ขั้นตอนวิธีการแฟคตอริ่งของ Shor

ฉันมีปัญหาเล็กน้อยเข้าใจขั้นตอนสุดท้ายของอัลกอริทึมแฟคตอริ่งของ Shor

รับที่เราต้องการปัจจัยที่เราเลือกสุ่มซึ่งมีการสั่งซื้อR $N$ $x$ $r$

ขั้นตอนแรกเกี่ยวข้องกับการตั้งค่าการลงทะเบียนและการใช้ตัวดำเนินการ Hadamard ขั้นตอนที่สองจะใช้ตัวดำเนินการเชิงเส้น ขั้นตอนที่สามที่การลงทะเบียนครั้งที่สองถูกวัด (ฉันเชื่อว่าขั้นตอนนี้สามารถดำเนินการได้ในภายหลังแทน) ขั้นตอนที่สี่การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องถูกนำไปใช้กับการลงทะเบียนครั้งแรก จากนั้นเราวัดการลงทะเบียนครั้งแรก

ที่นี่ฉันมีหมอกเล็กน้อย:

เราได้รับการวัดในรูปแบบ ⟩ $\mid j , x^k \textrm{mod} N \rangle$

จากนี้เราสามารถหาคอนเวอร์เจนต์ของเศษส่วน , convergents เป็นค่าที่เป็นไปได้ของการสั่งซื้อRที่นี่เราแค่ลองคอนเวอร์เจนต์ทั้งหมดและถ้าเราไม่พบว่าเป็นคอนเวอร์เจนต์ตัวใดตัวหนึ่งที่เราเพิ่งจะเริ่มใหม่? $\frac{j}{2^q}$ $r$ $< N$ $r$

ความน่าจะเป็นของค่าเป็นไปได้แตกต่างกันอย่างไร พวกเขาในแบบที่ฉันเห็นพวกเขาทุกคนควรมีความน่าจะเป็นเหมือนกัน แต่กระดาษของ Shor บอกว่านี่ไม่ใช่กรณีหรือ $j$

สับสนเล็กน้อยเพราะเอกสารบางเล่มดูเหมือนจะพูดในสิ่งที่แตกต่าง

ขอบคุณ

quantum-computing

— Callum
แหล่งที่มา

@ Peter Shor อาจช่วยคุณได้

— Dave Clarke

ตั้งแต่ถามคำถามนี้ฉันคิดว่าฉันมีความเข้าใจที่ดีขึ้น ชี้แจงสำหรับผู้ที่มีความสนใจที่เราจะได้รับการตรวจวัดในรูปแบบที่ทุกสิ่งที่เราจำเป็นต้องเป็นเจค่าสามารถเขียนเป็นโดยการหารด้วยเราได้และจากนี้เราสามารถหาคอนเวอร์เจนต์ตัวส่วนของคอนเวอร์เจนต์เป็นค่าที่เป็นไปได้ของหาก ไม่ใช่อัลกอริทึมที่จะทำงานอีกครั้ง โอกาสในการค้นหาขึ้นอยู่กับผลรวมซึ่งขึ้นอยู่กับค่าของและระยะเวลาคืออะไร

∣ j, x^{k} \mod N ⟩

$\mid j , x^k \mod N \rangle$

j

$j$

j

$j$

j = 2^{q} k / r

$j= 2^q k/ r$

2^{q}

$2^q$

k / r

$k/r$

< N

$< N$

r

$r$

j

$j$

2^{q}

$2^q$

r

$r$

— Callum

จากนี้เราสามารถหาคอนเวอร์เจนต์ของเศษส่วนคอนเวอร์เจนต์เป็นค่าที่เป็นไปได้ของลำดับ ที่นี่เราแค่ลองคอนเวอร์เจนต์ทั้งหมดและถ้าเราไม่พบว่า เป็นคอนเวอร์เจนต์ตัวใดตัวหนึ่งที่เราเพิ่งจะเริ่มใหม่? $j/2^q$ $r.$ $<N$ $r$

คุณทำได้ อัลกอริทึมทำงานค่อนข้างเร็วถ้าคุณทำ หากคุณต้องการลดจำนวนขั้นตอนควอนตัมที่คาดไว้คุณสามารถทำการทดสอบอื่น ๆ ได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่นคุณควรตรวจสอบว่าเป็นจำนวนน้อยหนึ่งในคอนเวอร์เจนต์หรือไม่ แต่ถ้าคุณไม่พบหลังจากการทดสอบเพิ่มเติมเหล่านี้คุณต้องเริ่มต้นใหม่อีกครั้ง $r$ $r$

ความน่าจะเป็นของค่าเป็นไปได้แตกต่างกันอย่างไร พวกเขาในแบบที่ฉันเห็นพวกเขาทุกคนควรมีความน่าจะเป็นเหมือนกัน แต่กระดาษของ Shor บอกว่านี่ไม่ใช่กรณีหรือ $j$

ฉันไม่รู้ว่าฉันจะช่วยคุณได้มากกว่านี้หรือไม่เพราะคุณยังไม่ได้ให้ข้อมูลแก่ฉันเพียงพอที่จะบอกฉันว่าทำไมคุณถึงสับสน ความน่าจะเป็นสำหรับแต่ละค่าในเศษส่วนคือ (เกือบมาก) เท่ากัน อย่างไรก็ตามขึ้นอยู่กับตำแหน่งที่อยู่ระหว่างค่าที่อยู่ติดกันของและความน่าจะเป็นของค่าเฉพาะของแตกต่างกัน $k$ $k/r$ $k/r$ $j/2^q$ $(j+1)/2^q$ $j$

— ปีเตอร์แคระ
แหล่งที่มา

ผมชอบวิธีการที่คุณอ้างถึงกระดาษว่า "แคระแกร็นกระดาษ" :)

— Suresh Venkat

ฉันแค่ไม่แน่ใจเล็กน้อยเกี่ยวกับความน่าจะเป็นที่ได้ผล ฉันพูดถูกแล้วว่า 2 ในตัวอย่างที่ฉันเห็นมีความสมมาตรในการกระจายความน่าจะเป็นเกี่ยวกับจุดกึ่งกลางของ -axis นี่เป็นกรณีเสมอหรือไม่? สมมติว่านี่หมายความว่าสำหรับค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของโดยที่ ,ทั้งหมดจะมีความน่าจะเป็นเท่ากับ ของ ? ขอบคุณ

Prob (j) = \frac{1}{2^{q} \times ([\frac{2^{q} - k - 1}{r}] + 1)} | \sum_{a = 0}^{[\frac{2^{q} - k - 1}{r}]} e^{- 2 π i r j a / 2^{q}} |^{2}

$\textrm{Prob} (j) = \frac{1}{2^q \times ([ \frac{2^q - k -1}{r}]+1)} \Bigg| \sum^{[ \frac{2^q - k -1}{r}]}_{a=0} e^{ -2 \pi i rja/2^q } \Bigg| ^2$

x

$x$

r = 2^{t}

$r= 2^t$

j = \frac{k_{0} 2^{q}}{r}

$j= \frac{ k_0 2^q}{r}$

k_{0} = 0, \dots, r - 1

$k_0 = 0, \cdots , r-1$

j

$j$

\frac{1}{2^{t}}

$\frac{1}{2^t}$

— Callum

ถ้าแล้วแน่นอนทุกค่าที่เป็นไปได้ของจะมีความน่าจะเป็นที่เท่ากันของ T

r = 2^{t}

$r=2^t$

j

$j$

1 / 2^{t}

$1/2^t$

— Peter Shor