วิธี Cohomological เพื่อความซับซ้อนของบูลีน


33

ไม่กี่ปีที่ผ่านมามีงานบางส่วนของโจเอลฟรีดแมนที่เกี่ยวข้องกับขอบเขตล่างของวงจรโฮโมโลจี้เพื่อ Grothendieck (ดูเอกสาร: http://arxiv.org/abs/cs/0512008 , http://arxiv.org/abs/cs/0604024 ) แนวความคิดนี้ทำให้เกิดความเข้าใจใหม่ ๆ เกี่ยวกับความซับซ้อนของบูลีนหรือว่ามันยังคงเป็นความอยากรู้อยากเห็นทางคณิตศาสตร์หรือไม่?


4
ฉันอยากรู้อยากเห็นคำตอบนี้ แน่นอนว่าวิธีที่ง่ายที่สุดคือส่งอีเมลถึง Joel Friedman :)
Suresh Venkat

คำตอบ:


28

ฉันติดต่อกับโจเอลฟรีดแมนประมาณ 3 ปีที่แล้วในหัวข้อนี้ ในขณะที่เขากล่าวว่าวิธีการของเขาไม่ได้นำไปสู่ความเข้าใจใหม่ ๆ ที่มีนัยสำคัญในทฤษฎีความซับซ้อนแม้ว่าเขาจะยังคงคิดว่ามันเป็นวิธีการที่มีแนวโน้ม

โดยพื้นฐานแล้วฟรีดแมนพยายามที่จะเรียบเรียงปัญหาเกี่ยวกับความซับซ้อนของวงจรในภาษาของมัดบนทอพอโลยี Grothendieck อีกครั้ง ความหวังก็คือกระบวนการนี้จะอนุญาตให้ใช้สัญชาตญาณทางเรขาคณิตกับปัญหาในการค้นหาขอบเขตของวงจรที่ต่ำกว่า ในขณะที่มันคุ้มค่าที่จะตรวจสอบเพื่อดูว่าเส้นทางนี้นำไปสู่ทุกที่หรือไม่ สัญชาตญาณทางเรขาคณิตทำงานได้ดีที่สุดในบริบทของพันธุ์เรียบหรือสิ่งต่าง ๆ ที่คล้ายคลึงกับพันธุ์เรียบที่สัญชาตญาณไม่พังทลายหมด กล่าวอีกนัยหนึ่งคุณต้องมีโครงสร้างบางอย่างเพื่อให้สัญชาตญาณทางเรขาคณิตได้รับการตั้งหลัก แต่ขอบเขตของวงจรที่ต่ำกว่าโดยธรรมชาติของพวกมันจะต้องเผชิญหน้ากับการคำนวณโดยพลการซึ่งยากต่อการวิเคราะห์อย่างแม่นยำเพราะดูเหมือนว่าไม่มีโครงสร้าง Friedman ยอมรับทันทีว่า Topologies ของ Grothendieck ที่เขาคิดว่าเป็น combinatorial สูงและห่างไกลจากวัตถุปกติของการศึกษาในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต

ในฐานะที่เป็นความคิดเห็นด้านข้างฉันจะบอกว่ามันเป็นเรื่องสำคัญที่จะไม่ตื่นเต้นกับแนวคิดเพียงเพราะใช้เครื่องจักรที่ไม่คุ้นเคยและใช้พลังงานสูง เครื่องจักรอาจมีประสิทธิภาพมากในการแก้ปัญหาที่ออกแบบมา แต่เพื่อให้มีประโยชน์สำหรับการโจมตีปัญหาที่เป็นที่รู้จักในโดเมนอื่นจำเป็นต้องมีการโต้แย้งที่น่าสนใจว่าทำไมเครื่องจักรต่างประเทศถูกปรับให้เข้ากับพื้นฐาน อุปสรรคในปัญหาที่น่าสนใจ


4
แน่นอนว่าความพยายามของ Mulmuley นั้นเป็นไปตามบรรทัด "ที่คล้ายกัน" ในแง่ของการใช้ "โครงสร้างที่ราบรื่น" แต่เขามองปัญหาที่ยอมรับค่าคงที่ทางเรขาคณิตที่ดีที่จะเริ่มต้น
Suresh Venkat

2
@Suresh: คุณถูกต้องที่แนวทาง Mulmuley-Sohoni นั้นแตกต่างกัน แต่ปัญหาพื้นฐานของการรับมือกับการคำนวณโดยพลการนั้นยังคงแฝงอยู่ในพื้นหลังดังนั้นจึงเป็นเรื่องที่ยุติธรรมที่จะถามว่าใครคาดหวังที่จะจับมัน ในขณะนี้ฉันไม่คิดว่าจะมีใครรู้จริง ๆ ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมกลุ่มคน GCT จึงไม่ได้สัญญาว่าจะมีการค้นพบครั้งใหม่ที่น่าตื่นเต้นในไม่ช้า
Timothy Chow

จริง เป็นที่น่าสนใจที่จะเห็นกระดาษ STOC 2011 ที่ใช้ GCT สำหรับการคูณเมทริกซ์ (และ Ketan ได้กล่าวถึงผลการทดลองนี้ใน FOCS)
Suresh Venkat

1
@Suresh: ถ้าคุณกำลังพูดถึงกระดาษ Buergisser / Ikenmeyer ฉันคิดว่ามันบอกมากขึ้นเกี่ยวกับข้อ จำกัด ของวิธีการ GCT กว่าวิธีการพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่า
5501

1
@ ไม่ฉันไม่ได้รับคำตอบ แต่ฉันสงสัยว่านี่อาจทำให้เกิดคำถามของตัวเองหรือไม่
Suresh Venkat

16

ฉันคิดว่าทิโมธีเชาเชาทำถูกต้องแล้ว ฉันมีรายการความคิดส่วนบุคคลของตัวเองที่เกี่ยวข้องกับพันธุ์ "เรียบ" หรือแนวคิดเช่นการนับจำนวนชิ้นส่วนที่เชื่อมต่อหรือ monomials ที่ไปกับขั้นตอนไม่กี่ขั้นล่างของ "บันไดโฮโมโลจี้" --- ทั้งหมดนี้แสดงให้เห็นว่า การเปลี่ยนแปลง) การก่อสร้าง Mayr-Meyer แสดงความสมบูรณ์แบบของ EXPSPACE ของปัญหาที่เกี่ยวข้องกับ GCT คนสุดท้ายของฉันในย่อหน้าสุดท้ายของเขาคือฉันคิดว่าต้องใช้เครื่องจักรที่ทรงพลังบางชนิด ... !

โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.