การคาดเดาหมายถึงทฤษฎีบทสี่สี

ทฤษฎีบทสี่สี (4CT) ระบุว่ากราฟระนาบทุกอันมีสี่สี มีหลักฐานสองข้อที่ให้ [Appel, Haken 1976] และ [Robertson, Sanders, Seymour, Thomas 1997] หลักฐานทั้งสองนี้ใช้คอมพิวเตอร์ช่วยและค่อนข้างน่ากลัว

มีการคาดเดาหลายอย่างในทฤษฎีกราฟที่บ่งบอกถึง 4CT การแก้ปัญหาของการคาดเดาเหล่านี้อาจต้องการความเข้าใจที่ดีขึ้นเกี่ยวกับการพิสูจน์ 4CT นี่คือการคาดเดาหนึ่งอย่าง:

การคาดเดา : ให้เป็นกราฟระนาบปล่อยให้Cเป็นชุดของสีและf : C → Cการมีส่วนร่วมอย่างอิสระ ให้L = ( L v : v ∈ V ( G ) )เป็นเช่นนั้น$G$$C$$f : C \rightarrow C$$L = (L_v : v \in V(G))$

• สำหรับทุก v ∈ Vและ$|L_v| \geq 4$$v \in V$
• ถ้าแล้วฉ( α ) ∈ L โวลต์สำหรับทุกวี∈ Vสำหรับทุกα ∈ C$\alpha \in L_v$$f(\alpha) \in L_v$$v \in V$$\alpha \in C$

จากนั้นมีอยู่ -coloring ของกราฟG$L$$G$

หากคุณรู้ว่าการคาดเดาดังกล่าวหมายถึง 4CT โปรดระบุหนึ่งข้อในแต่ละคำตอบ ฉันไม่สามารถหารายการการคาดเดาที่ครอบคลุมได้

4CT เทียบเท่ากับ:

• ระบายสี hypergraph เกิดจากครอบครัวที่ จำกัด ของแผ่นดิสก์ (เคล็ดไม่จำเป็นต้องตกแต่งภายใน แต่ยังแผ่นดิสก์ที่อาจมีการทับซ้อนโดยพล) ที่มีมากที่สุดในสี่สี ]$[1]$
• ข้อเสนอว่าทุกสมการระนาบที่มีมากกว่าสามจุดเป็นสหภาพของสองเชื่อมต่อกราฟสองส่วนแต่ละที่ไม่มีคอคอด ]$[2]$
• ปัญหา combinatorial เกี่ยวกับพีชคณิตเวกเตอร์สามมิติสินค้าข้าม ]$[3]$
• ข้อเสนอที่ G ไวยากรณ์คลุมเครือทั้งหมด ]$[4]$
• สำหรับการใด ๆ จำนวนเต็มบวกมีอยู่อย่างน้อยเส้นทาง signable เข้าร่วมสองพีชคณิตS n$n$$S_n$

• การเปรียบเทียบพีชคณิตของทฤษฎีบทสี่สีนั้นถูกนำเสนอ เทียบเท่าคือการยืนยันที่ไม่ใช่สมาชิกของครอบครัวของพหุนามในครอบครัวอุดมคติของพหุนามเหนือฟิลด์ จำกัด เฉพาะ ]$[6]$

  1. Smorodinsky เอสในสีจำนวนของ hypergraphs
  2. Mabry อาร์ฝ่ายกราฟและสี่สีทฤษฎีบท
  3. คอฟฟ์แมน LH แผนที่ระบายสีและเวกเตอร์สินค้าข้าม
  4. Cooper BJ และคณะ ต่อหลักฐานภาษาตามทฤษฎีของทฤษฎีบทสี่สี
  5. Eliahou S. et al. พีชคณิตลงนามและทฤษฎีบทสี่สี
  6. ฮาวเวิร์ดลิตรพีชคณิต reformulation ของสี่สีทฤษฎีบท

อีกประการหนึ่งการตรวจสอบทางกลของทฤษฎีบท 4 สีได้กระทำโดยจอร์จ Gonthierที่ Microsoft Research เคมบริดจ์ ความแตกต่างกับข้อพิสูจน์ของเขาคือทฤษฎีบททั้งหมดได้รับการระบุและตรวจสอบทางกลไกโดยใช้ผู้ช่วยพิสูจน์แบบ Coq ในขณะที่หลักฐานอื่น ๆ มีเพียงการคำนวณเคอร์เนลที่เขียนในภาษาแอสเซมบลีและ C และมีความเสี่ยง หลักฐานของ Gonthier ครอบคลุมทั้งด้านการคำนวณและตรรกะใน Coq เพียง 60,000 บรรทัด

ฉันได้พูดคุยเกี่ยวกับเรื่องนี้ในบล็อกของฉันและข้อมูลเชิงลึกของเราคือ: ตัวอย่างเช่นเงื่อนไขของ Tait สามารถลดลงได้มีสีที่มีข้อผิดพลาด o (n) มากที่สุด ดูที่นี่: http://rjlipton.wordpress.com/2009/04/24/the-four-color-theorem/

ดู T. Saaty รูปแบบสีสันสดใสสิบสามรายการบนการคาดเดา 4 สีแบบอเมริกันของ Guthrie รายเดือน 79 (1972) 2-43 สำหรับตัวอย่างมากมาย

นอกจากนี้ในสมุดระบายสีแผนที่ของ David Barnette, Polyhedra และปัญหาสี่สี, MAA, Dolciani Series, เล่มที่ 8, 1983 มีตัวอย่างมากมาย สิ่งหนึ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษในหนังสือของ Barnete คือ: ถ้ามันเป็นไปได้ที่จะตัดจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนออกมาเพื่อสร้างรูปหลายเหลี่ยม 3-valent นูนเพื่อให้จำนวนด้านของใบหน้าแต่ละหน้าเป็นสามเท่า ความจริงของการคาดเดาสี่สี

Hadwiger คาดเดา

ในระนาบ Absolute Planar Retracts และ Four Color Conjecture , Pavol Hell ได้พิสูจน์สูตรที่เทียบเท่าหลายประการสำหรับ 4CT หนึ่งในนั้นอ่านดังนี้

กราฟระนาบทุกอันมี 4 สี (4CT) iff มีการดึงกลับระนาบสัมบูรณ์

$H$$G$$G$$r: V(G)\to V(H)$$r(v)=v$$v\in V(H)$

กราฟระนาบลูกบาศก์ไร้บริดจ์ทุกตัวมี 3 สีขอบ (นี่เทียบเท่ากับ 4CT เนื่องจาก Tait)

บทความของ Dror Bar-Natan "Lie Algebras และ The Four Color Theorem" (Combinatorica 17-1 (1997) 43-52, ปรับปรุงล่าสุดตุลาคม 1999, arXiv: q-alg / 9606016 ) มีข้อความที่น่าสนใจเกี่ยวกับ Lie algebras ที่เทียบเท่ากับ ทฤษฎีบทสี่สี ความคิดที่ปรากฏในคำแถลงยังปรากฏในทฤษฎีของค่าคงที่แบบ จำกัด ของนอต (Vassiliev invariants) และ 3-manifolds

ข้อเสนอ 2.4 ในบทความนี้http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0012365X9500109A#ให้สูตรอีกแบบสำหรับ 4CT

$G$$\Delta(G)$$G$$G$$\Delta(G)$$G$$G$$\Delta(G)$$\Delta(G)$

$G$$K(G)$$G$$K(G)$$G$
$G$$K(G)$

คำอธิบายระดับสูงของการพิสูจน์อัตโนมัติโดย Gonthier นั้นควรค่าแก่การอ่านหากคุณกำลังมองหาข้อมูลเชิงลึกมากขึ้น

Yuri Matiyasevich ศึกษาการปรับตั้งค่าความน่าจะเป็นหลายครั้งของทฤษฎีบทสี่สีซึ่งเกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์เชิงบวกระหว่างแนวคิดสองประการที่มีความคล้ายคลึงกันระหว่างการระบายสี การพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของเขานั้นขึ้นอยู่กับพหุนามกราฟที่เกี่ยวข้องซึ่งเป็นตัวชี้แนวโน้มการอนุมานที่บ่งบอกถึงทฤษฎีบทอื่น

• Georges Gonthier, หลักฐานทางการ - ทฤษฎีบทสี่สี , ประกาศของสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน55 (11) 1382–1393, 2008
• ยูริ Matiyasevich หนึ่งที่น่าจะเป็นของสี่สีคาดเดาแปลกระดาษใน Teoriya Veroyatnostei ฉัน ee Primeneniya 48 411-416, 2546
• Yuri Matiyasevich, การปรับความน่าจะเป็นบางอย่างของการคาดคะเนสี่สี , วารสารทฤษฎีกราฟ46 167–179, 2004. ( preprint )

ฉันเพิ่งอ่านกระดาษของ Chalopin และGonçalves (STOC '09) การคาดคะเนของ West ต่อไปนี้:

กราฟระนาบทุกตัวคือกราฟตัดกันของส่วนต่างๆในระนาบโดยใช้เพียงสี่ทิศทาง

เนื่องจากส่วนที่ขนานกันก่อให้เกิดชุดอิสระในการเป็นตัวแทนดังกล่าวการคาดเดานี้หมายถึง 4CT แต่อาจจะแข็งแกร่งกว่านี้

อ้างอิง: เวสต์ปัญหาเปิด จดหมายข่าวคณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง SIAM J, 2 (1): 10-12, 1991

Snarkเป็นที่เชื่อมต่อลูกบาศก์กราฟ bridgeless ที่ไม่ได้เป็น 3 ขอบ colorable วิกิพีเดียดังต่อไปนี้การคาดคะเนของ snarkซึ่งเป็นการสรุป 4CT มีดังนี้

Snark ทุกตัวมีกราฟย่อยที่สามารถเกิดขึ้นได้จากกราฟของ Petersen โดยแบ่งย่อยบางส่วนของขอบ

อีกครั้งตามวิกิพีเดียหลักฐานการคาดเดานี้ถูกประกาศในปี 2001 โดย Robertson, Sanders, Seymour และ Thomas

"การติดฉลากใบหน้าของกราฟระนาบสูงสุด" เป็นชื่อของกระดาษเก่าของฉันซึ่งได้รับการตีพิมพ์เมื่อเร็ว ๆ นี้ซึ่งฉันได้เปลี่ยนกราฟระนาบระนาบสูงสุด 4 สีให้กลายเป็นความสม่ำเสมอของการติดฉลากใบหน้า ลิงก์ไปยังกระดาษคือhttp://www.math.nsysu.edu.tw/~amen/2011/091021-3.pdf

เช่น

LH Kauffman ปฏิรูปทฤษฎีบทแผนที่สี , คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง 302 (2005) 145–172

ชี้ให้เห็นว่าPrimality Principleเนื่องจาก G. Spencer-Brown และEliahou – Kryuchkov คาดว่าเป็นการปฏิรูปที่เทียบเท่ากับ FCT

• S. Eliahou พลิกผันในแนวทแยงและทฤษฎีบทสี่สีคือ European J. Combin 20 (1999) 641–646
• SI Kryuchkov ทฤษฎีบทสี่สีและต้นไม้ IV Kruchatov สถาบันพลังงานปรมาณูกรุงมอสโกปี 1992 IAE-5537/1
• G. Spencer-Brown, กฏหมายของฟอร์ม, Gesetze der Form, Bohmeier Verlag, 1997

Garry Bowlin และ Matthew G. Brin กระดาษ "ระบายสีระนาบกราฟผ่านเส้นทางสีใน Associahedra" แก้ไขล่าสุด 12 พฤษภาคม 2556, arXiv: 1301.3984 math.COมีการคาดเดาต่อไปนี้ในหน้า 26:

การคาดเดา 6.4. สำหรับทุกคู่ของ fi nite, ต้นไม้ไบนารี (D, R) ที่มีจำนวนใบไม้เท่ากันมีการกำหนดสัญลักษณ์ D และคำ w ของสัญลักษณ์การหมุนที่ใช้ได้สำหรับ D ดังนั้น Dw = R

มันระบุไว้ว่าการคาดเดา 6.4 จากข้อเสนอก่อนหน้าและทฤษฎีบทในกระดาษเทียบเท่ากับ 4CT

kไหลใน undirected กราฟGเป็นกราฟที่ได้มาโดยการเปลี่ยนขอบแต่ละในGที่มีส่วนโค้งและกำหนดเป็นจำนวนเต็มระหว่าง-kและkพิเศษเช่นว่าสำหรับแต่ละจุดสุดยอดใน G, ผลรวมของจำนวนเต็มที่ กำหนดให้ส่วนโค้งที่ชี้ไปยังจุดยอดนั้นเท่ากับผลรวมของจำนวนเต็มที่กำหนดให้ส่วนโค้งชี้ไปที่ NWZ (ไม่มีศูนย์) k -flow เป็นk -flow โดยที่ไม่มีการกำหนดส่วนโค้งจำนวน 0

สำหรับกราฟเชิงระนาบGใด ๆคู่ที่สองของGคือกราฟที่มีจุดยอดหนึ่งจุดสำหรับแต่ละใบหน้าในการฝังภาพถ่ายด้วย Gและสองจุดในสองส่วนแบ่งหนึ่งขอบเชื่อมต่อพวกเขาสำหรับทุกขอบว่าใบหน้าที่สอดคล้องกันในGหุ้นระหว่างพวกเขา ในขอบเขตของพวกเขา ตาม Tutte ไหลของสีคู่ทฤษฎีบทภาพถ่ายกราฟไม่มีคอคอด (เช่นขอบที่มีการลบจะเพิ่มจำนวนขององค์ประกอบ) มี NWZ kไหลและถ้าหากมันเป็นแบบ dual k -colourable กล่าวอีกนัยหนึ่งคือกราฟระนาบเป็นแบบ 4 สีถ้าหากคู่ของมันมี NWZ 4-flow

โปรดทราบว่า 4CT ต้องการกราฟระนาบที่เป็นปัญหาเพื่อที่จะไม่มีลูป (ขอบเชื่อมจุดสุดยอดใด ๆ กับตัวเอง) เพราะกราฟใด ๆ ที่มีลูปไม่สามารถใช้สีจุดสุดยอดกับชุดสีใด ๆ ได้เนื่องจากจุดยอดใด ๆ ที่มีลูป จุดสุดยอดของสีเดียวกันโดยไม่คำนึงถึงสีของมัน

ฉันกำลังทำงานกับสิ่งนี้:

หากคุณสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทของแผนที่สี่เหลี่ยมนั่นคือแผนที่ที่ทำจากแผ่นกระดาษที่ทับซ้อนกันคุณก็พิสูจน์ได้ว่า 4ct นอกจากนี้ยังสามารถพิจารณาเฉพาะแผนที่ที่มีใบหน้าที่มีทั้ง 5 ขอบขึ้นไปในการค้นหา

ดูhttp://4coloring.wordpress.com/สำหรับรายละเอียด