เกมแดรกคิวลา

พื้นหลัง
คำถามนี้ได้รับแรงบันดาลใจจากเกมกระดานที่เรียกว่า 'Dracula' ในเกมนี้มีนักล่าแวมไพร์หนึ่งคนและนักล่าสี่คนเป้าหมายของนักล่าคือการจับแวมไพร์ เกมดังกล่าวเกิดขึ้นในยุโรป เกมดังต่อไปนี้:
1. ผู้เล่นนักล่าทำให้นักล่าทั้งหมดในเมือง สามารถวางนักล่ามากกว่าหนึ่งคนในเมืองเดียวกัน
2. ผู้เล่นแวมไพร์ทำให้แวมไพร์อยู่ในเมือง
3. ผู้เล่นสลับการเคลื่อนย้ายสิ่งมีชีวิตของพวกเขาไปยังเมืองใกล้เคียง
4. ผู้เล่นนักล่าในตาเขาอาจขยับนักล่าได้มากเท่าที่เขาต้องการ
5. ปัญหาหลักคือผู้เล่นแวมไพร์รู้ตลอดเวลาที่นักล่าอยู่ แต่ผู้เล่นนักล่ารู้เฉพาะตำแหน่งเริ่มต้นของแวมไพร์
6. เมื่อนักล่าและแวมไพร์พบกันในเมืองผู้เล่นแวมไพร์จะแพ้

คำถาม
สำหรับกราฟให้และตัวเลขnและkจะมีกลยุทธ์ที่รับประกันผู้เล่นนักล่าที่ควบคุมnนักล่าแวมไพร์ที่จะจับในเวลาน้อยกว่าkผลัดกัน? อาจสันนิษฐานว่าGเป็นภาพถ่าย มีการศึกษาปัญหานี้หรือไม่? การอ้างอิงบางอย่างจะได้รับการชื่นชม$G$$n$$k$$n$$k$$G$

เกมที่คุณได้อธิบายลักษณะเป็นจำนวนมากเช่นเดียวกับเกมของตำรวจ k และ 1 Robber ตามที่อธิบายไว้ในบทความนี้โดยคลาร์กและ MacGillivray: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012365X12000064 โดยทั่วไปจะเล่นโดยการวางตำรวจและโจรที่จุดยอดของกราฟและขอให้ตำรวจจับโจรโดยการเคลื่อนที่ไปตามขอบ

ความแตกต่างที่สำคัญจากเกมของคุณและเกมนี้คือการมองเห็นบางส่วนของนักล่าในขณะที่ตำรวจคลาสสิคและโจรพวกตำรวจรู้ว่าโจรอยู่ที่ไหนและในทางกลับกัน นอกจากนี้ในตำรวจและโจรเวลาไม่ จำกัด

ถึงแม้จะมีข้อมูลที่ครบถ้วนหากเวลาไม่ จำกัด ก็แสดงให้เห็นว่าหากตำรวจสามารถจับกุมโจรได้ในเวลา จำกัด เมื่อโจรและตำรวจเล่นได้ดีที่สุดจะเสร็จสมบูรณ์แทนเวลา ( http://arxiv.org /abs/1309.5405 ) เมื่อ k ไม่ได้รับการแก้ไข ดังนั้นเนื่องจากเกมของคุณเล่นได้ยากกว่าสำหรับตำรวจฉันคิดว่ามันคงไม่สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามเมื่อเวลาไม่ จำกัด ฉันคิดว่าจำนวนการเคลื่อนไหวที่จำเป็นสำหรับตำรวจจับโจรสามารถล้อมรอบด้านบนโดยพูดว่า c และถ้าจำนวนขั้นตอน k ที่อนุญาตให้นักล่าอยู่ใกล้กับจำนวนนี้ c ดังนั้นเกมของนักล่าและแวมไพร์จะเป็น อย่างน้อยก็ยากที่จะแก้ปัญหาได้กว่าตำรวจและโจร (ดูบทความของ Bonato et al.: เวลาการจับภาพของกราฟ)

ดังที่บันทึกไว้โดย @MarcusRitt ในความคิดเห็นสิ่งนี้เรียกว่าการค้นหากราฟ อย่างไรก็ตามฉันต้องการเพิ่มว่าตัวแปรเฉพาะที่คุณอธิบาย (เช่นเกี่ยวกับจำนวนรอบที่เล่นกับจำนวนผู้ค้นหาที่ใช้) นั้นได้รับการตรวจสอบด้วยซึ่งไม่ได้ระบุไว้ในบทความ Wikipedia สิ่งที่น่าสนใจคือการเปลี่ยนจากพื้นที่การค้นหาไปเป็นเวลาในการค้นหายังคงลักษณะของปัญหาไว้ (โดยการแนะนำพารามิเตอร์ที่เกี่ยวข้องในรุ่น "คู่" ที่เหมาะสม)

ดูบทความ "กราฟการค้นหาและเวลาค้นหา" โดย Brandenburg และ Herrmann ที่ SOFSEM 2006

$v$$v$$1$$1$$k$สำหรับกราฟเชิงระนาบก็เป็นไปได้ที่จะประมาณจำนวนตำรวจ (และจากนั้นจะได้รับการสลายตัวที่สอดคล้องกัน) ในเวลาพหุนาม คุณอาจจะสนใจที่จะอ่านรายละเอียดเพิ่มเติมจากนี้เอกสารประกอบการบรรยาย