มี algebras 'แบบกราฟิก' ที่สามารถอธิบาย 'รูปร่าง' ของกราฟได้หรือไม่

หนึ่งในปัญหาหลักในการแจงนับกราฟคือการกำหนด 'รูปร่าง' ของกราฟเช่นคลาส isomorphism ของกราฟใด ๆ ฉันตระหนักดีว่ากราฟทุกเส้นสามารถแสดงเป็นเมทริกซ์สมมาตร อย่างไรก็ตามเพื่อให้ได้รูปร่างคุณต้องมีการเรียงสับเปลี่ยนแถว / คอลัมน์ซึ่งทำให้เมทริกซ์มีความเหมาะสมน้อยกว่าเล็กน้อย นอกจากนี้ยังยากขึ้นอีกเล็กน้อยในการ 'เห็น' กราฟเมื่ออยู่ในรูปแบบนั้น

คำถามของฉันคือ: มี 'algebras' แบบกราฟิก 'ที่สามารถอธิบาย' รูปร่าง 'ของกราฟได้หรือไม่?

สิ่งที่ฉันคิดคือระบบแบบทางการที่นัก topology เชิงพีชคณิตมักจะคิดขึ้นมา โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งต่าง ๆ เช่นพีชคณิตสำหรับปมค่าคงที่หรือระบบสัญกรณ์เช่นโอเปอเรเตอร์หรือโพลีกราฟส์ 'จีบราส์เส้นขยุกขยิก' แบบนี้ยังไม่พัฒนาเท่าที่ควรดังนั้นอาจมีเหตุผลที่เชื่อได้ว่าไม่มีพีชคณิตแบบนี้มีอยู่ในกราฟ แต่ฉันอยากถามก่อนสมมติว่าเป็นอย่างอื่น

UPDATE:

คำถามของฉันอาจจะแคบมากและไม่สามารถตอบได้ทันทีด้วย 'ใช่' ดังนั้นหากผู้ดูแลไม่เป็นไรฉันจะขยายให้กว้างขึ้นโดยถามว่า:

มีระบบใด ๆ ที่มีอยู่ (แบบที่ฉันอธิบายด้านบน) ที่สามารถปรับเปลี่ยนได้ (อย่างง่ายดายหรืออย่างอื่น) เพื่อสร้างระบบดังกล่าวหรือไม่? หากมีมากกว่าหนึ่งอย่าลังเลที่จะพูดถึงพวกเขาทั้งหมด และโยนในสิ่งที่กล่าวมาแล้วเช่นกัน

แรงจูงใจ

แรงจูงใจของฉันสำหรับคำถามดังกล่าวเป็นจริงเกี่ยวกับการจำแนกกราฟแบบอสมมาตร ฉันเป็นเพียงปริญญาตรีดังนั้นการทบทวนสถานะปัจจุบันของทฤษฎีกราฟพีชคณิตจึงค่อนข้างบาง แต่ฉันยังไม่เห็นอะไรมากถ้ามีพยายามพยายามอธิบายกราฟทั้งหมดอย่างเป็นระบบด้วยวิธีเชิงพีชคณิตและโดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งหนึ่งที่ใช้อุปมาอุปมัยที่มองเห็นได้มากกว่าสัญลักษณ์เชิงสัญลักษณ์

ตัวอย่างการปฏิบัติที่ระบบดังกล่าวจะเป็นประโยชน์

สมมติว่าต้องการอธิบายข้อพิสูจน์ว่ากราฟ Eulerian ทั้งหมดต้องมีจุดยอดแม้แต่ หลักฐานมาตรฐานมักจะใช้ข้อโต้แย้งเกี่ยวกับองศาคู่และคี่โดยไม่ต้องพูดถึงขอบที่ใช้จริง นักเรียนทั่วไปจะพบหลักฐานเช่นนี้เป็นครั้งแรกและอาจเริ่มวาดกราฟพยายามที่จะโน้มน้าวให้เขาโต้แย้ง แต่อาจเป็นเครื่องมือที่ดีกว่าการโต้แย้งแบบ 'ตรรกะ' ที่บริสุทธิ์จะแสดงให้เห็นว่าการรวบรวม 'สัญลักษณ์' ใด ๆ จากภาษาดังกล่าวไม่สามารถตอบสนองเงื่อนไข 'สมบูรณ์' บางอย่างได้

ใช่ฉันรู้ว่าฉันกำลังโบกมือในส่วนสุดท้ายนี้ .. ถ้าฉันไม่ได้แม้ว่าฉันอาจจะเริ่มสร้างระบบดังกล่าวด้วยตัวเอง!

แต่การเพิกเฉยต่อความคลุมเครือในช่วงเวลาหนึ่งฉันรู้สึกว่าทฤษฎีบทเก่าและที่รู้จักกันดีในทฤษฎีกราฟนั้นไม่ยาก แต่ต้องมีการสร้างแนวคิดที่กรอบที่ดีจริงๆสามารถ 'ผูก' และ 'บรรจุภัณฑ์' ในมุมมองแบบครบวงจร

หลายคนพยายามหาภาษาพีชคณิตเพื่ออธิบายรูปร่างของกราฟ คำถามนี้เป็นหลักหนึ่งที่กระตุ้นทฤษฎีกราฟโครงสร้าง

หัวใจของคณิตศาสตร์ที่ไม่ต่อเนื่องคือการศึกษาการสลายตัวของกราฟ บางคนที่ทำงานในพื้นที่นี้คือ Neil Robertson, Paul Seymour, Robin Thomas, Maria Chudnovsky, Kristina Vuškovićและผู้ทำงานร่วมกันของพวกเขา

การสลายตัวของกราฟโดยเฉพาะได้นำไปสู่ผลลัพธ์ทั่วไปมากที่สุดในทฤษฎีกราฟ ยกตัวอย่างเช่นหนึ่งในเครื่องมือทางเทคนิคหลักสำหรับการพัฒนาโครงการกราฟผู้เยาว์ซึ่งนำไปสู่ทฤษฎีบทโรเบิร์ตมัวร์เป็นทฤษฎีบทโครงสร้างกราฟ นี่แสดงให้เห็นว่าคลาสของกราฟที่ยกเว้นบางส่วนนั้นสามารถสร้างขึ้นจากกราฟที่ง่ายขึ้น

ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทกราฟที่สมบูรณ์แบบอย่างสมบูรณ์จะใช้การสลายตัวที่แตกต่างกันบ้าง ผลลัพธ์ที่สำคัญคือ: สำหรับกราฟ Berge ทุกอัน$G$, ทั้ง $G$ เป็นพื้นฐานหรืออย่างใดอย่างหนึ่ง $G, \overline{G}$ ยอมรับการเข้าร่วมที่เหมาะสม 2 ครั้งหรือ $G$ ยอมรับการแบ่งพาร์ติชันที่สมดุล

การย่อยสลายที่ศึกษามาจนถึงปัจจุบันอยู่ในความรู้สึกที่ไม่ใช่เชิงพีชคณิต สัญชาตญาณส่วนตัวของฉันคือมีสิ่งบ่งชี้ว่าไม่มีระบบ "ดี" เช่นที่คุณแสวงหา ทำให้คำสั่ง glib นี้มีความแม่นยำน่าจะต้องใช้องค์กรที่ไม่น่าสนใจในทฤษฎีโมเดล จำกัด แต่ฉันคิดว่ามันอาจนำไปสู่ผลลัพธ์ใหม่ที่น่าสนใจในทฤษฎีกราฟ (ไม่ว่าจะสำเร็จหรือไม่)

คำถามนี้มีความสำคัญในการเขียนโปรแกรมการทำงานเนื่องจากการแสดงกราฟปกตินั้นไม่มีความเหมาะสมและไม่มีประสิทธิภาพในการใช้ในภาษาที่ใช้งานได้จริง

วิธีการที่ดีถูกนำเสนอที่ ICFP เมื่อปีที่แล้ว: "พีชคณิตกราฟที่มีคลาส (ฟังก์ชั่นเพิร์ล)"โดย Andrey Mokhov

ฉันไม่รู้ว่ามันตอบสนองความต้องการของคุณได้อย่างสมบูรณ์หรือไม่ แต่มันสามารถเป็นตัวแทนของกราฟที่หลากหลายและหลากหลายทั้งทางตรงและทางอ้อม