การเรียนรู้ควอนตัม PAC

พื้นหลัง

ฟังก์ชันในเป็น PAC ที่เรียนรู้ได้ในเวลา quasipolynomial ด้วยอัลกอริทึมแบบดั้งเดิมที่ต้องใช้แบบสอบถามที่เลือกแบบสุ่มเพื่อเรียนรู้วงจรความลึก d [1] หากไม่มีอัลกอริทึมการแฟ็กเตอริงนี่ก็เป็นสิ่งที่ดีที่สุด [2] แน่นอนในคอมพิวเตอร์ควอนตัมเรารู้วิธีคำนึงถึงปัจจัยดังนั้นขอบเขตล่างนี้จึงไม่ช่วย ยิ่งไปกว่านั้นอัลกอริธึมคลาสสิคที่เหมาะสมที่สุดใช้สเปกตรัมของฟูริเยร์ของฟังก์ชั่นจึงกรีดร้อง$AC^0$$O(2^{log(n)^{O(d)}})$$2^{n^{o(1)}}$

[1] N. Linial, Y. Mansour และ N. Nisan [1993] "วงจรเชิงลึกคงที่, การแปลงฟูริเยร์, และการเรียนรู้", วารสาร ACM 40 (3): 607-620

[2] M. Kharitonov [1993] "ความแข็งการเข้ารหัสของการเรียนรู้เฉพาะการกระจาย", การดำเนินการของ ACM STOC'93, pp. 372-381

ในความเป็นจริง 6 ปีที่ผ่านมาสกอตต์ Aaronson ใส่ learnability ของเป็นหนึ่งในของเขาสิบ Challanges กึ่งแกรนด์ควอนตัมคอมพิวเตอร์ทฤษฎี$AC^0$

คำถาม

คำถามของฉันคือสามเท่า:

1) มีตัวอย่างของตระกูลฟังก์ชันธรรมชาติที่คอมพิวเตอร์ควอนตัมสามารถเรียนรู้ได้เร็วกว่าคอมพิวเตอร์แบบดั้งเดิมที่ได้รับการตั้งสมมติฐานเข้ารหัส

2) มีความคืบหน้าใด ๆ เกี่ยวกับความสามารถในการเรียนรู้ของหรือไม่? (หรือทะเยอทะยานมากกว่าเล็กน้อย)$AC^0$$TC^0$

3) ในเรื่องของความสามารถในการเรียนรู้ของความคิดเห็นของ Aaronson: "จากนั้นคอมพิวเตอร์ควอนตัมจะมีข้อได้เปรียบมหาศาลจากคอมพิวเตอร์แบบดั้งเดิมในการเรียนรู้น้ำหนักใกล้เคียงกับที่เหมาะสมที่สุดสำหรับเครือข่ายประสาท" ใครสามารถให้การอ้างอิงเกี่ยวกับวิธีการที่การปรับปรุงน้ำหนักสำหรับมุ้งประสาทและวงจรเกี่ยวข้อง? (นอกเหนือจากข้อเท็จจริงที่ว่าธรณีประตูประตูดูเหมือนเซลล์ประสาท sigmoid)$TC^0$$TC^0$ (คำถามนี้ถูกถามและตอบแล้ว )

ฉันจะถามคำถามแรกของคุณ:

มีตัวอย่างของตระกูลฟังก์ชันตามธรรมชาติที่คอมพิวเตอร์ควอนตัมสามารถเรียนรู้ได้เร็วกว่าคอมพิวเตอร์แบบดั้งเดิมที่ได้รับการเข้ารหัสลับหรือไม่?

มันขึ้นอยู่กับรุ่นที่แน่นอนและทรัพยากรที่ถูกย่อให้เล็กสุด ทางเลือกหนึ่งคือการเปรียบเทียบความซับซ้อนตัวอย่าง (สำหรับการแจกแจงอิสระ PAC การเรียนรู้) ของแบบจำลองคลาสสิกมาตรฐานที่มีรูปแบบควอนตัมที่ได้รับตัวอย่างควอนตัม (เช่นแทนที่จะได้รับการป้อนข้อมูลแบบสุ่มและค่าฟังก์ชันที่สอดคล้องกัน ด้วยการซ้อนทับควอนตัมเหนืออินพุตและค่าฟังก์ชัน) ในการตั้งค่านี้การเรียนรู้ PAC ควอนตัมและการเรียนรู้ PAC คลาสสิกโดยทั่วไปจะเทียบเท่า คลาสสิกที่ถูกผูกไว้บนความซับซ้อนของตัวอย่างและขอบเขตควอนตัมที่ต่ำกว่าในความซับซ้อนของตัวอย่างเกือบจะเหมือนกันดังที่แสดงโดยลำดับของเอกสารต่อไปนี้:

[1] R. Servedio และ S. Gortler, "การเทียบและการแยกระหว่างควอนตัมและการเรียนรู้แบบคลาสสิก" SIAM Journal on Computing, vol. 02138, pp. 1–26, 2004

[2] A. Atici และ R. Servedio,“ ปรับปรุงขอบเขตของอัลกอริทึมการเรียนรู้เชิงควอนตัม,” การประมวลผลข้อมูลควอนตัม, หน้า 1-18, 2005

[3] C. Zhang, "การปรับปรุงขอบเขตล่างของความซับซ้อนของการสืบค้นสำหรับการเรียนรู้ PAC ควอนตัม," จดหมายประมวลผลข้อมูล, บทที่ หมายเลข 111 1, pp. 40–45, ธ.ค. 2010

$O(n^{\log n})$

[4] N. Bshouty และ J. Jackson“ การเรียนรู้ DNF เกี่ยวกับการแจกจ่ายเครื่องแบบโดยใช้ oracle ตัวอย่างควอนตัม” SIAM Journal on Computing, vol. 28, ไม่มี 3, pp. 1136–1153, 1998

[5] J. Jackson, C. Tamon, และ T. Yamakami,“ ความสามารถในการเรียนรู้ของ Quantum DNF,” คอมพิวเตอร์และ Combinatorics, หน้า 595–604, 2002

[6] A. Atıcıและ R. Servedio, "ขั้นตอนวิธีเชิงควอนตัมสำหรับการเรียนรู้และการทดสอบ Juntas," การประมวลผลข้อมูลควอนตัม, บทที่ 5 6 ไม่ใช่ 5, pp. 323–348, กันยายน 2007

ในทางกลับกันหากคุณสนใจโมเดล PAC แบบคลาสสิกมาตรฐานเท่านั้นโดยใช้การคำนวณควอนตัมเป็นเครื่องมือหลังการประมวลผล (เช่นไม่มีตัวอย่างควอนตัม) Servedio และ Gortler [1] สังเกตว่ามีคลาสแนวคิดครบกำหนด ถึง Kearns และ Valiant ที่ไม่สามารถเรียนรู้แบบคลาสสิก PAC ได้โดยสมมติว่ามีความแข็งของจำนวนเต็มของบลัมแฟคตอเรจ แต่สามารถเรียนรู้ PAC เชิงปริมาณได้โดยใช้อัลกอริทึมของชอร์

สถานการณ์สำหรับรูปแบบการเรียนรู้ที่ถูกต้องของ Angluin ผ่านการสืบค้นความเป็นสมาชิกนั้นค่อนข้างคล้ายคลึงกัน การสืบค้นควอนตัมสามารถให้การเพิ่มความเร็วพหุนามในแง่ของความซับซ้อนของการสืบค้นเท่านั้น อย่างไรก็ตามมีการเร่งความเร็วแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลในความซับซ้อนของเวลาโดยสมมติว่ามีฟังก์ชั่นทางเดียว [1]

ฉันไม่รู้เกี่ยวกับคำถามที่สอง ฉันยินดีที่จะรับฟังเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้เช่นกัน

นี่ไม่ใช่คำตอบสำหรับคำถามของคุณอย่างแน่นอน แต่หวังว่าจะช่วยได้ในส่วนแรก ดูเหมือนว่าจะมีความสนใจในการใช้อัลกอริทึมควอนตัมในการระบุออราเคิลที่ไม่รู้จัก ตัวอย่างหนึ่งของเรื่องนี้คือกระดาษล่าสุดจาก Floess, Andersson และ Hillery ( arXiv: 1006.1423 ) ซึ่งปรับใช้อัลกอริทึม Bernstein-Vazirani เพื่อระบุฟังก์ชันบูลีนซึ่งขึ้นอยู่กับชุดย่อยของตัวแปรอินพุต (juntas) เพียงเล็กน้อยเท่านั้น พวกเขาใช้วิธีนี้เพื่อกำหนดฟังก์ชั่น oracle สำหรับชื่อพหุนามระดับต่ำ (พวกเขาจัดการกับกรณีเชิงเส้นกำลังสองและลูกบาศก์อย่างชัดเจน)