รหัสที่ดีสามารถถอดรหัสได้ด้วยวงจรเชิงเส้นขนาด?

ฉันกำลังมองหารหัสแก้ไขข้อผิดพลาดประเภทต่อไปนี้:

รหัสเลขฐานสองที่มีอัตราคงที่
ถอดรหัสได้จากเศษส่วนคงที่ของข้อผิดพลาดบางส่วนโดยตัวถอดรหัสที่สามารถนำไปใช้เป็นวงจรบูลีนขนาดโดยที่คือความยาวการเข้ารหัส $O(N)$ $N$

พื้นหลังบางส่วน:

Spielman ในรหัสLinear-Time เข้ารหัสและแก้ไขข้อผิดพลาดที่ถอดรหัสได้ให้รหัสถอดรหัสในเวลาในรูปแบบ RAM ต้นทุนลอการิทึมและถอดรหัสได้โดยวงจรขนาด $O(N)$ $O(N \log N)$
Guruswami และ Indyk ให้การก่อสร้างที่ปรับปรุงในLinear Time Encodable / Decodable Code ด้วยอัตราใกล้สุด พวกเขาไม่ได้วิเคราะห์ความซับซ้อนของวงจรที่เกิด แต่ผมเชื่อว่ามันเป็นยังn) $\Theta(N \log N)$

ขอบคุณล่วงหน้า!

co.combinatorics it.information-theory coding-theory

แอนดี้บังเอิญฉันเจอปัญหานี้เมื่อประมาณหนึ่งปีที่แล้วและหลังจากการค้นหาสั้น ๆ สรุปว่าคำถามนั้นเปิด ดังนั้นฉันก็อยากรู้ว่าคำตอบคืออะไร

— arnab

รายงาน ECCCนี้เพิ่งออกมา ฉันยังไม่ได้ตรวจสอบ แต่ผมคาดหวังว่ามันยังช่วยให้

วงจร

Θ (N \log N)

$\Theta(N \log N)$

— Peter Shor

การถอดรหัส

ทำได้ในรุ่น AWGN หรือรุ่นไบนารีหรือไม่

O (N)

$O(N)$

— T ....

รหัสไบนารี่ที่ดีซึ่งเป็นเวลาเชิงเส้น (

) ที่เข้ารหัสและถอดรหัสได้และบรรลุอัตราข้อผิดพลาด

โดยที่

คือความยาวบล็อกของรหัสอาจต้องใช้แนวคิดใหม่พื้นฐาน ที่ดีที่สุดเพื่อให้ห่างไกลตามสายของทฤษฎีบท

ในarxiv.org/pdf/1304.4321v2.pdf ให้ดูถ้ามีคนช่วยเพิ่ม

ที่จะ

ในมีใน

เข้ารหัสและถอดรหัสเวลาซึ่งผมเชื่อว่าจะเป็นไปได้ (แม้จะมี

O (N)

$O(N)$

2^{- N}

$2^{-N}$

N

$N$

1

$1$

2^{- N^{0.49}}

$2^{-N^{0.49}}$

2^{- N^{1 - μ}}

$2^{-N^{1-\mu}}$

N^{1 + ϵ}

$N^{1+\epsilon}$

) อย่างไรก็ตามการนำ

ถึง

อาจต้องการมากกว่าเทคนิคเล็กน้อย

μ = 0

$\mu=0$

ϵ

$\epsilon$

0

$0$

— T ....

ลองดูรหัส Expander รหัสเหล่านี้บรรลุการเข้ารหัสเวลาเชิงเส้นและการถอดรหัส ลิเนียริตี้เป็น wrt ขนาดของ codeword แต่ฉันไม่แน่ใจว่าพวกเขาสามารถถอดรหัสโดยใช้วงจรเชิงเส้น

— Vivek Bagaria

คุณควรดูรหัสทอร์นาโด {1} ซึ่งสำหรับและและขนาดใหญ่พอที่สามารถออกแบบเพื่อกู้คืน (ที่มีความน่าจะเป็นสูง) จากการสูญเสียเศษส่วนของ บิตในเวลาสัดส่วนกับ $R$ $\epsilon>0$ $n$ $(1-R)(1-\epsilon)$ (ดูทฤษฎีบท 1 ใน {1}) $n \ln \frac{1}{\epsilon}$

{1} Luby, Michael G. , et al. "รหัสการสูญเสียความยืดหยุ่นที่ใช้ได้จริง" การดำเนินการประชุมวิชาการ ACM ประจำปีที่ยี่สิบเก้าในทฤษฎีของการคำนวณ พลอากาศเอก 1997: http://www.eecs.harvard.edu/~michaelm/NEWWORK/postscripts/losscodes.pdf

— Ari Trachtenberg
แหล่งที่มา