์แบบไตรภาคที่น่าสนใจ (โอเคบางส่วนเนื่องจากความเขลาของฉัน) คุณสมบัตินั้นอ่อนแอกว่าและเครื่องมือต่าง ๆ มีน้อยกว่ามากในการศึกษาความสัมพันธ์แบบไตรภาค (ทำวิธีที่เรากำหนดสมมาตรหรือtransitiveความสัมพันธ์ ternary? ทั้งของพวกเขาเป็นหนึ่งในความสัมพันธ์ที่มีความสำคัญมากที่สุดคนหนึ่งสามารถศึกษา.)

แต่ถึงกระนั้นฉันก็ไม่รู้ว่าทำไมสิ่งนี้จึงเกิดขึ้นระหว่างความสัมพันธ์แบบไบนารีและแบบไตรภาค อาจเป็นชาวตุรกีกล่าวว่าคำถามนี้ยากและอาจเกี่ยวข้องกับความเข้าใจปัญหา P / NP

— เซียน - จื้อฉาง張顯之
แหล่งที่มา

[Algebras แบบทรงกระบอกและแบบ polyadic แต่ทว่า] ไม่มีพีชคณิตที่น่าสนใจสำหรับความสัมพันธ์แบบ n-ary การอภิปรายสามารถลดลงไปถึงระดับเมื่อหนึ่งแย้งตำแหน่งกับมุมมองที่มีชื่อกับคุณลักษณะความสัมพันธ์

— Tegiri Nenashi

2

ฉันเป็นคนแรกที่จะตอบคำถามที่ผิด: "ตัวอย่างของปัญหาที่ยากกว่าในกราฟแท่งกราฟมากกว่าในกราฟ" ฉันประทับใจเป็นพิเศษกับความแตกต่างในการจัดการกับปัญหาการจับคู่สูงสุดในกราฟและเหมือนกับกราฟไฮเพอร์กราฟ (ชุดของเส้นแบ่งที่ไม่ต่อเนื่องแบบคู่) ซึ่งง่ายมากในการทำโมเดลสี, ชุดอิสระสูงสุด ...

จากนั้นฉันสังเกตเห็นว่าไม่ใช่คำถามของคุณ: "อะไรคือความยากลำบากของรูทระหว่างทั้งสอง?"

ทีนี้ฉันจะตอบว่าจนถึงตอนนี้ฉันไม่ได้เห็นจุดทั่วไปมากระหว่างกราฟและกราฟ ยกเว้นชื่อตัวเอง และความจริงที่ว่าผู้คนจำนวนมากพยายามที่จะ "ขยาย" ผลลัพธ์จากที่หนึ่งไปยังอีก

ฉันมีโอกาสพลิกหน้าของ "Hypergraphs" ของ Berge และ Bollobas '"Set systems": พวกมันมีผลลัพธ์ที่อร่อยมากมายและสิ่งที่ฉันคิดว่าน่าสนใจที่สุดมีเพียงเล็กน้อยที่จะพูดเกี่ยวกับกราฟ ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทของบารัญนัย (มีหลักฐานที่ดีในหนังสือของจัคนา)

ฉันไม่รู้จักพวกเขามากนัก แต่ฉันกำลังคิดเกี่ยวกับปัญหาไฮเปอร์กราฟในขณะนี้และที่ฉันสามารถพูดได้ก็คือฉันไม่รู้สึกว่ามีกราฟใด ๆ ซุ่มซ่อนอยู่รอบตัว บางทีเราคิดว่าพวกเขาเป็น "ยาก" เพราะเราแค่พยายามศึกษาพวกเขาด้วยเครื่องมือที่ผิด ฉันไม่คาดหวังว่าปัญหากราฟที่ฉันกำลังจะหายไปในทันทีโดยใช้ทฤษฎีตัวเลข (แม้ว่ามันจะเกิดขึ้นบางครั้ง)

โอ้และอย่างอื่น บางทีพวกเขาอาจจะยากที่จะศึกษาเพราะพวกเขารวมกันเป็น .... มากขึ้น?!

"ลองพวกเขาทั้งหมดและดูว่ามันทำงานอย่างไร" บางครั้งก็เป็นความคิดที่ดีสำหรับกราฟ แต่ด้วยกราฟไฮเปอร์กราฟก์ :-)

— Nathann Cohen
แหล่งที่มา