ความคลุมเครือและตรรกะ

ในทฤษฎีออโตมาตะ (จำกัด ออโตมาตะ, กดออโตมาตะ, ... ) และในความซับซ้อนมีความคิดเกี่ยวกับ "ความกำกวม" หุ่นยนต์ไม่ชัดเจนถ้ามีคำที่มีอย่างน้อยสองวิ่งการยอมรับความแตกต่าง เครื่องเป็น -ambiguous ถ้าทุกคำพูดรับการยอมรับจากเครื่องที่มีมากที่สุดวิ่งที่แตกต่างกันที่จะยอมรับWk w k $w$$k$$w$$k$$w$

ความคิดนี้ถูกกำหนดผ่านไวยากรณ์ที่ไม่มีบริบท: ไวยากรณ์จะคลุมเครือหากมีคำที่สามารถรับได้ในสองวิธีที่แตกต่างกัน

มันเป็นที่รู้จักกันว่าหลายภาษามีลักษณะทางตรรกะที่ดีกว่ารุ่น จำกัด (ถ้าภาษาเป็นปกติมีสูตรลำดับที่สองแบบ monadicอยู่เหนือคำเช่นนั้นทุกคำที่ของเป็นแบบจำลองของเช่นเดียวกับ NP หากเทียบเท่ากับสูตรลำดับที่สองที่ทุก ๆ ลำดับที่ 2 มีอยู่ .)ϕ w L $L$$\phi$$w$$L$$\phi$

ดังนั้นคำถามของฉันอยู่ที่ขอบของทั้งสองโดเมน: มีผลใด ๆ หรือแม้กระทั่งคำจำกัดความที่ยอมรับได้ของ "ความกำกวม" ของสูตรของตรรกะที่กำหนดหรือไม่

ฉันจินตนาการถึงคำจำกัดความบางอย่าง:

• $\exists x \phi(x)$ไม่คลุมเครือถ้ามีมากที่สุดคนหนึ่ง$x$ดังกล่าวว่า$\phi(x)$ถือและไม่คลุมเครือ $\phi(x)$
• $\phi_0\lor\phi_1$จะคลุมเครือหากมีทั้งแบบจำลองและหรือถ้าคลุมเครือ ϕ 1 ϕ $\phi_0$$\phi_1$$\phi_i$
• สูตร SAT จะไม่คลุมเครือหากมีการมอบหมายที่ถูกต้องอย่างน้อยหนึ่งครั้ง

ดังนั้นฉันสงสัยว่ามันเป็นความคิดที่รู้จักกันดีมิฉะนั้นอาจเป็นเรื่องที่น่าสนใจที่จะลองทำการวิจัยในหัวข้อนี้ หากความคิดเป็นที่รู้จักใครสามารถให้คำหลักที่ฉันสามารถใช้ในการค้นหาข้อมูลเกี่ยวกับเรื่องนี้ (เพราะ "ความกำกวมตรรกะ" ให้ผลลัพธ์ที่ไม่เกี่ยวข้องจำนวนมาก) หรือการอ้างอิงหนังสือ / pdf / บทความ?

กฎในไวยากรณ์และกฎการอนุมานในเชิงตรรกะสามารถคิดได้ว่าเป็นกฎการผลิตซึ่งทำให้เรา "สิ่งใหม่" จาก "สิ่งที่รู้จัก" เช่นเดียวกับที่อาจมีหลายวิธีในการสร้าง (หรือแยกวิเคราะห์) คำที่เกี่ยวกับไวยากรณ์ดังนั้นอาจมีหลายวิธีในการสร้าง (หรือพิสูจน์) สูตรตรรกะ การเปรียบเทียบนี้สามารถวาดเพิ่มเติมได้ ตัวอย่างเช่นระบบโลจิคัลบางระบบยอมรับรูปแบบการพิสูจน์ตามปกติ ในทำนองเดียวกันไวยากรณ์บางอย่างยอมรับต้นไม้แยกวิเคราะห์ที่ยอมรับ

ดังนั้นฉันจะบอกว่าตัวอย่างของคุณจากตรรกะไปในทิศทางที่ผิด การเปรียบเทียบที่ถูกต้องคือ

"แยกวิเคราะห์ต้นไม้": "word" = "พิสูจน์": "สูตรตรรกะ"

ในความเป็นจริงไวยากรณ์ทั่วไปชนิดที่เพียงพอจะสามารถแสดงกฎการอนุมานทั่วไปของตรรกะเพื่อให้คำที่ถูกต้องตามหลักไวยากรณ์จะเป็นสูตรที่พิสูจน์ได้อย่างแม่นยำ ในกรณีนี้ต้นไม้ในการแยกวิเคราะห์จะเป็นหลักฐาน

ในทิศทางตรงกันข้ามถ้าเรายินดีที่จะคิดถึงกฎการอนุมานทั่วไป (ซึ่งไม่จำเป็นต้องมีรสชาดแบบดั้งเดิม) ทุกไวยากรณ์จะแสดงออกมาเป็นระบบของสัจพจน์ (เทอร์มินัล) และกฎการอนุมาน (โปรดักชั่น) และอีกครั้งเราจะเห็นว่าการพิสูจน์นั้นเหมือนกับต้นไม้แจง

แค่สองคำพูด ฉันหวังว่าพวกเขาช่วย

คำจำกัดความมาตรฐานของความหมายของตรรกะและความจริงเป็นไปตามการนำเสนอของ Tarski ดำเนินการโดยการเหนี่ยวนำในโครงสร้างสูตร ความเป็นไปได้อีกอย่างหนึ่งคือการให้ความหมายตามเกมตามที่ Hintikka แนะนำ ความจริงและความพึงพอใจล้วนกำหนดไว้ในแง่ของกลยุทธ์ในเกม สำหรับสูตรการสั่งซื้อครั้งแรกเราสามารถพิสูจน์ได้ว่าสูตรนั้นเป็นจริงภายใต้แนวคิดของ Tarski หากว่ามีกลยุทธ์ที่ชนะในเกม Hintikka

ในการทำคำถามของคุณให้เป็นทางการคุณสามารถถามได้ว่าเกมยอมรับกลยุทธ์หลายอย่างหรือไม่ นอกจากนี้ยังมีคำถามที่น่าสนใจเกี่ยวกับกลยุทธ์ที่ควรกำหนดไว้หรือไม่ ฮินติกาต้องการให้พวกเขาเป็นคนกำหนด การพิสูจน์ว่าความหมายดั้งเดิมของ Hintikka และความหมายของ Tarski นั้นเทียบเท่ากันต้องเป็นสัจพจน์ของ Choice ท่านสามารถทำให้ความจริงเป็นทางการในแง่ของเกมด้วยกลยุทธ์ที่ไม่ได้กำหนดไว้และมีภาวะแทรกซ้อนน้อยลง

ตัวอย่างทฤษฎีภาษาของคุณทำให้ทราบถึงระดับความสัมพันธ์การจำลองสถานการณ์และการยอมรับภาษา การจำลองความสัมพันธ์ระหว่างออโตมาตาหมายถึงการรวมภาษาระหว่างภาษาของพวกเขาแม้ว่าการสนทนาไม่เป็นความจริง สำหรับออโตเมต้าที่กำหนดค่าได้ทั้งสองแนวคิดจะเกิดขึ้นพร้อมกัน หนึ่งสามารถถามว่าเป็นไปได้ที่จะขยายความสัมพันธ์จำลองในลักษณะ 'ราบรื่น' เพื่อจับภาพความเท่าเทียมกันทางภาษาสำหรับออโตมาตาที่ไม่ได้กำหนดขึ้น คูชา Etessami มีกระดาษที่ดีจริงๆแสดงให้เห็นว่าการทำเช่นนี้โดยใช้ K-จำลอง ( ลำดับชั้นของพหุนามเวลาคำนวณจำลองสำหรับออโต) โดยสัญชาตญาณ 'k' จะแสดงระดับของความไม่แน่นอนที่ความสัมพันธ์จำลองสามารถจับได้ เมื่อ 'k' เท่ากับระดับของความไม่แน่นอนในหุ่นยนต์การจำลองและความเท่าเทียมกันทางภาษา กระดาษนั้นยังให้ลักษณะเชิงตรรกะของ k-simulations ในแง่ของตรรกะ modadic modadic และชิ้นส่วนตัวแปรขอบเขตของตรรกะลำดับแรก คุณจะได้รับการรวมภาษาการกำหนดเกมตรรกะโมดอลและตรรกะการสั่งซื้อครั้งแรกทั้งหมดในแพ็คเกจบัมเปอร์แพคหนึ่ง

สิ่งนี้เริ่มเป็นความเห็นภายใต้คำตอบของ Andrej Bauer แต่มันใหญ่เกินไป

ผมคิดว่าคำนิยามที่ชัดเจนของความคลุมเครือจากจุดไฟไนต์รุ่นทฤษฎีของมุมมองจะเป็น: มขฉันกรัมยูo U s ( φ )$ambiguous(\phi) \implies \exists M_1,M_2 | M_1 \vDash \phi \wedge M_2 \vDash \phi \wedge M_1 \vDash \psi \wedge M_2 \nvDash \psi$

ในคำที่มีอยู่รูปแบบที่แตกต่างของไวยากรณ์ของคุณเข้ารหัสเป็นสูตรที่สามารถโดดเด่นด้วยบางสูตรψบางทีย่อยสูตรφ$\phi$$\psi$$\phi$

คุณสามารถเชื่อมต่อสิ่งนี้กับคำตอบของ Andrej เกี่ยวกับการพิสูจน์ผ่านความซับซ้อนเชิงพรรณนา การรวมกันของการมีอยู่ของการเข้ารหัสของรูปแบบเฉพาะรวมทั้งการยอมรับโดย TM ที่เหมาะสมเป็นรูปแบบของสูตรที่กำหนดเป็นหลักฐานว่าสัจพจน์และการอนุมาน (และไวยากรณ์ที่เทียบเท่า) ที่เข้ารหัสในสูตรนั้นมีความสอดคล้องกัน

เพื่อให้เข้ากันได้อย่างสมบูรณ์กับคำตอบของ Andrej คุณจะต้องบอกว่าตัวแบบนั้นถูก "สร้างขึ้น" โดยสูตรที่ทำหน้าที่เป็นตัวกรองบนพื้นที่ของแบบ จำกัด แน่นอนที่เป็นไปได้ทั้งหมด (หรืออะไรทำนองนั้น) ด้วยการเข้ารหัสและการกระทำของตัวกรอง ในรูปแบบการป้อนข้อมูลเป็น "หลักฐาน" หลักฐานที่แตกต่างนั้นเป็นพยานถึงความกำกวม

นี่อาจไม่ใช่ความเชื่อมั่นที่เป็นที่นิยม แต่ฉันมักจะคิดถึงทฤษฎีแบบ จำกัด และทฤษฎีการพิสูจน์ว่าเป็นสิ่งเดียวกันที่เห็นจากมุมที่แตกต่างกัน ;-)

ไม่แน่ใจเกี่ยวกับคำถามที่ใช้กับ CS แต่ลองค้นหาคำว่า Vagueness และตรรกะ ในปรัชญาของตรรกะความคลุมเครือมักจะสร้างความแตกต่างจากความคลุมเครือ (ดูที่นี่เป็นต้น) และฉันคิดว่าสิ่งที่คุณกำลังตามมาคือความคลุมเครือ หนังสือสำคัญในบริเวณนี้คือ Vagueness ของทิโมธีวิลเลียมสัน (แต่ยังเห็นบรรณานุกรมในเว็บไซต์ของสแตนฟอร์ดด้านบน)

ฉัน (เช่นกัน) เห็นด้วยกับ Anrej

ฉันคิดว่าความซับซ้อนเชิงพรรณนานั้นเป็นลักษณะการคำนวณน้อย (ซึ่งทำให้มันน่าสนใจในแบบของตัวเอง) ดังนั้นตัวอย่างความคลุมเครือในการคำนวณจากทฤษฎีภาษาทางการ (ออโตมาตา / ไวยากรณ์ / ... ) ที่คุณให้อยู่ในโดเมนที่แตกต่างกัน . ในภาษาที่มีความซับซ้อนเชิงพรรณนานั้นตรงกับคลาสที่ซับซ้อนและข้อความค้นหา ไม่มีวิธีที่ตั้งใจในการตรวจสอบ / คำนวณ AFAIK ของแบบสอบถามดังนั้นหากคุณไม่ต้องการความคลุมเครือในการคำนวณ IMHO ตัวอย่างเหล่านั้นทำให้เข้าใจผิด