K คือ PLANAR NAE k-SAT ใดใน P

The Not All Equal -SAT problem (NAE k -SAT), ให้เซตCของ clauses เหนือชุดXของตัวแปรบูลีนที่แต่ละประโยคมีค่ามากที่สุดที่ตัวอักษรk , ถามว่ามีการมอบหมายความจริงของตัวแปรเช่นนั้นหรือไม่ แต่ละข้อมีอย่างน้อยหนึ่งจริงและอย่างน้อยหนึ่งตัวอักษรที่ผิดพลาด$k$$k$$C$$X$$k$

PLANAR NAE -SAT ปัญหาคือข้อ จำกัด ของ NAE k -SAT กับกรณีที่กราฟ bipartite ของCและXมีอุบัติการณ์(เช่นกราฟของชิ้นส่วนCและX ที่มีขอบระหว่างx ∈ Xและc ∈ Cหากและมีเพียง ถ้าxหรือ¯ xเป็นของc ), คือภาพถ่าย$k$$k$$C$$X$$C$$X$$x\in X$$c\in C$$x$$\overline{x}$$c$

เป็นที่ทราบกันว่า NAE 3-SAT นั้นสมบูรณ์แบบ NP (Garey และ Johnson, คอมพิวเตอร์และ Intractability; คำแนะนำเกี่ยวกับทฤษฎีของ NP-Completeeness), แต่ PLANAR NAE 3-SAT อยู่ใน P (ดูระนาบ NAE3SAT อยู่ใน P, B . Moret, ข่าว ACM SIGACT, เล่มที่ 19 ฉบับที่ 2, ฤดูร้อน 1988 - น่าเสียดายที่ฉันไม่สามารถเข้าถึงเอกสารนี้ได้)

PLANAR NAE -SAT เป็น P สำหรับบางk ≥ 4หรือไม่ มีค่าkที่แสดงว่าเป็น NP-complete หรือไม่?$k$$k\geq 4$$k$

PLANAR NAE -SAT อยู่ใน P ทุกค่าของk$k$$k$

เหตุผลคือเราสามารถลด PLANAR NAE -SAT เป็น PLANAR NAE 3 -SAT ให้φเป็นตัวอย่างของ PLANAR NAE k -SAT และคิดว่าφมีข้อCกับตัวอักษรℓ 1 , ℓ 2 , ... , ℓ k แนะนำใหม่ตัวแปรวีซีและแทนที่Cกับสอง NAE ข้อC 1และC 2 C 1มี3ตัวอักษรℓ 1 , ℓ $k$$3$$\phi$$k$$\phi$$C$$\ell_1, \ell_2, \dots, \ell_k$$v_C$$C$$C_1$$C_2$$C_1$$3$$\ell_1$$\ell_2$และในขณะที่C 2มีk - 1ตัวอักษรˉ วีซี , ℓ 3 , ℓ 4 , ... , ℓ k เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าCนั้นเป็นที่น่าพอใจถ้าหากC 1 ∧ C 2เป็นและการเปลี่ยนแปลงนั้นจะรักษาความเป็นภาพถ่ายได้ ตอนนี้เราสามารถนำไปใช้ซ้ำแล้วซ้ำขั้นตอนนี้ในคำสั่งในที่สุดได้รับการเช่นφ 'ของ NAE 3 -SAT ตามที่ต้องการ$v_C$$C_2$$k-1$$\bar{v}_C, \ell_3, \ell_4, \dots, \ell_k$$C$$C_1 \wedge C_2$$\phi'$$3$