การกดปุ่มชุดของการตัดกันครอบครัวตามเข็มนาฬิกา

ชุดชนของครอบครัว$\mathcal{S} = \{S_1, \dots, S_n\}$เป็นเซตของดังกล่าวว่าสำหรับn ปัญหาในการค้นหาชุดการกดปุ่มต่ำสุดของตระกูลที่กำหนดคือปัญหาทั่วไปของ NP-hard เนื่องจากมันครอบคลุมปัญหาของจุดยอด ตอนนี้คำถามของฉันคือ:⋃ n i = 1 S i H ∩ S i ≠ ∅ 1 ≤ i ≤ $H$$\bigcup_{i=1}^{n} S_i$$H \cap S_i \ne \emptyset$$1 \le i \le n$

ปัญหาชุด hitting ยังคงอยู่ที่ NP-hard หรือไม่เมื่อองค์ประกอบของ pairwise intersect ใช่ไหม$\mathcal{S}$

ฉันยังสนใจในความแข็งประมาณ (หรือความสามารถในการแทรกซึม) ของปัญหานี้

คำตอบคือใช่ - ปัญหายังคงอยู่ที่ NP-Complete ทุกชุดสร้างองค์ประกอบปลอมE ' ฉัน , อี" ฉันและสร้างชุดใหม่S ' ฉัน = S ฉัน ∪ { E ' ฉัน }และS " ฉัน = S ฉัน ∪ { E " ฉัน } มันง่ายที่จะตรวจสอบว่าชุดการกดปุ่มใด ๆ ของระบบเก่าเป็นชุดการกดปุ่มของระบบใหม่ นอกจากนี้ยกเว้นองค์ประกอบปลอมตอนนี้ทุกองค์ประกอบตีอย่างน้อยสามชุด$S_i$$e_i', e_i''$$S_i' = S_i \cup \{ e_i'\}$$S_i'' = S_i \cup \{e_i''\}$

ถัดไปสำหรับคู่ของชุดในระบบใหม่ทุก (ช่วยให้เรียกพวกเขาและT ญไปสู่ความสับสนหลีกเลี่ยง) สร้างองค์ประกอบปลอมx ฉันเจและเพิ่มทั้งT ฉันและT J เห็นได้ชัดว่าในระบบชุดผลลัพธ์ผลลัพธ์นั้นจะตั้งค่าการตัดกันแบบคู่ตามลำดับ แต่ชุดการชนที่ดีที่สุดดั้งเดิมยังคงเป็นชุดการชนที่ดีที่สุดสำหรับระบบใหม่ล่าสุดนี้$T_i$$T_j$$x_{ij}$$T_i$$T_j$

ไม่มีข้อ จำกัด เพิ่มเติมปัญหาดูเหมือนยากอย่างที่เป็นปัญหาดั้งเดิม

BTW พิสูจน์ว่าทางออกที่ดีที่สุดจะไม่ใช้องค์ประกอบปลอมใด ๆ นั้นไม่สำคัญ ครั้งแรกที่เราสามารถสรุปได้ว่าได้รับชุดตีสำหรับระบบใหม่ไม่รวมถึงหรือE " ฉันตั้งแต่มิฉะนั้นเราสามารถย้ายองค์ประกอบองค์ประกอบเดิมของชุดและได้รับชุดชนขนาดใกล้เคียงกัน มันบอบบางกว่านี้เล็กน้อยเพื่อดูว่าทำไมองค์ประกอบx i jไม่อยู่ในชุดการกดปุ่มที่เหมาะสมที่สุด เนื่องจากเป็นที่น่าเบื่อฉันจะทิ้งคำใบ้ไว้: สร้างกราฟเชื่อมต่อสองชุดS iและS jในระบบดั้งเดิมถ้าx i $e_i'$$e_i''$$x_{ij}$$S_i$$S_j$$x_{ij}$เชื่อมต่อสองชุดที่ได้มาจากชุดเหล่านี้ ให้เหตุผลว่ากราฟนี้ในชุดการชนที่น้อยที่สุดจะต้องเป็นปกติและดังนั้นจำนวนของขอบนั้นเกินกว่าจำนวนชุดที่แสดงเป็นจุดยอดอย่างเคร่งครัด ด้วยเหตุนี้เราจะพบชุดการกดปุ่มที่เล็กลงสำหรับชุดเหล่านี้$3$