กราฟย่อยทั่วไปที่ใหญ่ที่สุดของสองกราฟระนาบสูงสุด

พิจารณาปัญหาต่อไปนี้ -

ได้รับภาพถ่ายสูงสุดกราฟและค้นหากราฟมีจำนวนสูงสุดของขอบดังกล่าวว่ามีความเป็น subgraph (ไม่จำเป็นต้องเหนี่ยวนำ) ทั้งในและที่เป็น isomorphic ไปG $G_1$ $G_2$ $G$ $G_1$ $G_2$ $G$

สิ่งนี้สามารถทำได้ในเวลาพหุนาม ถ้าใช่แล้วได้อย่างไร

เป็นที่ทราบกันว่าหากและเป็นกราฟทั่วไปแสดงว่าปัญหานั้นเกิดจากปัญหา NP-complete (เนื่องจากอาจเป็นกลุ่ม) เป็นที่ทราบกันดีว่าถ้าและเป็นต้นไม้หรือมีบางส่วนที่ จำกัด ขอบเขตของต้นไม้ต้น k ดังนั้นปัญหาสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม แล้วระนาบสูงสุดจะเป็นอย่างไร? มีใครรู้บ้างไหม กราฟมอร์ฟิซึมบนกราฟระนาบสูงสุดสองกราฟคือพหุนาม บางทีนี่อาจช่วยได้บ้าง $G_1$ $G_2$ $G_1$ $G_1$ $G_2$

ds.algorithms graph-algorithms planar-graphs

— Vinayak Pathak
แหล่งที่มา

“ กราฟมอร์ฟิซึมบนกราฟระนาบสูงสุดสองกราฟคือพหุนาม บางทีนี่อาจช่วยได้บ้าง” อย่างน้อยก็เกี่ยวข้องกัน (คุณอาจรู้อยู่แล้ว): การมีอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับการตัดสินใจว่ามอร์ฟิซึ่มส์เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการดำรงอยู่ของอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับการค้นหากราฟย่อยทั่วไปที่ใหญ่ที่สุด

— Tsuyoshi Ito

แน่นอน. และอาจไม่เพียงพอ ฉันไม่แน่ใจ แต่ฉันคิดว่ามีคลาสกราฟที่มอร์ฟิซึ่มเป็นพหุนาม แต่การค้นหากราฟย่อยทั่วไปที่ใหญ่ที่สุดไม่ใช่

— Vinayak Pathak

ดูเหมือนว่าปัญหาคือ

สมบูรณ์

อาจจะเป็นวงจรที่พบบ่อยที่สุดและเป็นที่รู้จักกันว่าปัญหาวงจรมิลเป็น

สมบูรณ์ในกราฟเชิงระนาบสูงสุด math.ias.edu/~avi/PUBLICATIONS/MYPAPERS/W82a/tech298.pdf

N P

$NP$

G

$G$

N P

$NP$

— Mohammad Al-Turkistany

มันเป็น NP-complete ผ่านการลดลงของ Wigderson ที่ใช้เพื่อพิสูจน์ว่า Hamiltonicity ของกราฟระนาบสูงสุดเป็น NP-complete

การตรวจสอบอย่างรอบคอบของหลักฐาน NP-ครบถ้วนสมบูรณ์ของ Wigderson ของความแข็งสำหรับรอบมิลโตเนียนในกราฟระนาบสูงสุด ( http://www.math.ias.edu/avi/node/820 ) แสดงให้เห็นว่าอินสแตนซ์ที่เกิดจากการลดลงของเขามีคุณสมบัติที่มี มีขอบอย่างใดอย่างหนึ่งว่ามีวงจร Hamiltonian ผ่านหรือไม่มีวงจร Hamiltonian เลย ตัวอย่างเช่นสามารถเลือกให้เป็นหนึ่งในขอบในหนึ่งใน -gadgets ของ Wigderson $e$ $e$ $e$ $M$

ให้เป็นตัวอย่างที่ยากในแบบนี้และฝังเพื่อให้ขอบเป็นของสามเหลี่ยมด้านนอกของการฝัง หลายสำเนาเชื่อมต่อของกราฟที่ฝังตัวนี้เพื่อให้พวกเขา -edges รูปแบบวงจรและให้ผลสูงสุดระนาบอีกครั้งโดยเพิ่มสองจุดมากขึ้นหนึ่งในแต่ละด้านของวงจรนี้เชื่อมต่อไปยังทุกจุดที่สัมผัสของสำเนาของGให้จำนวนสำเนาที่เป็นและเรียกรูปแบบของกราฟที่เกิดHให้เป็นหมายเลขของจุดในG $G$ $G$ $e$ $e$ $G$ $c$ $H$ $n$ $G$

เช่นอย่างหนักของเราสำหรับ subgraph ทั่วไปที่ใหญ่ที่สุดจะเป็นคู่ที่คือ bipyramid มีหมายเลขเดียวกันของจุดเป็นHดังนั้นกราฟย่อยทั่วไปที่ดีที่สุดจะต้องจับคู่กับจุดยอดทั้งหมด ถ้าเราทำให้พอขนาดใหญ่ subgraph จำเป็นจะจับคู่ apexes ของ bipyramid ที่มีสองจุดเพิ่มในเพราะองศาของพวกเขา ( และ ) จะเพียงพอสูงกว่าทุกจุดสุดยอดอื่น ๆ ในเพื่อให้การเพิ่มองศาเหล่านี้ สำหรับขนาดโซลูชันจะชดเชยการหยุดชะงักที่เกิดจากการจับคู่นี้ $(H,B)$ $B$ $H$ $c$ $H$ $c$ $2c$ $H$

$G$ $e$ $G$ $c(n+2)$ $c(n-1)$ $3c$ $G$ $c$ $3c$ $c(n-1)$ $H$ $B$ $c(n+2)$

— David Eppstein
แหล่งที่มา