จำนวนแต่งงานสูงสุดที่มั่นคงสำหรับตัวอย่างของปัญหาการแต่งงานที่มีเสถียรภาพคืออะไร?

24

ปัญหาการแต่งงานที่มั่นคง: http://en.wikipedia.org/wiki/Stable_marriage_problem

ฉันทราบว่าสำหรับอินสแตนซ์ของ SMP นั้นการแต่งงานที่มีเสถียรภาพอื่น ๆ อีกมากมายนั้นเป็นไปได้นอกเหนือจากขั้นตอนวิธีการส่งคืนโดย Gale-Shapley อย่างไรก็ตามถ้าเราได้รับเพียง , จำนวนชาย / หญิง, เราถามคำถามต่อไปนี้ - เราสามารถสร้างรายการการตั้งค่าที่ให้การแต่งงานที่มีจำนวนสูงสุดได้หรือไม่? ขอบเขตบนของจำนวนนั้นคืออะไร? $n$

— เรียง
แหล่งที่มา

24

สำหรับตัวอย่างที่มีชายและหญิงขอบเขตบนที่สำคัญคือและไม่มีอะไรดีกว่าเป็นที่รู้จัก สำหรับขอบเขตล่าง, นู (1976)จะช่วยให้ครอบครัวที่ไม่มีที่สิ้นสุดของอินสแตนซ์กับจ้อเสถียรภาพและเทอร์เบอร์ (2002)ขยายครอบครัวนี้ทุกn $n$ $n$ $n!$ $\Omega(2.28^n)$ $n$

— เสิร์จ Gaspers
แหล่งที่มา

4

ที่จริงแล้วฉันเชื่อว่าครอบครัวของอินสแตนซ์นี้ (สำหรับผู้มีอำนาจสองคน) นั้นเกิดจากเออร์วิงและเลเธอร์และนูทได้พิสูจน์ว่าความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นอีกครั้งที่ครอบครัวนี้พึงพอใจคือ

Ω ({2.28}^{n})

$\Omega(2.28^n)$

— gstat

1

RW Irving และ P. Leather ความซับซ้อนของการนับการแต่งงานที่มั่นคง สยามวารสารคอมพิวเตอร์, 15: 655-667,1986

— gstat

18

ผูกพันบนของจำนวนสูงสุดของจ้อมั่นคงสำหรับอินสแตนซ์แต่งงานมีเสถียรภาพจะได้รับในวิทยานิพนธ์ปริญญาโทของฉันและมันจะขยายไปยังปัญหา Stable เพื่อนร่วมห้องเช่นกันผูกไว้เป็นของขนาดและมันสามารถ แสดงให้เห็นว่ามันเป็นจริงของขนาดขวา) $O(n!/2^n)$ $O\left((n!)^\frac{2}{3}\right)$

เอกสารนี้เป็นวิทยานิพนธ์หมายเลข 97 ในหน้าhttp://mpla.math.uoa.gr/msc/

— gstat
แหล่งที่มา

7

เลขชี้กำลังผูกไว้บนที่ได้รับในแอนนาอาร์คาร์ลิน, Shayan Oveis Gharan ร็อบบี้ Weber: เพียงแค่ชี้แจงขอบเขตบนจำนวนสูงสุดของจ้อ

— domotorp
แหล่งที่มา

4

มันเป็นที่รู้จักกันดีว่าเป็นตัวอย่างของผู้ชาย / ผู้หญิงสามารถมีจำนวนชี้แจง ( ) ของจ้อมั่นคง แต่ให้แน่นผูกไว้บนยังคงเปิดอยู่ ดูสารานุกรมอัลกอริทึมhttp://www.amazon.com/dp/0387307702 $n$ $O(2^n)$

— Snowie
แหล่งที่มา

2

ประโยคนี้ทำให้เข้าใจผิด แต่ฉันคิดว่ามันอ้างแค่ขอบเขตล่างแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล: หนึ่งในปัญหาที่เปิดโดย Knuth ในเอกสารต้นของเขาเกี่ยวกับการแต่งงานที่มั่นคง [11] คือการกำหนดจำนวน xn ที่เป็นไปได้สูงสุด เกี่ยวข้องกับชายและหญิง ปัญหานี้ยังคงเปิดอยู่แม้ว่าตัวเอง Knuth แสดงให้เห็นว่า xn เติบโตอย่างทวีคูณด้วย n เออร์วิงก์แอนด์เลเธอร์ [8] การคาดคะเนว่าเมื่อ n เป็นพลังของ 2 ฟังก์ชันนี้จะตอบสนองการเกิดซ้ำ

x_{n} = 3 x_{n / 2}^{2} - 2 x_{n / 4}^{4}

$x_n = 3x^2_{n/2} - 2x^4_{n/4}$

— domotorp

1

ผลลัพธ์ที่น่าสนใจเกี่ยวกับปัญหานี้สามารถพบได้ในหน้า 24 และ 25 ของหนังสือ: ปัญหาการแต่งงานที่มั่นคงโดย Dan Gusfield และ Robert Irving, MIT Press, 1989

— Joseph Malkevitch
แหล่งที่มา