การลดขนาดด้วยการหย่อน

Johnson-Lindenstrauss lemma พูดอย่างคร่าว ๆ ว่าสำหรับคอลเล็กชั่น ofจุดใด ๆในมีแผนที่โดยที่เช่นนั้นสำหรับทั้งหมด : เป็นที่ทราบกันดีว่าคำสั่งที่คล้ายกันนั้นเป็นไปไม่ได้สำหรับตัวชี้วัด แต่เป็นที่รู้กันว่ามีวิธีใดบ้าง ขอบเขตโดยการเสนอการรับประกันที่อ่อนแอกว่า? ตัวอย่างเช่นสามารถมีบทแทรกด้านบนสำหรับ$S$$n$$\mathbb{R}^d$$f:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^k$$k = O(\log n/\epsilon^2)$$x, y \in S$ℓ 1 ℓ

$$(1-\epsilon)||f(x)-f(y)||_2 \leq ||x-y||_2 \leq (1+\epsilon)||f(x)-f(y)||_2$$ $\ell_1$$\ell_1$ตัวชี้วัดที่สัญญาว่าจะรักษาระยะห่างของคะแนนส่วนใหญ่ไว้ แต่อาจทำให้มีการบิดเบือนโดยพลการ ที่ไม่รับประกันการคูณสำหรับจุดที่ "ใกล้เกินไป"?

การอ้างอิงมาตรฐานสำหรับผลลัพธ์ที่เป็นบวกคือกระดาษของ Piotr Indyk ในการแจกแจงที่เสถียร:

http://people.csail.mit.edu/indyk/st-fin.ps

เขาแสดงให้เห็นถึงเทคนิคการลดขนาดของที่ระยะห่างระหว่างคู่คะแนนใด ๆ ไม่เพิ่มขึ้น (มากกว่าปัจจัย ) ด้วยความน่าจะเป็นและระยะทางคงที่ไม่ลดลง (มากกว่าปัจจัยที่สูง) ความน่าจะเป็น มิติของการฝังจะชี้แจงใน1 1 + ϵ 1 - ϵ 1 /$\ell_1$$1+\epsilon$$1-\epsilon$$1/\epsilon$

อาจมีงานติดตามที่ฉันไม่ทราบ

ดูเมตริก embeddings มีการค้ำประกันผ่อนคลายกระดาษซึ่งมีผลการค้นหาใน (ภายใต้เงื่อนไขของ "บิดเบือนย่อยสลายได้อย่างสง่างาม") และทั่วไป embeddingsℓ $\ell_1$$\ell_p$

ดูขั้นตอนปฏิบัติสำหรับการลดขนาดในกระดาษ$\ell_1$

มันแสดงให้เห็นเร็ว ๆ นี้โดยนิวแมนและ Rabinovich ว่าสำหรับจุด n ในมีการลดมิติมิติepsilon) การใช้ทฤษฎีบทของ Abraham และคณะ (การฝังเมตริกด้วยการรับรองที่ผ่อนคลายดังกล่าวข้างต้น) หนึ่งสามารถลดมิติในมิติที่ใช้งานได้เป็นเศษส่วน O ( n / ϵ ) O ( 1 / ( δ ϵ ) ) 1 - $\ell_1$$O(n/\epsilon)$$O(1/(\delta\epsilon))$$1-\delta$

การผ่อนคลายของอีกลดมิติคือการกำหนดให้โกหกในสเปซมิติของและทำให้ขึ้นอยู่กับคTalagrand พิสูจน์ให้เห็นว่า -dimensional subspaceของ (เขาพิสูจน์ให้ ) มีแผนที่สำหรับเช่นนั้นสำหรับ ,$\ell_1$$S$$c$$\mathbb{R}^d$$k$$c$$c$$V$$\ell_1^d$$L_1$$f:\ell_1^d \rightarrow \ell_1^k$$k = O(\epsilon^{-2}c\log c)$$x, y \in V$ฉ$(1-\epsilon)\|f(x) - f(y)\|_1 \leq \|x - y\|_1 \leq (1+\epsilon)\|f(x) - f(y)\|_1$. การฝังของเขาเป็นขั้นตอนแบบสุ่มง่าย ๆ แต่จะดำเนินการเป็นขั้นตอนและแต่ละขั้นตอนจะประสบความสำเร็จด้วยความน่าจะเป็นคงที่ หลังจากแต่ละขั้นตอนคุณต้องตรวจสอบว่าขั้นตอนสำเร็จและทำซ้ำหากไม่สำเร็จ ดังนั้นการฝัง Talagrand ขาดคุณลักษณะที่สำคัญของ JLT: ความจริงที่ว่าสามารถหยิบมาจากการจัดจำหน่ายที่เป็นอิสระจากS$f$$S$

เมื่อเร็ว ๆ นี้Woodruff และ Sohlerได้พิสูจน์ผลลัพธ์คล้ายกับ Talagrand แต่ด้วยคุณสมบัติเพิ่มเติมที่เช่นเดียวกับ JLT คือการจับคู่เชิงเส้นที่เลือกจากการแจกแจงอิสระของ : คุณต้องเลือก matrix ที่ แต่ละรายการเป็นตัวแปรสุ่ม iid Cauchy นี่คือจิตวิญญาณของการคาดการณ์ที่มั่นคงของ Indyk: Cauchy มีความมั่นคง 1 ครั้ง S k × $f$$S$$k \times d$