ความสามารถในการละลายของการเติมเมทริกซ์

เมทริกซ์มีขนาดn × n ( n - 1 ) เราต้องการเติมAโดยใช้จำนวนเต็มระหว่าง1ถึงnรวม$A$$n \times n(n-1)$$A$$1$$n$

ที่ต้องการ:

1. คอลัมน์ของแต่ละคือการเปลี่ยนแปลงของ1 , ... , n$A$$1, \dots, n$
2. submatrix ใด ๆ ที่เกิดขึ้นจากแถวสองแถวของไม่สามารถมีคอลัมน์ที่เหมือนกันได้$A$

คำถาม:

เป็นไปได้หรือไม่ที่จะเติมเมทริกซ์ให้เป็นไปตามข้อกำหนด?

ความสัมพันธ์กับการเข้ารหัส:

หมายเลขแถวแต่ละหมายเลขสอดคล้องกับข้อความธรรมดา แต่ละคอลัมน์สอดคล้องกับคีย์ เนื่องจากคีย์กำหนดการฉีดแต่ละคอลัมน์จะต้องมีการเปลี่ยนแปลง ข้อกำหนดที่สองมีไว้เพื่อความลับที่สมบูรณ์แบบสำหรับสองข้อความ

Tsuyoshi การสังเกตที่ยอดเยี่ยมในความคิดเห็นของคุณ! ฉันคิดว่านี่เกือบจะแก้ปัญหาได้

พิจารณาคำถามสองข้อต่อไปนี้

1. มีแถวที่มีความยาวแถว n ( n - 1 ) หรือไม่ดังนั้นจึงไม่มีตัวเลขปรากฏในคอลัมน์ใด ๆ สองครั้งและสำหรับแต่ละแถวของคู่ที่เรียงลำดับทั้งหมดที่กำหนดโดยคอลัมน์นั้นแตกต่างกันหรือไม่?$k$$n(n-1)$
2. มีแถวที่มีความยาว n n 2เพื่อให้สำหรับแต่ละแถวแต่ละคู่คู่ที่สั่งซื้อทั้งหมดที่กำหนดโดยคอลัมน์นั้นแตกต่างกันหรือไม่?$k$$n^2$

การสังเกตของ Tsuyoshi ในความคิดเห็นของเขาแสดงให้เห็นว่าหากคุณสามารถบรรลุค่าสำหรับคำถาม (1) คุณสามารถบรรลุค่าkสำหรับคำถาม (2) ตอนนี้เราแสดงให้เห็นว่าหากเราสามารถบรรลุคุณค่าของkสำหรับคำถาม (2) เราสามารถทำให้ได้ค่าk - 1สำหรับคำถาม (1) ดังนั้นคำตอบของคำถามทั้งสองนี้ก็เกือบจะเหมือนกัน$k$$k$$k$$k-1$

การก่อสร้างไปดังต่อไปนี้: ละเว้นแถวแรกยกเว้นใส่ทั้งหมดเป็นครั้งแรกในnตำแหน่ง ตอนนี้คุณสามารถใช้การเปลี่ยนแปลงค่า{ 1 , 2 , … , n }กับแต่ละแถวที่เหลือk - 1ดังนั้นยกเว้นรายการแรกคอลัมน์nคอลัมน์แรกแต่ละคอลัมน์มีค่าเหมือนกันและโดยการสังเกตของ Tsuyoshi ในความคิดเห็นสิ่งนี้จะช่วยให้คุณมีชุดของk - 1แถวที่ตรงกับเงื่อนไขของคุณ$1$$n$$\lbrace 1, 2, \ldots, n \rbrace$$k-1$$n$$k-1$

ตอนนี้ถ้าคุณมีชุดของแถวยาวn 2กับคู่ของแถวที่มีคู่สั่งซื้อทั้งหมดในแต่ละทุกคอลัมน์แล้วนี้จะเทียบเท่ากับชุดของk - 2สี่เหลี่ยมมุมฉากละติน แต่ละแถว3 , 4 , … , kให้ตารางละติน หากต้องการให้ละตินสแควร์เชื่อมโยงกับแถวjให้ใส่ค่าในคอลัมน์iของแถวjในเซลล์ที่มีพิกัดที่กำหนดโดยคู่ที่สั่งในคอลัมน์iในแถวสองแถวแรก$k$$n^2$$k-2$ $3$$4$$\ldots$$k$$j$$i$$j$$i$

ถ้าไม่ได้เป็นอำนาจนายกกี่ฉากร่วมกันสี่เหลี่ยมละตินของการสั่งซื้อnมีอยู่เป็นปัญหาเปิดที่มีชื่อเสียงและผมไม่เชื่อว่าชุดใด ๆ ของn - 2สี่เหลี่ยมมุมฉากละตินเป็นที่รู้จักกันอยู่สำหรับnไม่ได้เป็นอำนาจนายก; ฉันทามติทั่วไปคือชุดดังกล่าวไม่อยู่ เพียงผลการพิสูจน์เพื่อให้ห่างไกลคือว่าชุดดังกล่าวไม่ได้มีอยู่สำหรับn = 6 สิ่งที่เป็นที่รู้จักคือจำนวนkของแถวที่เป็นไปได้จะเพิ่มขึ้นอย่างน้อยเท่ากับk = Ω ( n c )สำหรับบาง$n$$n$$n-2$$n$$n=6$$k$$k=\Omega(n^c)$$c$. ฉันเชื่อว่ามีออร์เดอร์สี่เหลี่ยมจตุรัสละติน 8 มุมฉากของ 10 คำสั่งที่ยังเปิดอยู่ (เป็นที่รู้กันว่าไม่มี 9 แต่เนื่องจากความแตกต่างที่เป็นไปได้ของในคำตอบของคำถามสองข้อนี้ไม่ได้บอกอะไรเราเกี่ยวกับปัญหาดั้งเดิม)$1$

สำหรับ , kสูงสุดที่คุณจะได้คือ 3, และปรากฎว่าคุณสามารถได้รับสามแถวสำหรับปัญหา (1) โดยดูตารางละติน6 × 6ใด ๆ ที่มีการตัดขวางซึ่งมีตัวอย่างที่ไม่เทียบเท่าจำนวนมาก . สำหรับn = 10มีสิ่งปลูกสร้างที่รู้จักกันให้สองช่องสี่เหลี่ยมละตินมุมฉาก หากสี่เหลี่ยมเหล่านี้มีการตัดขวางทั่วไปคุณจะได้รับk = 4สำหรับปัญหา (1)$n=6$$k$$6\times 6$$n=10$$k=4$

นี่เป็นวิธีแก้ปัญหาบางส่วน เมทริกซ์นั้นมีอยู่ถ้าnเป็นพลังพิเศษ

ให้Fเป็นฟิลด์ จำกัด ของการสั่งซื้อn เราสร้างเมทริกซ์n × n ( n −1) ซึ่งมีแถวที่มีป้ายกำกับโดยFซึ่งคอลัมน์จะมีป้ายกำกับโดย ( F ∖ {0}) × Fและรายการที่อยู่ในFดังนี้: i -th แถวของ คอลัมน์ ( , ข ) จะได้รับจากไอ + ข ในคำแต่ละสอดคล้องคอลัมน์ในระดับหนึ่งพหุนามในF จากนั้นแต่ละคอลัมน์จะมีองค์ประกอบของFแต่ละองค์ประกอบ แน่นอนหนึ่งครั้งและไม่มีสองคอลัมน์ที่มีรายการเท่ากันในมากกว่าหนึ่งแถวเนื่องจากค่าของชื่อพหุนามดีกรีหนึ่งที่แตกต่างกันสองอันสามารถตรงกันได้มากที่สุดในจุดเดียว

(หากคุณต้องการเมทริกซ์ที่มีรายการอยู่ใน {1, …, n } แทนที่จะเป็นในFให้แทนที่องค์ประกอบของFด้วย {1, …, n } โดยพลการ)