การกำหนดอัตราการเพิ่มขึ้นของราคาอนาธิปไตยข้ามแนวความคิดสมดุล

เรารู้จักและชื่นชอบแนวคิดการแก้ปัญหาที่ซ้อนกันหลายคลาส:

• PN: สมดุลของแนชบริสุทธิ์
• MN: ดุลยภาพของแนชผสม
• CE: สมดุลที่สัมพันธ์กัน
• CCE: ความสมดุลของหลักสูตรมีความสัมพันธ์

ความสัมพันธ์ระหว่างชุดเหล่านี้คือ:

$$PN \subset MN \subset CE \subset CCE$$ เราสามารถพิจารณาราคาของอนาธิปไตยเหนือแนวคิดวิธีแก้ปัญหาข้อใดข้อหนึ่งเหล่านี้: สวัสดิการสังคมกรณีที่เลวร้ายที่สุดสำหรับโปรไฟล์ใด ๆ ในชุดหารด้วยสวัสดิการสังคมที่ดีที่สุด: $$POA(S) = \max_{s \in S}\frac{COST(s)}{OPT}$$ ดังนั้นโดยการบรรจุข้างต้น: $$POA(PN) \leq POA(MN) \leq POA(CE) \leq POA(CCE)$$ คำถามของฉัน: ขอบเขตที่เป็นที่รู้จักในเรื่องปริมาณนี้จะเติบโตได้เร็วเพียงใด? เป็นไปได้ที่จะมีเกมด้วย$POA(PN)$ จำกัด แต่ $POA(CCE)$มีขนาดใหญ่มาก แต่ถ้าฉันรู้$POA(PN)$ มี จำกัด แน่นอน $POA(MN)$ ยังต้องมีขอบเขตหรือไม่ $POA(CE)$? พวกเขาจะใหญ่กว่านี้ได้เท่าใด

อัตราส่วนระหว่าง $POA(MN)$ และ $POA(PN)$สามารถมีขนาดใหญ่โดยพลการ พิจารณาเกมที่มีความแออัดดังต่อไปนี้ เรามี$n$ ผู้เล่นและ $n$รายการและผู้เล่นแต่ละคนสามารถเลือกรายการใด ๆ ค่าใช้จ่ายสำหรับผู้เล่นขึ้นอยู่กับความแออัดของรายการที่เลือก; มันคือ$f(x)$ ถ้า $x$ ผู้เล่นเลือกรายการนั้น $f$ จะเป็นฟังก์ชั่นที่เติบโตอย่างรวดเร็ว

แนชบริสุทธิ์คนเดียวเท่านั้นที่มีผู้เล่นแต่ละคนเลือกไอเท็มที่เป็นเอกลักษณ์ $f(1)$. ในทางตรงกันข้ามโดยสมมาตรกลยุทธ์การสุ่มที่ผู้เล่นแต่ละคนเลือกไอเท็มสุ่มอย่างสม่ำเสมอคือแนชผสม ถ้า$f$ เติบโตสูงชันค่าใช้จ่ายทั้งหมดจะแพงกว่ามากเนื่องจากมีโอกาสที่ผู้เล่นหลายคนจะเลือกไอเท็มเดียวกัน

ในบล็อกนี้โพสต์ตัวอย่างที่มีช่องว่างไม่ จำกัด ระหว่างราคาของความมั่นคงของ CE และ MN ได้รับ; ฉันเชื่อว่าสิ่งที่คล้ายกันจะแสดงช่องว่างที่ไม่ จำกัด สำหรับ PoA เช่นกัน