ตัวอย่างที่ความเข้าใจด้านเรขาคณิตมีประโยชน์ในการแก้ปัญหาบางอย่างที่ไม่ใช่เชิงเรขาคณิต

หนึ่งในสิ่งที่ดีเกี่ยวกับการมีวิวัฒนาการในเอกภพที่มีมิติสามมิติคือเราได้พัฒนาทักษะการแก้ปัญหาเกี่ยวกับวัตถุในอวกาศ ตัวอย่างเช่นเราสามารถนึกถึง triplet ของตัวเลขเป็นจุดใน 3-d ดังนั้นการคำนวณเกี่ยวกับตัวเลขสามเท่าเป็นการคำนวณเกี่ยวกับจุดใน 3-d ซึ่งสามารถแก้ไขได้โดยใช้สัญชาตญาณของเราเกี่ยวกับอวกาศ สิ่งนี้ดูเหมือนจะแนะนำว่าควรเป็นไปได้ในบางครั้งเพื่อแก้ปัญหาที่ไม่ใช่เชิงเรขาคณิตโดยใช้เทคนิคจากเรขาคณิต ไม่มีใครรู้ตัวอย่างดังกล่าวหรือไม่

แน่นอนคำว่า 'เรขาคณิต' และ 'ไม่ใช่เรขาคณิต' นั้นค่อนข้างคลุมเครือเล็กน้อย หนึ่งสามารถยืนยันว่าปัญหาทางเรขาคณิตใด ๆ จริง ๆ แล้วไม่ใช่เรขาคณิตถ้าคุณแทนที่จุดทั้งหมดด้วยพิกัดของพวกเขา แต่ความหมายชัดเจนโดยสังหรณ์ใจ สมมุติว่าเราเรียกรูปทรงเรขาคณิตว่าถ้าเราจะพิจารณาส่งบทความเกี่ยวกับเรื่องนี้ไปยัง SoCG

ตัวอย่างเพิ่มเติม:

Sleator เทอร์สตันและทาร์จันที่ใช้เป็นตัวแทนทางเรขาคณิตของต้นไม้เป็นพาร์ทิชันของรูปหลายเหลี่ยมและรูปทรงเรขาคณิตที่เกินความจริงเพื่อพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับการหมุนต้นไม้ไบนารี (นอกจากนี้ฉันเชื่อว่าประวัติของแผนภูมิการค้นหาแบบไดนามิกไบนารีสามารถแสดงเป็น tetrahedralization)

การลดบรรพบุรุษที่พบเห็นน้อยที่สุดในการค้นหาคิวรีขั้นต่ำเนื่องจาก Berkman และ Vishkin เกี่ยวข้องกับปัญหาโครงสร้างข้อมูลบนต้นไม้กับปัญหาเรขาคณิต (และขอบคุณสำหรับบทความเดวิด)

การลดปัญหาการตั้งเวลาให้กับชุดสี่เหลี่ยมอิสระที่มีน้ำหนักสูงสุดสูงสุดของแกนสี่เหลี่ยมขนาน [1] หรือการลดปัญหาการตั้งเวลาที่แตกต่างไปยังฝาครอบชุดเรขาคณิต [2] อาจมีคุณสมบัติ

การลดปัญหาการเรียงตัวที่ใหญ่ที่สุดที่พบบ่อยที่สุดในการค้นหาเลเยอร์ของแม็กซิม่าเป็นที่รู้จักกันดี (หมายถึงฉันขี้เกียจเกินไปที่จะค้นหาว่าใครเป็นผู้คิดจริง ๆ )

[1] (Liane Lewin-Eytan, Joseph Seffi Naor และ Ariel Orda)

[2] Nikhil Bansal, Kirk Pruhs The Geometry of Scheduling, FOCS 2010

[ภายหลังแก้ไข] อีกสองสามกรณีที่มุมมอง "เรขาคณิต" ดูน่าแปลกใจ (แม้ว่า "การยอมจำนนต่อ SoCG" หรือ "ทำให้บางสิ่งบางอย่างเพื่อให้เห็นภาพ" มาตรฐานอาจไม่ตรงตาม):

ทอพอโลยีเชิงพีชคณิตที่ใช้กับขอบเขตล่างสำหรับการคำนวณแบบกระจาย

การรวมการคำนวณเข้ากับมิติ Hausdorff

การกำหนดแนวคิดของระยะทางสำหรับกลุ่มจากนั้นปริมาณแล้วการเติบโตของปริมาณเป็นฟังก์ชั่นของระยะทางแล้วใช้ "การเติบโตพหุนาม"

แน่นอนมากคำตอบที่ดีกว่าก่อนหน้านี้หนึ่งของฉันคือการใช้ทฤษฎีการฝังตัวชี้วัดสำหรับการแก้ตัดเส้นเล็ก ขั้นตอนสำคัญในการแก้ปัญหาการตัดเส้นเล็กก็ตระหนักว่ามันอาจจะประมาณโดยการค้นหาที่ดีของการฝังตัวชี้วัดทั่วไปเป็น$\ell_1$พื้นที่ -normed

สิ่งเหล่านั้นถูกกล่าวถึงที่อื่นเช่นกัน แต่ตัวอย่างที่ฉันชอบคือ: การเรียงลำดับด้วยข้อมูลบางส่วนเป็นปัญหาของการค้นหาส่วนขยายเชิงเส้นที่ไม่รู้จักแบบคงที่ของโพเซตได้รับโพสต์และใช้จำนวนแบบสอบถามเปรียบเทียบใกล้ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ ขอบเขตล่าง (นี่เป็นเพียงการเรียงลำดับเมื่อจำนวนการเปรียบเทียบคือการวัดความซับซ้อนที่สำคัญและการเปรียบเทียบบางอย่างให้ฟรี) กลยุทธ์การเปรียบเทียบที่ดีที่สุด (มากถึงค่าคงที่) ได้รับการพิสูจน์แล้วโดยSaks และ Kahnโดยใช้คุณสมบัติของคำสั่ง polytope ซึ่งเป็นโพลีเอปพิเศษพิเศษที่เกี่ยวข้องกับโพสต์ อัลกอริทึมครั้งแรกพหุนาม (โดยคาห์นและคิม) ที่คำนวณกลยุทธ์การเปรียบเทียบที่ดีที่สุด (สูงสุดถึงค่าคงที่) อีกครั้งใช้คุณสมบัติของคำสั่ง polytope เช่นเดียวกับชุดโพลีท็อปที่มีเสถียรภาพของกราฟความสามารถในการเปรียบเทียบของโพสิท

มีบทความล่าสุดโดย Demaine et alที่ใช้การแสดงรูปทรงเรขาคณิตของต้นไม้ค้นหาแบบไบนารี่เพื่อพัฒนาสถานะของการปรับแต่งแบบไดนามิก ฉันเป็นคนคลุมเครือเล็กน้อยที่นี่เพราะพวกเขาไม่ได้แก้ไขการคาดเดาของ DO แต่พวกเขาเสริมกำลังบางส่วนและให้ข้อมูลเชิงลึกใหม่ ๆ ที่ดูเหมือนว่าจะมาจากสูตรเรขาคณิต

ฉันไม่คิดว่าจะมีตัวอย่างของสิ่งต่าง ๆ เช่นนี้ ยกเว้นสำหรับการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นการเขียนโปรแกรมกึ่งแน่นอน, ตัวเลขที่ซับซ้อนเศษส่วนที่มีขนาดใหญ่ของการเรียนรู้เครื่อง ฯลฯ คำถามจริงคือhttp://www.youtube.com/watch?v=ExWfh6sGyso

มีกระดาษที่ดีที่ POPL เมื่อปีที่แล้วEigenCFA: เร่งการวิเคราะห์การไหลด้วย GPUซึ่งแสดงถึงแลมบ์ดาเทอมเป็นเมทริกซ์แล้วใช้ GPU เพื่อทำการวิเคราะห์ดาต้าโฟลว์อย่างรวดเร็ว

กระดาษไม่ได้ชี้ให้เห็นอย่างชัดเจน แต่สิ่งที่พวกเขากำลังทำอยู่ก็คือการใช้ประโยชน์จากโครงสร้างที่เป็นหมวดหมู่ของเวกเตอร์สเปซเพื่อเป็นตัวแทนต้นไม้ นั่นคือในทฤษฎีชุดสามัญต้นไม้ (ของความสูงคงที่บางส่วน) เป็นสหภาพที่ซ้อนกันของผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียน

อย่างไรก็ตามปริภูมิเวกเตอร์ยังมีผลิตภัณฑ์และผลรวมโดยตรงดังนั้นคุณสามารถแสดงต้นไม้เป็นองค์ประกอบของพื้นที่เวกเตอร์ที่เหมาะสมได้เช่นกัน ยิ่งกว่านั้น, ผลิตภัณฑ์โดยตรงและผลบวกโดยตรงตรงกับปริภูมิเวกเตอร์ -, พวกมันมีตัวแทนเหมือนกัน นี่เป็นการเปิดประตูสู่การใช้งานแบบขนาน: เนื่องจากการแสดงภาพทางกายภาพเหมือนกันสามารถตัดกิ่งและการไล่ตัวชี้จำนวนมากได้

นอกจากนี้ยังอธิบายว่าทำไมการวิเคราะห์ดาต้าโฟลว์จึงเป็นแบบลูกบาศก์ต่อเวลา

ในระบบเครือข่ายเราเตอร์ใช้ TCAMs (หน่วยความจำที่สามารถระบุตำแหน่งเนื้อหาได้ - ในคำอื่น ๆ หน่วยความจำที่สามารถกำหนดตำแหน่งเนื้อหาที่มีบิตไม่สนใจ) เพื่อจำแนกการรับส่งข้อมูล รายการใน TCAM มักจะมีกฎการจับคู่หลายมิติ: ตัวอย่างเช่น (101 *, 11 *, 0 *) ตรงกับแพ็กเก็ตใด ๆ ที่ฟิลด์ส่วนหัวแรกเริ่มต้นด้วย 101 และฟิลด์ส่วนหัวที่สองเริ่มต้นด้วย 11 (และอื่น ๆ ) หาก แพ็คเก็ตไม่ตรงกับกฎข้อแรกมันจะไปต่อที่สองและต่อ ๆ ไปจนกว่าจะพบกฎการจับคู่

$d$$R^{d+1}$$d+1$$R^{d+1}$$d$$d+1$

สำหรับคนในเครือข่ายการตีความนี้มีประโยชน์สำหรับการทำความเข้าใจว่ากฎชุดใดที่เฉพาะเจาะจงทำ สำหรับนักทฤษฎีมีการใช้ที่น่าสนใจอื่น ๆ ตามอัลกอริทึมสำหรับการจำแนกแพ็คเก็ตโดย Gupta และ McKeown การตีความทางเรขาคณิตทำให้เราสามารถสร้างขอบเขตล่างและบนได้อย่างรวดเร็วสำหรับปัญหาการจำแนกแพ็คเก็ต ฉันรู้ว่าการทำงานเกี่ยวกับการย่อขนาดกฎ TCAM (การหาจำนวนกฎที่เล็กที่สุดที่เก็บรักษาความหมาย) ได้รับประโยชน์จากวิธีการทางเรขาคณิตเช่นกัน มีการอ้างอิงจำนวนมากที่ฉันสามารถให้ได้ แต่สิ่งที่อาจเป็นประโยชน์มากที่สุดสำหรับคุณคือ Applegate และของ SODA 2007 กระดาษ SODA 2007 การบีบอัดรูปภาพ rectilinear และลดรายการควบคุมการเข้าถึง. พวกเขาพิสูจน์ว่าการลดความแตกต่างของกฎการจับคู่คำนำหน้าด้านบนให้น้อยที่สุดคือ NP-hard และเชื่อมต่อกับรูปภาพสวย ๆ ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเพื่อแก้ปัญหา!

ฉันประหลาดใจที่ไม่มีใครพูดอัลกอริทึมแบบยุคลิดสำหรับการค้นหาปัจจัยร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดระหว่างสองตัวเลข คุณสามารถจัดการกับปัญหาโดยการวาดรูปสี่เหลี่ยม axb จากนั้นแบ่งสี่เหลี่ยมโดยสี่เหลี่ยมที่สร้างโดยด้านที่เล็กที่สุดทำซ้ำสำหรับสี่เหลี่ยมที่เหลือให้ทำซ้ำสำหรับสี่เหลี่ยมที่เหลือจนกว่าคุณจะพบสี่เหลี่ยมที่สามารถแบ่งสี่เหลี่ยมที่เหลืออยู่เท่า ๆ กัน (ดู gif แบบเคลื่อนไหวในหน้าอัลกอริทึมแบบยุคลิด)

วิธีที่สง่างามในการพยายามคิดออกว่ามันทำงานอย่างไร IMO

อาจมีตัวอย่างมากเกินไปที่จะแสดง แต่ตัวอย่างคลาสสิกหนึ่งรายการ (มันถูกเน้นโดย Aigner และ Ziegler ในฐานะ " หลักฐานจากหนังสือ ") คือการใช้งานโดยLovászของการเป็นตัวแทนทางเรขาคณิตเพื่อแก้ปัญหาในฐานะแชนนอน แม้ว่าหลักฐานได้รับการตีพิมพ์ในปี 2522 และแก้ไขคำถามเปิดจากปี 1956 แต่สิ่งนี้ยังคงเป็นสิ่งที่ล้ำสมัย

ความสัมพันธ์ของรหัสการแก้ไขข้อผิดพลาดกับโปรยบรรจุทรงกลม ฯลฯ (เช่น Conway และ Sloane book) แต่ความสัมพันธ์นั้นแข็งแกร่งมากจนไม่ชัดเจนถ้าฉันควรเรียกรหัสแก้ไขข้อผิดพลาด“ ไม่สมบูรณ์ทางเรขาคณิต” หลังจากนั้น ...

เทคนิคการลดขัดแตะเช่นLLLหรือPSLQนั้นมีรูปทรงเรขาคณิตสูงและแก้ปัญหาของทฤษฎีจำนวนบริสุทธิ์เช่นการประมาณไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นและการตรวจสอบความสัมพันธ์จำนวนเต็ม

$\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}$

เจอราร์ดซอลตันเกิดแนวคิดนี้ในการใช้โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ (ความเหมือนโคไซน์) สำหรับระบบดึงข้อมูล สิ่งนี้ถูกใช้เพื่อคำนวณคำความถี่ - ความถี่เอกสารผกผัน ฉันคิดว่านี่เป็นบรรพบุรุษของเครื่องมือค้นหายุคใหม่ ดูเพิ่มเติมโมเดลอวกาศเวกเตอร์

$k$$k$

แน่นอนการพิสูจน์นั้นเป็นทอพอโลยีมากกว่าเรขาคณิต แต่ในมิติที่ต่ำมันมีภาพเชิงเรขาคณิตที่ชัดเจน เพื่อความรู้ที่ดีที่สุดของฉันไม่มีหลักฐาน combinatorial หมดจด (เช่นหลักฐานที่คุณสามารถอธิบายให้กับบุคคลที่ปฏิเสธที่จะได้ยินอะไรเกี่ยวกับทอพอโลยี)

บทบาทของเส้นโค้งการเติมช่องว่างในฐานข้อมูลและการปรับให้เหมาะสม: http://people.csail.mit.edu/jaffer/Geometry/MDSFC

เครื่องเวกเตอร์สนับสนุนในการเรียนรู้ของเครื่องอาจมีคุณสมบัติ

มีเทคนิคการคำนวณเชิงเรขาคณิตที่มีอยู่เพื่อแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น เรขาคณิตเชิงคำนวณ: อัลกอริทึมและแอปพลิเคชันมีบทที่ดีและเรียบง่ายเกี่ยวกับเรื่องนั้น

คุณสามารถแทนค่าอินทิกรัตต์อินทิกรัลของเขตพื้นที่ที่มีเครื่องหมายของพื้นที่ซึ่งล้อมรอบด้วยกราฟ