การ จำกัด จำนวนของขอบระหว่างกราฟดาวเช่นกราฟนั้นเป็นภาพถ่าย

ฉันมีกราฟซึ่งประกอบด้วยเพียงกราฟดาว กราฟรูปดาวประกอบด้วยโหนดศูนย์กลางหนึ่งโหนดที่มีขอบกับโหนดอื่นทุกโหนด ให้เป็นกราฟดาวที่แตกต่างกันขนาดแตกต่างกันที่มีอยู่ในGเราเรียกชุดของโหนดทั้งหมดซึ่งเป็นศูนย์ในการใด ๆ ดาวกราฟR$G$$H_1, H_2, \ldots, H_n$$G$$R$

ตอนนี้สมมติเหล่ากราฟดาวกำลังสร้างขอบดาวอื่น ๆ กราฟดังกล่าวที่ขอบไม่เป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นระหว่างโหนดใด ๆ ในRจากนั้นมีจำนวนขอบที่สูงสุดระหว่างโหนดในและโหนดที่ไม่ได้อยู่ในถ้ากราฟควรอยู่ระนาบ?$R$$R$$R$

ฉันต้องการขอบบนของจำนวนขอบนั้น หนึ่งผูกไว้บนที่ผมมีในใจคือพิจารณาให้เป็นกราฟระนาบฝ่ายที่เป็นหนึ่งในชุดของจุดและส่วนที่เหลือของจุดอีกแบบชุด เราสนใจขอบระหว่างชุดเหล่านี้ (และ ) เพราะมันเป็นฝ่ายภาพถ่ายจำนวนขอบดังกล่าวเป็นที่สิ้นสุดโดยสองเท่าของจำนวนของโหนดในG$R$$A$$R$$A$$G$

สิ่งที่ฉันรู้สึกว่าเป็นที่มีผูกพันที่ดีกว่าอาจจะเป็นครั้งที่สองโหนดในบวกจำนวนโหนดในR$A$$R$

ในกรณีที่คุณสามารถหักล้างสัญชาติญาณของฉันได้นั่นก็จะเป็นสิ่งที่ดีเช่นกัน หวังว่าพวกคุณบางคนสามารถสร้างความผูกพันที่ดีพร้อมกับข้อโต้แย้งที่เกี่ยวข้อง

คำแถลงของคุณค่อนข้างคลุมเครือ: ก่อนอื่นให้คุณเขียนว่า "... จนไม่มีขอบเกิดขึ้นระหว่างโหนด $R$"แต่ย่อหน้าถัดไปแสดงว่าไม่มีขอบระหว่างจุดยอดใน $A$. ฉันจะสมมติว่าดวงดาวนั้นแยกจากกันและคุณนับขอบทั้งหมด (รวมถึงดวงดาวในดวงดาว) สมมติว่ามีดาวอย่างน้อยสองดวงและอย่างน้อยหนึ่งดาวก็มีระดับ$\ge 2$.

ในกรณีนี้คุณไม่สามารถเอาชนะ $2N-4$ ผูกพัน ($N$= จำนวนจุดยอดทั้งหมด) พิจารณาสถานการณ์ที่แตกต่างเล็กน้อย: เริ่มต้นด้วยชุดใด ๆ$N$จุดยอดสีแดงบางสีดำอย่างน้อยสองชนิด ในแต่ละขั้นตอนเพิ่มขอบระหว่างสีแดงและจุดสุดยอดโดยพลการตราบเท่าที่มันไม่ได้สร้างจุดตัดหรือขอบที่ซ้ำกัน ฉันอ้างว่าเมื่อคุณติดอยู่ทุกรอบมีความยาว$4$.

สถานการณ์ของคุณเป็นกรณีพิเศษของกระบวนการนี้ที่คุณเริ่มต้นด้วยการสร้างดาวก่อนแล้วจึงเพิ่มขอบที่เหลือ หากทุกรอบมีความยาว$4$, $2N-4$ผูกพันดังนี้ โดยทั่วไปแล้วมันแสดงให้เห็นว่าไม่ว่าคุณจะเริ่มจากกราฟแบบสองฝ่ายใดคุณสามารถทำให้เสร็จสมบูรณ์เป็นกราฟสี่เหลี่ยมจัตุรัส (คำที่ฉันสร้างขึ้น) กราฟ

ตอนนี้ขอแสดงการเรียกร้อง ในกระบวนการนี้เส้นทางทั้งหมดจะมีจุดยอดดำและแดงสลับกันและแต่ละรอบจะมีความยาวอย่างน้อย$4$. หากไม่ได้เชื่อมต่อกราฟคุณสามารถเชื่อมต่อจุดสุดยอดสีแดงใด ๆ บนใบหน้าด้านนอกขององค์ประกอบหนึ่งด้วยจุดยอดสีดำที่อีกด้านหนึ่งขององค์ประกอบอื่น ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่ากราฟเชื่อมต่อแล้ว

สมมติว่าคุณมีใบหน้า $F$ ความยาว $6$ หรือมากกว่า. $F$ต้องมีจุดยอดดำอย่างน้อยสามจุด (บางอันอาจเท่ากัน) ถ้าจุดสุดยอดบาง$x$ ซ้ำแล้วซ้ำอีกใน $F$ใช้เวลาสองครั้งที่ปรากฏตามลำดับตามเข็มนาฬิกาของ $x$, พูด $x-a-...-x-b...$. $F$ ต้องมีจุดสุดยอดสีดำ $z\neq x$ดังนั้นขึ้นอยู่กับตำแหน่งของ $z$เราสามารถเชื่อมต่อได้ $a$ หรือ $b$ ถึง $z$ ภายใน $F$โดยไม่ต้องทำซ้ำขอบ ถ้าไม่มีจุดสุดยอดซ้ำให้เลือกส่วนตามเข็มนาฬิกา$x-a-y-b-z$ ของ $F$ที่ไหน $x,y,z$ ดำและ $a,b$เป็นสีแดง ถ้า$x$ เชื่อมต่อกับ $b$ แล้วก็ $a$ ไม่สามารถเชื่อมต่อกับ $z$ (ตามภาพถ่าย) เพื่อให้เราสามารถเพิ่มหนึ่งในขอบ $(x,b)$, $(a,z)$ ภายใน $F$.