ความซับซ้อนของ Nurikabe (อาจรวบรัด) คืออะไร?

Nurikabeเป็นปริศนาตัวต่อตารางที่มีข้อ จำกัด ซึ่งคล้ายกับ Minesweeper / Nonograms; ตัวเลขจะถูกวางไว้บนกริดซึ่งจะเต็มไปด้วยค่าเปิด / ปิดสำหรับแต่ละเซลล์โดยแต่ละหมายเลขจะแสดงพื้นที่ของเซลล์ที่เชื่อมต่อ 'เปิด' ที่มีขนาดนั้นและข้อ จำกัด เล็กน้อยบางอย่างในพื้นที่ของ 'ปิด' เซลล์ (มัน ต้องเชื่อมต่อและไม่สามารถมีภูมิภาค 2x2 ที่ต่อเนื่องกัน) หน้า Wikipedia มีกฎและตัวอย่างปริศนาที่ชัดเจนมากขึ้น

โดยทั่วไปแล้วปริศนาประเภทนี้มีแนวโน้มที่จะเป็นปัญหาสมบูรณ์และนูริคาเบะก็ไม่มีข้อยกเว้น พวกเขาตกอยู่ใน NP เพราะการแก้ปัญหานั้นทำหน้าที่เป็นพยาน (polynomially-verifiable) ให้กับปัญหา แต่ไม่เหมือนจิ๊กซอว์ที่คล้ายกันส่วนใหญ่กรณีของ Nurikabe อาจรวบรัด: Sudoku บนกริดต้องการ givens ที่จะแก้ไขได้ (ถ้าน้อยกว่า givens ถูกเสนอแล้วไม่มีวิธีแยกแยะระหว่างการหายตัวไป สัญลักษณ์), nonograms ต้องการอย่างน้อยหนึ่งที่กำหนดสำหรับแต่ละแถวหรือคอลัมน์และ Minesweeper ต้องมี givens อย่างน้อยของเซลล์หรือจะมีเซลล์ที่ไม่ติดกับที่กำหนด (และไม่สามารถระบุสถานะได้ ) แต่ในขณะที่ตัวรับของปริศนานูริคาเบะต้องสรุปΘ ( n $n\times n$$\Theta(n)$$n-1$$1\over16$$\Theta(n^2)$เป็นไปได้ที่จะมีแต่ละขนาดนั้นดังนั้นบิตอาจเพียงพอที่จะระบุปริศนา Nurikabe ที่มีขนาด - หรือ inverting,บิตอาจเพียงพอที่จะระบุอินสแตนซ์ Nurikabe ของขนาดเอ็กซ์โปเนนเชียลในซึ่งหมายความว่าการรับประกันเพียงอย่างเดียวคือปัญหาอยู่ใน NEXP$\mathrm{O}(1)$$\Theta(\log(n))$$n$$k$$k$

น่าเสียดายที่การพิสูจน์ความแข็งของนูริคาเบะฉันได้พบการใช้สิ่งก่อสร้างทั้งหมดกับขนาดคงที่ดังนั้นอินสแตนซ์ของพวกเขาจึงมีพหุนามในขนาดกริดมากกว่าลอการิทึมและฉันไม่สามารถแยกแยะได้ว่า 'รวบรัด' ปริศนา Nurikabe มีโครงสร้างเพิ่มเติมเพื่อให้สามารถอธิบายและตรวจสอบความถูกต้องได้อย่างง่ายดาย เช่นตัวอย่างหนึ่งที่ฉันรู้จักกับปริศนาที่มีขนาด 2 givensนำไปสู่บริเวณของเซลล์ทั้งในและนอกเซลล์ซึ่งแต่ละส่วนของ$\Theta(n^2)$$\Theta(n^2)$$\mathrm{O}(1)$สี่เหลี่ยมและมีคำอธิบายสั้น ๆ ของพวกเขาเอง มีใครรู้บ้างเกี่ยวกับการวิจัยเพิ่มเติมที่ทำลงในปริศนานี้นอกเหนือจากผลลัพธ์ความสมบูรณ์แบบ NP ขั้นพื้นฐานและโดยเฉพาะอย่างยิ่งผลลัพธ์ความซับซ้อนเพิ่มเติมสำหรับกรณีที่อาจเป็นไปได้

(หมายเหตุ: ตอนแรกมีการถามทางคณิตศาสตร์แต่ยังไม่มีคำตอบใด ๆ และดูเหมือนว่าจะมีระดับการวิจัยที่เหมาะสมสำหรับเว็บไซต์นี้)

คุณดูเหมือนจะถามจริง ๆ : Nurikabe ใน NP เป็นหรือไม่

Nurikabe เป็น NP-hard เนื่องจากสามารถสร้างโปรแกรมเบ็ดเตล็ดขนาดพหุนามที่สามารถใช้เพื่อลดปัญหา NP-complete เป็นปัญหาในการตัดสินใจของ Nurikabe นี่คือสิ่งที่ Holzer, Klein และ Kutrib ทำและ McPhail และ Fix ในโปสเตอร์ของพวกเขา (ทั้งที่อ้างอิงจากบทความ Wikipedia)

ผู้เขียนทั้งสองกลุ่มคิดว่าปัญหาเป็นปัญหาเล็กน้อยใน NP และส่งคำถามเกี่ยวกับการเป็นสมาชิก ความไม่สบายใจของคุณเกี่ยวกับอินสแตนซ์สั้น ๆ ดูเหมือนว่าจะเกิดขึ้น - ฉันไม่เชื่อว่าปัญหาจะเป็นปัญหา พิจารณาวิธีการดังต่อไปนี้เพื่อทำให้การตัดสินใจเป็นปัญหาเป็นทางการ:

อินพุตไบนารี NURIKABE :จำนวนเต็ม m และ n เป็นเลขฐานสองแทนบอร์ด Nurikabe และรายการ triples แต่ละอันบ่งบอกตำแหน่งบนกระดานและจำนวนเต็มบวกที่เขียนในตำแหน่งนั้น
คำถาม:ตำแหน่งที่เหลือของบอร์ดสามารถใช้สีสองสีเพื่อเคารพข้อ จำกัด ของนูริเบะได้หรือไม่?

ถ้าและถูกระบุแทนใน unaryดังนั้นปัญหาการตัดสินใจในการพิจารณาว่ามีวิธีแก้ปัญหาบางอย่าง (ไม่จำเป็นต้องไม่ซ้ำกัน) สำหรับอินสแตนซ์ Nurikabe ที่ระบุอยู่ใน NP เป็นวิธีแก้ปัญหาที่สามารถระบุได้ในบิตส่วนใหญ่ซึ่งเป็นพหุนาม ในขนาดอินพุต$m$$n$$mn$

ในทางตรงกันข้ามกับการเข้ารหัสเลขฐานสองมีปัญหา (ตามที่คุณชี้ให้เห็น): หากมีข้อ จำกัด ขนาดใหญ่เพียงหนึ่ง (พูดจำนวนวางไว้ตรงกลางของบอร์ด) แล้ววิธีการแก้ปัญหาจะต้องบิตจะเป็นตัวแทนซึ่งเป็นชี้แจงในขนาดของการป้อนข้อมูลn) ซึ่งหมายความว่าปัญหาไม่ได้อยู่ใน NP ยกเว้นว่ามีใบรับรองขนาดเล็กอยู่เสมอ$(m-2)(n-2)$$m \times n$$mn-1$$\Theta(\log\, m + \log\, n)$

คำถามของคุณจะกลายเป็น: มีใบรับรองขนาดพหุนามสำหรับอินสแตนซ์ Nurikabe ไบนารีทั้งหมดซึ่งสามารถตรวจสอบได้ในเวลาพหุนาม

ฉันไม่เห็นชัดเจนว่าใบรับรองดังกล่าวมีอยู่จริง และไม่ชัดเจนว่าจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าใบรับรองที่สั้นและตรวจสอบได้อย่างรวดเร็วนั้นไม่มีอยู่จริง

อย่างไรก็ตามข้อ จำกัด ในการแก้ปัญหาเฉพาะหมายความว่าปัญหานั้นแท้จริงแล้วคือUS -hard ดังนั้น co-NP-hard และดังนั้นจึงไม่น่าจะอยู่ใน NP ประเด็นก็คือว่าถ้าใครนับถือ "มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เหมือนใคร" ในฐานะ Nurikabe ข้อ จำกัด (เมื่อเทียบกับคุณสมบัติที่ต้องการของอินสแตนซ์ที่นำเสนอต่อมนุษย์) แล้วมันก็ไม่เพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่ามีทางออก แต่ก็ต้อง แสดงให้เห็นว่าไม่สามารถแก้ปัญหาอื่น ๆ ได้ ข้อกำหนดนี้เพียงอย่างเดียวก็เพียงพอแล้วเพื่อให้แน่ใจว่าปัญหาอาจไม่ได้อยู่ใน NP สิ่งนี้เป็นจริงแม้กระทั่งปัญหาที่เกิดขึ้นในรุ่นเดียว

โดยสรุป: หากมีใครผ่อนคลายข้อกำหนดเฉพาะและระบุขนาดกระดานเป็นเอกภาพดังนั้นปัญหาในการตัดสินใจจึงเป็นปัญหา ด้วยโซลูชั่นที่ไม่ซ้ำกันและขนาดของบอร์ดไบนารีก็ไม่ชัดเจนว่าปัญหาการตัดสินใจอยู่ใน NP หรือไม่ และด้วยโซลูชั่นที่ไม่เหมือนใครปัญหาในการตัดสินใจก็คือ US-hard และดังนั้นจึงไม่น่าจะอยู่ใน NP สำหรับการเข้ารหัสขนาดของบอร์ด